偏微分方程的建立重点

1、Depart. Math., USTC偏微分方程的导出一-运输方程1 运输方程（石油管道运输、南水北调）偏微分方程的建立运输方程的建立弦振动方程的建立热传导方程的建立泊松方程的建立O贝加尔一阿穆尔铁路西伯利亚铁路 泰纳线俄罗斯蒙古Egraphic365V立本金偏微分方程的导出一运输方程Depart. Math.立本金USTC偏微分方程的导岀一-运输方程运输方程ut+cux=O水平管道内有一种流体（比如，水）以恒定速度C流动水中含有某物质（如，污染物），以U （x, t）记其含量方程意义：污染物含量的变化率5正比于其梯度UxDepart. Math.,USTC立本佥偏微分方程的导岀运输方程chu

2、(ib+ch污染物在t时刻、区间0,b内的总量M=fobu(x, t) dx =Jchb+chu(x, t) dx 对b求导可得 u(b, t)=u(b+ch, t+h)对h求导，并令h=0,可得0=cUx+UtDepart. Math.立本金USTC偏微分方程的导出-一运输方程高维运输方程均+方 Vm = 0立本金Depart Math.USTC偏微分方程的导岀一振动方程物理假设：柔软、均匀、细小弹性弦作微小横振动 柔软张力方向指向弦的切线方向 均匀弦的线密度为常数细小重力忽略不计Depart. Math., USTC微小横振动U, Ux很小偏微分方程的导出-一振动方程立本金物理定律：牛顿第

3、二定律F=ma=0纵向+ U：横向puttdx+ Ux立本金偏微分方程的导岀一振动方程数学简化泰勒展开式+ U；=1 +丄U 2 +2 *Depart. Math.,USTC微分可得TuxJl + u：Depart. Math., USTC偏微分方程的导岀一振动方程张力T大小为常数QTux)x = putt立本金偏微分方程的导岀一振动方程弦振动方程的变种空气阻力正比于速度u” 一 cruxx + rut = 0,厂 0 横向弹性力正比于位移2u” 一 + kut = 0,k 0 系统受外力Depart. Math. USTC(兀 J)偏微分方程的导出一振动方程立本金弦振动方程的其他来源一CRL

4、电路十cL电漏G物理量：电流u(x,t),电容C,电阻R,电感L,Kirchhoff 定律立本金偏微分方程的导出一振动方程CRL电路的方程u vv = CLutt + (CR + GE)ur + GRu理想传输线：R=G=O uxx = CL%Depart. Math. USTCV立本佥Depart. Math.USTC立本金偏微分方程的导出一振动方程高维振动方程-鼓面（薄膜）的振动物理假设水平方向没有运动，u（x,y,乙t）为竖直方向位移平面区域D,边界物理定律 牛顿第二定律F=pSf=putldxdy= maDepart. Math. USTC偏微分方程的导出一振动方程数学化简Green

5、公式=-(tvu弹性张力大小为常数偏微分方程的导出-一扩散方程扩散方程一油滴、墨渍等在水中扩散X。X1管内从X。到X扩散物质总质量及其变化率M(t)= | ux,tdx*9立本金dMdtf ut(x.t)dxDepart. USTC偏微分方程的导出一扩散方程Depart. Math.USTC立本金物理定律一Fick扩散定律扩散物从浓度高的区域向浓度低的区域 扩散，扩散速度正比于浓度的梯度 罟=流入量流出量dMdt=kuxxx.t)-kux(xt)数学简化J w(x,r)t/x= kuxxt) - kuxx,t)对求导；得到扩散方程立本佥Depart. Math. USTC偏微分方程的导出-一扩

6、散方程高维扩散方程对任意区域D,有等式JJJ utdxdydz =JJ m)dS D由区域的任意性，可得ut = kZ = k(uXA + uvv + w)偏微分方程的导出一热传导方程热传导方程u(x,yz乙t)表示温度，H(t)表示区域D内的总热量，c为比热，为密度H(t) = JJJ c/7udxdydzD热量的变化率罟訂jcmdxdydzDepart. USTCD偏微分方程的导出一热传导方程立本金物理定律傅里叶热传导定律热量总是从温度高的区域流向温度低 的区域，流速正比于温度的梯度，因此， 沿区域D的边界热量流出流入量为能至寸te定律A:(h - 7u)dS = JJJ c/xijdxd

7、ydz DDepart. Math.,USTC立本金数学化简一散度定理V ( kVu )dxdydzDepart. Math. USTC偏微分方程的导出-一泊松方程Au=O静电场立本金由区域的任意性，可得微分方程比=3氢原子羞态电子云图立本金Depart. Math.,USTC偏微分方程的导出-一薛定谭方程薛定铐波函数方程被认为是公理，而不是由其他更为简单定律的推论；它解释了为什么原子结构是稳定的,不会塌陷;波尔观察到的氢原子中电子的能级；理论上，它可以 解释原子和分子的结构以及其化学性质ODepart Math. USTC（多粒子薛定铐方程变量太多，而不好 解。）偏微分方程的导出-麦克斯韦方程组V立本金麦克斯韦方程组一电磁学的基石电磁学表述了带电粒子之间的相互 作用：带电粒子产生电场E,运动的带电 粒子产生磁场B。真空中的麦克斯韦方程组（齐次）5Edt =：eV x B = 0SB _-eV x E B = 0Depart Math.dtUSTC立本金|偏微分方程的导出麦克斯韦方程组数学化简真空中的电场E和磁场B满足波动方程Dep