完整版,一元二次方程与一元二次不等式的解法分析及例题

1、一元二次方程、二次函数与一元二次不等式总结分析及例题（一）一元二次方程的一般形式：ax2 bx c 0 a 0其中a, b, c为常数，x为未知数。根的判别式:b2 4ac元二次方程根的个数与根的判别式的关系:0时，方程无实根;0时,方程有且只有一个实根，或者说方程有两个相等的实根;b2a0时,方程有两个不相等的实根。xi,2b 、b2 4ac2a（二）二次函数的一般形式：形如2y axbxb2a4ac b24a其中a,b,c为常数，x为自变量。顶点坐标为b2a4ac b24a，其中直线对称轴,1、（ 1）a 0时，函数2y axbx c的图象开口向下,函数y2ax bxb2a取到最大值，即4

2、ac b2y max4a ，对任意x R,y4ac b24a(2)a 0时,函数y ax2 bx c的图象开口向上，函数 y2ax bx2a取到最小值，即ymin4a2、二次函数yax2 bxc0时,函数2y axbx0时,函数2y axbx0时，函数2y axbxb2，对任意x R, y 4ac b4a与x轴交点个数的判断:0与x轴无交点;0与x轴相切，有且只有一个交点;0与x轴有两个交点。3、二次函数图象的基本元素：开口方向（即首项系数a的正负）、对称轴、（三）一元二次不等式的概念：形如ax2 bx c 0 a 0其中连接ax2 bx c与0的不等号可以是（四）三个两次之间的关系-元二次方

3、程、一元二次不等式、二次函数三个二次000y ax2 bx ca 0图象丄L/(丿X仁X2ax2 bx c 0a 0根x 为或xx2bx1 x22a无解2ax bx c 0a 0解集xx 为或x x2bxx12aRax2 bx c 0a 0解集xx x x2基本步骤：化正-计算 求根写解集（大于取两边，小于取中间）【典型例题】【类型一】一元二次方程2ax bx c 0 a 0的解法【方法一】求根公式法步骤：计算 ；若0，则方程无实根；若0，利用求根公式X1,2b 、b2 4ac2a【例1】求解下列方程.(1) x2 4x 402(2) 2x【练习】解下列方程.(1)2x2 5x 30(2) X

4、26x 8【方法二】十字相乘法利用十字相乘法求解方程ax2 bx c 0 a 0的前提条件是:0，也就是保证方程2ax bx c 0 a 0必须有实根十字分解依据：对于方程 ax bx c 0 a 0而言，a, b, c均为整数。当ac 0时，将ac分解为两个约数之和为 ）；当ac 0时，将ac分解为两个约数之差为 b或 b.【例2】求解下列方程（1） x2 6x 802（2） x 2x 15 0【练习】解下列方程（1） x2 8x 202（2） 2x 5x 20【类型二】二次函数最值的求法【方法一】公式法a 0时，函数y ax2 bx c在xb一取到最大值,2aymax4ac b24a，对任

5、意4ac b2x R，y ha0时，函数y ax2bxc在xx R,4ac b2y4a .【方法二】配方法y ax2 bx c a x2bx ac ab，+4ac b2取到最小值，即ymin，对任意2a4a222bbbx 2xc2a2a2a22b 4ac b a xa 4a【例3】求下列函数的最值（1） yx2 4x 82（2）y 2x 3x 5【类型三】一元二次不等式的解法【例4】解下列不等式(1) 3x2 7x 20；2(2) 6x x 200(3)x【练习】（1）不等式4x2 1 4x的解集是 （2）不等式2x 1 x 27的解集是.（3）不等式x 9 x0的解集是【类型四】分式不等式的

6、解法（有分母就要考虑分母不等于零，解分式不等式的基本思路是将其转化为整式不等式（组） 有根式就考虑大于等于零）f (x) g(x)f x g x 0,f (x) g(x)f x g x0且 g x 0,仝0 f x g x 0,也 0g(x)g(x)【例5】解下列不等式1(1) 1 1 ；xf x g x 0且g x 0,(2)2 x3 2x(4)139 x2 x2(2) 5x 11x 201解下列方程(1) X2 6x 8(3) 3x2 7x 2 0(4) x2 x 6 022不等式3x 16x 16 0的解集是 .1 2x3不等式1的解集是X 14不等式 X2 5x 7 0的解集是.25不等式4x4x 1 0的解集是 .6解下列不等式或方程(1) 2x2 x 15 0 ；(2) 6x2 6x 1 0 ；(3)3x2 2x8