等腰三角形的判定与反证法

1、高 效 上 好 每 节 课高 效 上 好 每 节 课 快 乐 上 好 每 天 学快 乐 上 好 每 天 学 第一章 三角形的证明 1 等腰三角形（2） 高 效 上 好 每 节 课高 效 上 好 每 节 课 快 乐 上 好 每 天 学快 乐 上 好 每 天 学 Contents 目 录 01 02 03 04 旧知回顾 学习目标 新知探究 随堂练习 05 课堂小结 高 效 上 好 每 节 课高 效 上 好 每 节 课 快 乐 上 好 每 天 学快 乐 上 好 每 天 学 学习目标学习目标 1、知道等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上 的中线及高相等，等边三角形的内角均为60； 2、经历“探索-发

2、现-猜想-证明”的过程，能够 用综合法证明上述等腰（边）三角形的相关性质. 高 效 上 好 每 节 课高 效 上 好 每 节 课 快 乐 上 好 每 天 学快 乐 上 好 每 天 学 旧知回顾旧知回顾 你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗? 2、等腰三角形顶角的平分线, 底边上的中线，底边 上的高互相重合. 简称： 三线合一 1、等腰三角形的两个底角相等. 简称：等边对等角 A CB D 1 2 高 效 上 好 每 节 课高 效 上 好 每 节 课 快 乐 上 好 每 天 学快 乐 上 好 每 天 学 新知探究新知探究 在等腰三角形中作出一些线段（如角平分线、中线、高等）. 你能发现其中的一

3、些相等的线段吗? 你能证明你的结论吗? 探一探 高 效 上 好 每 节 课高 效 上 好 每 节 课 快 乐 上 好 每 天 学快 乐 上 好 每 天 学 作图观察, 我们可以发现： 1. 等腰三角形两底角的平分线相等. 2. 等腰三角形两腰上的中线相等. 3. 等腰三角形两腰上的高相等. A CB D E A CB DE A C B DE 高 效 上 好 每 节 课高 效 上 好 每 节 课 快 乐 上 好 每 天 学快 乐 上 好 每 天 学 我们知道，观察或度量是不够的，感觉不可靠这 就需要以公理和已证明的定理为基础去证明它，让人们 坚定不移地去承认它，相信它 作图观察, 我们可以发现：

4、等腰三角形两底角的平 分线相等，两腰上的高、中线也分别相等. 下面我们就来证明上面提到的线段中的一种：等腰 三角形两底角的平分线相等 高 效 上 好 每 节 课高 效 上 好 每 节 课 快 乐 上 好 每 天 学快 乐 上 好 每 天 学 已知：如图，在ABC中， AB=AC， BD、CE是ABC的角平分线 例1. 证明: 等腰三角形两底角的平分线相等. 21 ED CB A 求证：BD=CE 证明：AB=AC，ABC=ACB (等边对等角) 1=ABC/2，2=ACB/2， 1=2 在BDC和CEB中， ACB=ABC，BC=CB，1=2 BDC CEB(ASA) BD=CE (全等三角形

5、的对应边相等) 高 效 上 好 每 节 课高 效 上 好 每 节 课 快 乐 上 好 每 天 学快 乐 上 好 每 天 学 证法二: 还有其他的证明方法吗？ 已知：如图，在ABC中， AB=AC， BD、CE是ABC的角平分线 求证：BD=CE4 3 ED CB A 证明：AB=AC，ABC=ACB 3=ABC/2，4=ACB/2， 3=4 在ABD和ACE中， 3=4，AB=AC，A=A ABD ACE(ASA) BD=CE(全等三角形的对应边相等) 高 效 上 好 每 节 课高 效 上 好 每 节 课 快 乐 上 好 每 天 学快 乐 上 好 每 天 学 A CB DE 议一议 1.已知:

6、 如图, 在ABC中, AB=AC， 如果ABD= ABC,ACE= ACB，那么BD=CE吗？ 如果ABD= ABC, ACE= ACB呢? 由此你能得到一个什么结论? 3 1 3 1 4 1 4 1 结论：在ABC中, AB=AC， 如果ABD= ABC,ACE= ACB，那么BD=CE. 高 效 上 好 每 节 课高 效 上 好 每 节 课 快 乐 上 好 每 天 学快 乐 上 好 每 天 学 议一议 2.已知: 如图, 在ABC中, AB=AC， 如果AD= AC,AE= AB，那么BD=CE吗？ 如果AD= AC, AE= AB呢? 由此你能得到一个什么结论? 3 1 3 1 4 1

7、 4 1 结论：在ABC中, AB=AC， 如果AD= AC,AE= AB，那么BD=CE. A CB DE 高 效 上 好 每 节 课高 效 上 好 每 节 课 快 乐 上 好 每 天 学快 乐 上 好 每 天 学 想一想 等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三 角形的内角有什么特征呢？ 定理：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都 等于60. 你能证明有关等边三角形内角度数的这个定理吗？ 高 效 上 好 每 节 课高 效 上 好 每 节 课 快 乐 上 好 每 天 学快 乐 上 好 每 天 学 证明：AB=AC， B=C(等边对等角). 又AC=BC， A=B(等边对等角). A=B=C

8、. 在ABC中 A+B+C180， A=B=C60. BC A 已知：如图，在ABC中，AB=BC=AC. 求证：A=B=C=60. 定理：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都 等于60. 高 效 上 好 每 节 课高 效 上 好 每 节 课 快 乐 上 好 每 天 学快 乐 上 好 每 天 学 随堂练习随堂练习 1. 证明: 等腰三角形两腰上的中线相等. 已知: 如图,在ABC中AB=AC,BD,CE是ABC两腰上的中线. 求证: BD=CE. A CB DE 在ABD与ACE中 AB=AC(已知), A=A（公共角），AD=AE（已证） ABD ACE（SAS） BD=CE 证明： AD

9、= AC, AE= AB , AB= AC AD=AE 2 1 2 1 高 效 上 好 每 节 课高 效 上 好 每 节 课 快 乐 上 好 每 天 学快 乐 上 好 每 天 学 2. 证明: 等腰三角形两腰上的高相等. 证明: 在ABD与ACE中 A=A（公共角） ADB=AEC=90（高的定义） AB=AC（已知） ABD ACE（AAS） BD=CE 已知: 如图, 在ABC中AB=AC,BD,CE是ABC两腰上的高 求证: BD=CE.A C B DE 高 效 上 好 每 节 课高 效 上 好 每 节 课 快 乐 上 好 每 天 学快 乐 上 好 每 天 学 3. 如图，在ABC中，D，E是BC的三等分点，且ADE是等边 三角形，求BAC的度数. A BC DE 12 34 解： ADE是等边三角形 ADE=AED=DAE=60，AD=AE=DE 又ADE=1+3=60 AED= 2+ 4=60 1+3 +2+ 4=120 又点D、E是BC的三等分点 CE=DE=BD AD=BD，AE=CE 1=3， 2=4 则1+3 +2+ 4=2 1+2 2=2（ 1+ 2）=120 即1+ 2=60 BAC= 1+ 2+ DAE=60+60=120. 高 效 上 好 每 节 课高 效 上 好 每 节 课