导数难点及技巧-导数常用的一些技巧和结论

1、导数难点-导数常用的一些技巧和结论1讨论函数f(x) = 2e2x- (x0)的零点的个数;X2 .讨论函数/ (x) = e (1 -疋- 2x) -(7, (x 0)的零点的个数;3. 讨论函数/(x)T-各，的零点的个数；A4. 讨论函数/(x) = lnx +丄-a,的零点的个数；x5. 讨论函数兀 0丿二空的零点的个数；6. d S丄时，讨论函数/(x) = lnx-r/x的零点的个数； r(x)+/(x)0 构=/(x)+/(x)|0 构造xf(xj =xf (x)+/(x)3)y(x)+”(x)no 构造xj(x) = / (x) + nxV(x)=xiLx 0 构造（注意对X的

2、符号进行讨论1、111(3； + 1) W XX 1)2、ex x + l(x G R)3xIna: 2 2 _ (i 2 1)亿+ 14、In a: W $ 他D (0 V 龙 W 1) 亿+ 15、In w 2 (e 2)(1)2 x6、In忑 2 y (a? )(0 x 1)2 (c7、ln(l + x) 2 一-( 2 0)(2027 年全国新课标 1 理 21) U.f(x) = ae2x + (a-2)ex-x.(1) 讨论/(x)的单调性：(2) 若/(x)有两个零点，求Q的取值范围.解析：(1) f (尤)=2异、+ (d - 2 )a - 1 =(2+l)(a -1)若50,

3、则/(x) 0 ,令广(x ) = 0 ,得 e x =a,x=na.当 x In a 时，f ( x ) na 时，/ ( A- ) 0 ,所以 /(A-)在| In 丄d,+s| 上递增.(1)fXh-，l，iao时.f(x)在I In IIa)(2) /()有两个零点，必须满足/(A-)min 0,且/(j)inin =/|II(1I ftl inI ax I上递增.1) 1一 1= 1 一一 In- 0 易得 g (x ) = - 1 一丄 v 0 ,所以 g ( x ) = 1 x In x 单调递减.X/八八11m/、1又因为 g(l) = O,所以 1一一一In-001：| 一

4、| 1 oO va v 1 a aI a 丿a下面只要证明当0 vav 1时，/(X)有两个零点即可，为此我们先证明当x0时，X inx.事实上，构造函数 h ( x ) = x - In x ,易得 /?1 ( a- ) = 1 -. /. A ( x ) min = /? (1) =1.所以 / ( x ) 0 即 x In x/、a + cci + / 2、肖 Ovav 1 时，/(- ) = a + a-2+ 1 =(-)0，13a1其中一】Jn _ 所以/(x) ft： Iaaa1In73 -a I个牢点.故a的取值范围是(0,1) 注总：取点过程用到了常用放缩技巧。2xx2xx x

5、xx 3 - d(3一方面：ue + (a - 2) r -;vOu0+(a-2 )c - e 0 = ae +“-320 uxNin-IaI a另一方ifth x 0 u ( a 2 ) a入 一xn0u兀=一1 (目测的)常用的放缩公式(考试时需给出证明过程)（放缩成次函数）Inx x-h nxx , ln(l +x)xl), lnx丄 x-丄(0xvl),（放缩成女撇函数）2U第一组：对数放缩1 (Owl)ln.v .V（放缩成二次函数）lnxSx?-x.ln(l + x)x-2x2(- I A-x-2x2(j0)(放缩成类反比例函数)lnxhl-丄.lnx2(x-l) (xl), ln

6、x2(x-l)(0x x ln(l +x) 2x (a 0) In (1 + x) 2x (a x+l ,、（放缩成类反比例函数）v 4 x （ a： 0）, ex（JV 1 + X + 2 X 2 （ X 0）, A-2 + -6X3v 1 +X + -2第三组：指对放缩ex-nx(x+ l)-(x- 1) = 2第四组：三角函数放缩11sin x x 0), sin xx- x2 - x2 cosxe时，无零点.f (x) = x-a , /( a- )max =/ 11a ) = In丄& 一 1 V 0 .(2) 。= 一时，1个零点./(x)=丄_丄，/ (x) max =f(e)

