专题8 数轴穿根法

1、精选专题：数轴穿根法“数轴穿根法”又称“数轴标根法”第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。(注意：定要保证x前的系数为正数)例如：(x-2)(x-1)(x+1)0第二步：将不等号换成等号解出所有根。例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x 1=2， x 2 =1， x3 =-1第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。例如：-1 1 2第三步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线， 然后又穿过“次右跟”上去，一上一下依次穿过各根。第四步：观察不等号，如果不等号为“ ”，则取数轴上方，穿根线以内的范围； 如果不等号为“ 则取数轴下方，穿根线以

2、内的范围。例如：若求(x-2)(x-1)(x+1)0 的解。因为不等号威“ ”则取数轴上方，穿根线以内的范围。即：-1x2。穿根法的奇过偶不过定律：“奇穿过，偶弹回”。还有关于分式的问题：当不等式移项后，可能是分式，同样是可以用穿根法的， 但是注意，解不能让原来分式下面的式子等于0专项训练:1、解不等式(2x 1)(x 1)(x3)0解析：1 )一边是因式乘积、另一边是零的形式，其中各因式未知数的系数为正。2)因式(2x1)、(x标出(如图1)。3)从最大根3的右上方开始，向左依次穿线(数轴上方有线表示数轴上方有函数 图象，数轴下方有线表示数轴下方有函数图象,此线并不表示函数的真实图象)4)数

3、轴上方曲线对应的x的取值区间，为(2x 1)(x 1)(x3)0的解集，数轴下方曲线对应的x的取值区间，为(2x1)( x 1)(x3)0的解集1不等式(2x 1)( x 1)(x 3) 0 的解集为(?,1) (3,)。在上述解题过程中，学生存在的疑问往往有：为什么各因式中未知数的系数为正； 为什么从最大根的右上方开始穿线；为什么数轴上方曲线对应的x的集合是大于零不等式的解集，数轴下方曲线对应 x的集合是小于零不等式的解集。12、解不等式(X 2)(x 1) o与x 3 x 20解集是否相同，为什么？x 2解：方法1:利用符号法则转化为一元一次不等式组，进而进行比较。 方法2 :在分母不为0

4、的前提下，两边同乘以分母的平方。(x 3)通过例1,得出解分式不等式的基本思路：等价转化为整式不等式(组)0解析：1) 一边是因式乘积、另一边是零的形式，其中各因式未知数的系数为正。1 2 32) 因式(x 2)、1)2、(x 3)3的根分别为2、2、3，在数轴上把它们标 出(如图2)。3) 从最大根3的右上方开始向左依次穿线，次数为奇数的因式的根一次性穿过，次 数为偶数的因式的根穿而不过。4)数轴上方曲线对应的x的取值区间，为(X1)2(x 3)30的解集，数一 1 2轴下方曲线对应的 x的取值范围，为(X 2)(qX 1)2(x123(x 2)(2 x 1)2(x 3)30 的解集为(2,

5、2)(2,3)数轴标根法、分式不等式、绝对值不等式一、数轴标根法解不等式例1.解下列不等式(x-1 )( x-2 ) (x+3)02.3.( 1- x )( x-2 ) (x+1)04.分式不等式思考 (1) 0与 x 3 x 20解集是否相同，为什么？x 2f x g x 0g x（i）f2X3.2x 11x 3例2.解下列不等式1. jLJ 02.2 x4 x2 3x 2 x2 2x 35.x x 39 x26.三、含绝对值的不等式的解法|x|a（a0）|x|0)例3:解下列不等式1. 2x 132.x 1(x 1)023.|x -2x|x 2.4.x 1(x 1)0解不等式竺13 x巩固

6、练习1.解不等式空一3x 102.3x2 7x 22x 1的解集是xx 3 ，则实数k4 . （2012 山东理）若不等式 kx 4 2的解集为 x15. 解不等式（2x- 1）2（ x-2）3 （x+1）06. 解不等式（3- x）2（ x-2）（x+1） 70不等式解法15种典型例题典型例题一例 1 解不等式：(1) 2x3 x2 15x 0 ； (2) (x 4)(x 5)2(2 x)3 0.分析：如果多项式 f(x)可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式f(x) 0 (或f(x) 0)可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况.解：(1 )原不等式可化为x(2x 5)(x3)0把

7、方程x(2x5)(x3)0的三个根为0,X2如下图52,x3影3顺次标上数轴.原不(2)原不等式等价于(x4)(x5)2(xxx(x 4)(x 2)0然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集等式解2)3 0集原不等式解集为说明：用“穿根法”解不等式时应注意：各一次项中 奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法” 如图.x的系数必为正；对于偶次或，但注意“奇穿偶不穿”，其法典型例题二3例2解下列分式不等式：(1)x 2(2)x2 4x 113x2 7x 2分析：当分式不等式化为器0(或0)时，要注意它的等价变形他g(x)f(x) g(x) 0 ；他0g(x)f(x) g(x) 0g(

