分数的拆分问题

1、第五讲 分数的拆分问题一、分数拆分的初步知识我们已经学过分数的加法运算，反过来你能 把一个分数拆成几个分数的和的形式吗？我们先 看下面的例题：11 _1_1_1X31X2W+ 15 = 2X5 = 3X5 = 2X5X3 + 3x5x25_ 5 _ 1=2X5X3 = 30 = 6如果把上题改为填空；=丄 十 亠，你会填吗？有了上题的结果，6()()就可以填岀 =亠+县。把一个分数拆成两个或两个以上分数的和的 &(10)(15)形式，叫做分数的拆分。怎样才能把一个分数拆成两个分数和的形式 呢？我们仍以因为23 25扩分）2 + 322X3X5 2X 3X5 2X3X5 拆开)231(约分)30

2、301510所以丄三丄+丄716(15)(10)通过上题可以看出，拆分主要有以下几个步骤： 把丄的分母写成质因数乘积的形式。即；|=-60 2X 3 把土的分子和分母同时乘以M成为 亦二的形6式，这叫做扩分。注意：为什么要乘以5?因为5正好是分母 6的两个质因数的和。把分子拆成分母的两个质因数的和，再拆 成两个分数的和。即：1X52 + 323H2X3X52X3X5 2X 3X5 2X3X5把拆开后的两个分数约分，化成最简分数例1填空:u = TT+TT,并写出过程解 11. 1X 9 _ -2 t 7142X72X7X92x7x92X7X91111= 7X9 + 2X9 = 63 + 18事

3、实上，我们把分母分解质因数后，可以得 到这个分母的不同的约数，只要把分子、分母都 乘以这个分母的任意两个约数的和，就可以把一 个分数拆成两个分数的和。例2填空；18 ()()解：18分解质因数后共有六个约数：1、2、3、6、9、18，取不同的两个约数的和，可以得到不 同的解。如：丄=1X(1+ 2)1 2 1 + =14-一1818X(1+ 2)54545427丄=!X(2 + 3)231+ =1-+ 一1818X(2 + 3)909045；30(D=1X(3 + Q 36+.1+ -11818X(3 + 6)162 1625127丄=1X(6+ 9)69+ 一1+11818X(6+ 9)27

4、02704、30 =1X(9 + 18)918 .=+ =1 11卜1818X (9 + 18)436 4865427(6)=1X(2 + 9) 291-1+11818 X (2 + 9)1981989922可以看出，由于每次所选用的两个约数不同， 所得的解也不相同。但是当选用的四个约数成比 例时，它们的解就相同。女口：选用1和2，3和6， 9和18;或选用2和3； 6和9时，解就相同。二、把一个分数拆成几个分数的和以上拆分的方法同样也适用于把一个分数拆 成三个或三个以上分数的和。沖填空.存占+占+卄解：18的约数有1、2、3、6、9、18。可以任意 取其中三个约数，得到不同的解。1lx(l

5、+ 2 + 3)12318 18X (H-2 + J 108 108 108 1 1 1+ + 一108 5436= lX_13X4X524心）60通过上面算式，可以得出这样的结论:L1丄r_1-In X (n + 1) X (n + 2)2LnX (n+ 1) (n +1) X(n + 2)J（公式4）上1111161X2X32、26丿1 1111242X3X42、612,1 _ 1160 3X4X5- 2由此可知，一个分数可以根据需要拆成两个 或若干个分数的和或两个分数的差的形式。四、拆分方法在分数加法运算中的应用例5计算存卜舟+护茅右血百卡111111时丙 J 1X2 2X 3 3X4

6、4X 5 5X6 6X7J J k J k J k J h J k= (T_?) + (i_3)+(3_4)+(4_5)+(?_6) + (?_7)111111111111 + + + + + 一1223344556671 61 = 一7 7例6计算:1 1 1 11988X1989 + 1989 X 1990 + 1990 X 1991 + 1991解前三个分数相加 可直接写成磊“诂帀1111熄式+1988 W91199119882 2 2 2 1例& 12X14 + 14X16 + 16X18 + 1820 + 20解：由公式（2）1 1 17 18 20 20 +20古十.111111原

7、式二(巨_材)十石蔬也_j_j_丄丄丄丄丄-1214 + 14 16 + 16 18 + 181=12例8计算：吕諾首為+祐解：由公式（3）1 1 1 1 1 145 599131 142121例9计算:+ +1+21+2+3 1+2+3+41 + 2 + 3 + * + 50解：由等差数列求和公式口 X (口 + 131 + 2 +?卡 +fl nX(n + l)2= 2X(-n n2nX (n +1)由此，本题中的各个分数可以拆分为:11+ 2十孑+ 41+2 + 3+ - + 50因此，本题解法如下:11 11 11 1 1 原式二 1 + 2X(-)+ 2X(-)+ 2X(-)+- +

8、2X(-.-)十賞乙丄+ 十+丄丄)3 4_49= 1 + (15T) = 1+5i2 33 44 550 51例10计算”护存君黑根据公式卜存(左一磊)1 1 1 1242 k2X3 3X4;111 11406023X 4 4X 52原式=芦（IX 2 一 2X3）9(丄-丄+ 丄+丄2 V1X2 2X32X33X43X4 4X 罗 402X1 1 1 + 40 404例11计算1111198X99X 1004X5X6 + 5X6X7 + 6X7X8 +7X8X9解：根据公式（4）原式二5菽r亦十环liii+ +6X76X7 7X8 7X818X9198X 9999X 100)1 1 11

9、12MX 5 99X100 40 1980049424719800 = 9900毗求翳黑,|,|髭黑黑黑和和。解：先把同分母的分数相加，看看有什么规律。1 211+2+14c+ + =2 2 2 2 2123211+2+3+2+19- + + -+ + = 33 333333123 43211 + 2 + 34 + 34-2 + 1“+十一+十4三4 444444416上面三个算式表明，分母是2、3、4的如上 面这样的算式，它们的和分别是 2、3、4。由此 可以推出，分母为K的如上面的算式，所有的分 数的和等于K。所以，原式=2+3+4=9例13计算112111991 19901_ J_ _1_ * * _i_, _|L * J- .Jl _L 4_ 2 2 21991199? 199?1991解：可以利用例12所得出的结论以及等差数列 求和公式进行计算。原式=1+2+3+1991 =(1+1991 ) X1991+2=1983036习题五1.在下列各式的括号内填上适当的整数 (1 3 题)。丄丄亠()15 ()茶古+()占4. 把下面