7、= ne - 1=0.x e(3) 当0d_L时，2个零点.(I、/(l) = _a0 (目测),fl=ln11 - aj16/1a11= 0,其中1 va(放缩)1 一“ 1 一 1-6/1- a1- a(I11(1、1/i I- _ii “I -) a a I a ) a (4)当“5 0时，个零点.-a ejnff7 in.r I)f(x)=-x-a0 ,单调递增./(1) = -0 ,（以、(以(1 fl e a=1 +-ae a Ia )I a) ( 1、 1=1-m+0 e ) a【变式】（经过换元和等价变形之后均可以转化到例1： /（x） = InA-av1讨论/( a ) =

8、In x - hkJJx 的零点个数(令 ffx = t, 2 = d)：2.讨论/(x ) = x- m In x的零点个数(令F? = a )：3.讨论 f( x ) = X/xIn x - mx的零点个数(考虑g(x):4.讨论/(x) =In .v3的零点个数（考虑g（X）=Vj/（A ）,令/ =心，-m=a)；5.讨论/( x ) = In x - mx1 的零点个数(令 f = , 2m = a ):6.讨论/（x） = q “的零点个数（令）经典模型二：.v = - y = -XX【例2】讨论函数fx） = ex-ax的零点个数.(1) a 0 , /( x ) = e x -

9、 cix 单调递增.1/(0)=1-&0m 一i 0 ；(4)时，2个零点./l I5丿-l0,/(l) = e-fz ( - 2 ) 0.【变式】(经过换元和等价变形之后均可以转化到例题2： f(x) = ex-ax):1. 讨论/= 0的零点个数(令2x = t, 2 = ):pH72讨论/(x)=-i 一 的零点个数(去分母后与1等价；X 73 讨论f(x) = ex 一/7工的零点个数(移项平方后与1等价：4. 讨论f(x) = ex + mx2的零点个数(移项开方后换元与1等价：5. 讨论f(x) = e x一 mx的零点个数(乘以系数e,令em = a )：In x6讨论/(x)

10、= % 一 的零点个数(令x = e!，转化成2)7.讨论 f(x) = e A +1 - mx + nt 的零点个数(令 x - =rr e 2=a)：经典模型三：y = a In x或y = xex【例】讨论函数/(x) = lnx-X的零点个数.GO离考家长总群235649790成都市西城甬巷18号华润lavie峰锦2303 (九宁校区)十载毕业班经呛成都市色帝路186号英伦二期四堰3单元205 （成外校区）(1) a0时，1个零点./ (x) = x 2 0 , / ( X ) = In x - x 单调递增./(0 = -/、/、- u1a-n0, /(I+t7)= ln(l+npH

11、 + ZFT-TT 7-1+ d = 0(2) a = 0时，1个零点(M)=1)(3) a0(4) d =-丄时，1个零点.Xo = e f(x )min = f = In + 1=0 e ) e(5) 一一d 0. /il) = - -ea0 ,a I -a) aI e)【变式】(经过换元和等价变形之后均可以转化到例題3： /(.v) = ln.r-):Zv = f )2讨论/( x ) = X - a In x的零点个数:2. 讨论/( x ) = m +4 In x的零点个数(考虑?(%) =3讨论f(x)=xlx的零点个数(令0“ =)；4.讨论= -的零点个数;找点问题中的常见函数模型之间的关系令;ry = xev = ,v = -v In v令 e=/平方令x = &取倒数取倒数令wd式取倒数； y =令xlnzX 取倒数Xv = .rVv *令 2x = f同理，町以转化成x的其他任