8、x) 0(1) 解：原不等式等价于3 xx 2 x 23(x2) x(x 2)(x 2)( x 2)5x 62)(x2)(x 6)(x 1)(x 2)(x 2)(x(x6)(x2)(x1) (x2)2)(x 2)00用“穿根法”原不等式解集为(，2)1,2 6,(2)解法一：原不等式等价于2x2 3x23x 7x2 2(2x 3x 1)(3x7x 2)02x23x23x7x0 或 2x20 3x3x7x1 1(2,x 或 x 1或 x 2，原不等式解集为32解法二：原不等式等价于SH刖 0 (2x -1)(3x 1) (x 2)用“穿根法”.原不等式解集为(1 13)(舁)(2,典型例题三例3

9、解不等式分析：解此题的关键是去绝对值符号,而去绝对值符号有两种方法:是根据绝对值的意义x a, x.aa a(a 0)；二是根据绝对值的性质:a(a 0)因此本题有如下两种解法.不等式2 x2 x2，故原不等式的解集为x1解法二：原不等式等价于(x 2) x23 2故1典型例题四例4解不等式x2 6x 512 4x x2下列两个不等式组：2 2x 6x 50或x 6x 50，所以，原不等式的解集是上面2 212 4x x2 012 4x x2 0分析：这是一个分式不等式，其左边是两个关于x二次式的商，由商的符号法则，它等价于两个不等式级的解集的并集.也可用数轴标根法求解.解法一：原不等式等价下

10、面两个不等式级的并集：1226x50,亠 x6x50,2 或24xx20124xx20(x1)(x5)0,或(x1)(x 5)0,(x2)(x6)0; 或(x2)(x 6)0;1 x 5,x;或2x6x1,或 x 5,2,或 x 61 x 5,或x 2或x 6 .原不等式解集是xx2,或1 x 5,或x 6.解法二：原不等式化为(x 1)(x 5) 0 .画数轴，找因式根，分区间，定符号. 2)(x 6)+：- I4：- ：+(x(x 1)(x 5)符号 (x 2)(x 6)、原不等式解集是XX 2,或1 x 5,或x 6.说明：解法一要注意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集，再

11、求两组的解的并集，否则会产生误解.解法二中，“定符号”是关键.当每个因式 x的系数为正值时，最右边区间一定是正值，其他各区间正负相间；也可以先决定含0的区间符号，其他各 区间正负相间.在解题时要正确运用.典型例题五例5解不等式x2 2x 23 2x x2分析：不等式左右两边都是含有x的代数式，必须先把它们移到一边，使另一边为0再解.解：移项整理，将原不等式化为2(x 2)(X2 x 1)(x 3)(x 1)由x2 x 10恒成立，知原不等式等价于(X 2)(x 3)(x 1)解之，得原不等式的解集为 x 1 x 2或x 3.说明：此题易出现去分母得x2 2x 2x(3 2x x2)的错误解法.

12、避免误解的方法是移项使一边为0再解另外， 在解题过程中，对出现的二项式要注意其是否有实根，以便分析不 等式是否有解，从而使求解过程科学合理.典型例题六例6设m R，解关于x的不等式m2x2 2mx 3 0 .分析：进行分类讨论求解.解：当m 0时，因 3 0 一定成立，故原不等式的解集为R .当m 0时，原不等式化为(mx 3)(mx 1)0 ;若m 0时，解得丄；若m 0时，解得丄xmm综上：当m 0时，原不等式的解集为13当m 0时，原不等式的解集为x丄x -mm说明：解不等式时，由于 m R，因此不能完全按一元二次不等式的解法求解.因为当m 0时，原不等式化为 3 0,此时不等式的解集为

13、 R，所以解题时应分m 0与m 0两 种情况来讨论.解：原不等式2ax a2(1) 1 x 0,c22ax a0,(1或x)2；22x a20,1 x 0.xa2，由 a 0，得：(1)x1,2 x2(a 1)x a2 105x 1.在解出m2x2 2mx 3 0的两根为x13,x21后，认为3 1这也是易出现的mmm m错误之处.这时也应分情况来讨论：当m 0时，31 t；当m 0时，3 1m mm m典型例题七例7解关于x的不等式.、2ax a21x (a 0).分析：先按无理不等式的解法化为两个不等式组，然后分类讨论求解.由判别式4(a1)2 4(a21) 8a0，故不等式x2 2(a1

14、)x a210的解是a 1 2ax a 12a .当0 a2时，a.a 12.2a 1,a 1. 2a1 ,不等式组的解是a 1 2ax 1，不等式组的解是x1 .当a 2时,不等式组(1)无解，(2)的解是综上可知，当0 a 2时，原不等式的解集是a 1 . 2a, ;当a 2时，原不等式的解集是说明：本题分类讨论标准“ 0 a 2 , a 2 ”是依据“已知a 0及中x - , x 1 2(2) 中 x a，x 1 确定的解含有参数的不等式是不等式问题中的难点，也是近几年2高考的热点一般地，分类讨论标准(解不等式)大多数情况下依“不等式组中的各不等式的解所对应的区间的端点”去确定.本题易误

15、把原不等式等价于不等式2ax a2 (1 x) 纠正错误的办法是熟练掌握无理不等式基本类型的解法. 典型例题八例8解不等式4x210x 33 分析：先去掉绝对值号，再找它的等价组并求各不等式的解，然后取它们的交集即可.然后把不等式等解答：去掉绝对值号得3 4x2 10x 3 3,亠 2 亠2x0或 x 3 4x 10x 34x10x02x(2x 5)024x2 10x 334x210x602(x 3)(2x1) 0-x 3.2原不等式的解集为x1x0或5x 322原不等式等价于不等式组说明：解含绝对值的不等式,关键是要把它化为不含绝对值的不等式,价转化为不等式组，变成求不等式组的解.典型例题九

16、例9解关于x的不等式x2 (a a2)x a3 0 分析：不等式中含有字母a ,故需分类讨论.但解题思路与一般的一元二次不等式的解法完 全一样：求出方程 x2 (a a2)x a3 0的根，然后写出不等式的解，但由于方程的根含 有字母a，故需比较两根的大小，从而引出讨论.解:原不等式可化为(x a)(x a2)0 22(1)当a a (即a 1或a 0 )时，不等式的解集为：x x a或x a ；当a a2 (即0 a 1 )时，不等式的解集为：x x a2或x a ;（3）当a a2 （即a 0或1）时，不等式的解集为：x x R且x a .说明：对参数进行的讨论， 是根据解题的需要而自然引

17、出的，并非一开始就对参数加以分类、讨论.比如本题，为求不等式的解，需先求出方程的根x, a，x2 a2，因此不等式的解就是x小于小根或x大于大根但a与a2两根的大小不能确定，因此需要讨论a a2,2 2a a , a a三种情况.典型例题十例10已知不等式ax2 bx c 0的解集是 x x （0）.求不等式2cx bx a 0的解集.分析：按照一元二次不等式的一般解法，先确定系数c的正负，然后求出方程cx2 bx a 0 的两根即可解之.解：（解法1）由题可判断出， 是方程ax2 bx c 0的两根，bc2-,一.又ax bx c 0的解集是 x x ，说明a 0 .aa而0,00 c 0

18、c02 cxbxa 02 bxxa0accbb11acJcc1 11()(),aaba小即2 1 111即11二 x2-x0,x ()x()()0,(x)(x)0c c11 1 1 1 1又 0，二-，二(x )(x 一)0 的解集为 x - x （解法2）由题意可判断出是方程ax2bx c0的两根，.c2.又axabxc 0的解集是xx，说明a 0而0,00c 0 c a0.对方程cx bx a0两边同除以x2得1 2a2xb1()c 0 . x1令t，该方程即为a t2bt c 0,它的两根为t1 , t2 ,1Xi1X21 1 1 1x1, x2，二方程ex2 bx a 0的两根为一，一

19、 说明：（1）万变不离其宗,解不等式的核心即是确定首项系数的正负,求出相应的方程的根;（2）结合使用韦达定理，本题中只有是已知量，故所求不等式解集也用， 表示,不等式系数a，b，e的关系也用表示出来；（3）注意解法2中用“变换”的方法求t 0，二-.不等式ex2 bx a 0的解集是 x 1 x丄精选方程的根.典型例题十二例12若不等式x ax2x 1x b1r的解为（，3）（1，），求a、b的值.分析：不等式本身比较复杂,要先对不等式进行同解变形,再根据解集列出关于 ab式子.1解：T x2 x 1 (x )22(x34原不等式化为（2 a b）x2(a b)x a b 0 .依题意5232

20、说明：解有关一元二次方程的不等式，要注意判断二次项系数的符号，结合韦达定理来解.典型例题十三例13不等式的解集为x 1 x 2，求a与b的值.分析：此题为一元二次不等式逆向思维题，要使解集为x 1 x 2,不等式ax2 bx 2 0需满足条件a 0,0 , ax2 bx 2 0的两根为人 1,他 2.解法一：设axbx 20的两根为禺,X2，由韦达定理得：bb12x1x2a由题意：a2212X1X2aa a1 ,b 1，此时满足a0 ,b2 4a ( 2)0解法二：构造解集为 x 1 x 2的一元二次不等式：（x 1）（x 2） 0，即x2 x 2 0 ,a Kq此不等式与原不等式 ax2 bx 20应为同解不等式，故需满足：一 一 - a 1 ,1 1 2b 1 .说明：本题考查一元二次方程、一元二次不等式解集的关系，同时还考查逆向思维的能力.对有关字母抽象问题，同学往往掌握得不好.典型例题十四例14解关于x的不等式ax2 (a 1)x 10 .分析：本题考查一元一次不等式与一元二次不等式解法，因为含有字母系数， 所以还考查分类思想.解：分以下情况讨论(1)当a 0时，原不等式变为:x 10,- x 1当a0时，原不等式变为:(ax 1)(x1)0 当a 0时，式变为(x-)(x1)0,1不等式的解为 x 1