导数知识点总结及例题讲解

1、高二数学复习讲义导数及其应用x00 时，处00处f (x0 ) 。知识归纳1导数的概念函数 y=f（x）, 如果自变量 x 在 x 0 处有增量x ，那么函数y相应地有增量 y =f（x0 + x ） f（x ），比值 y 叫做函数 y=f （x）在 x0 x 0 到 x 0 + x 之间的平均变化率，即y = f （x0x） f （x0 ） 。如果当 xyxxy 有极限，我们就说函数 y=f（x） 在点 xx可导，并把这个极限叫做 f （x）在点 的导数，记作 f（x 0 ）或 y| x yx ）= lim= lim f （x0x）04两个函数的和、差、积的求导法则法则 1：两个函数的和 （

2、或差） 的导数, 等于这两个 函数的导数的和 （或差）， 即： （ u v）u v .法则 2 ：两个函数的积的导数 ,等于第一个函 数的导数乘以第二个函数 , 加上第一个函 数 乘以第二个函数的导数，即： （uv） u v uv .若 C 为常数 , （Cu） C u Cu 0 Cu Cu .即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数 的导数： （Cu） Cu .法则 3 ：两个函数的商的导数，等于分子的 导数与分母的积，减去分母的导数与分子的x 0 x x 0 x说明： （1）函数 f （x）在点 x 0 处可导，是指yyx 0 时，x有极限。如果x不存在极积再除以分母的平方：（v 0 ）。u

3、 v uv限，就说函数在点 x 0 处不可导，或说无导数。 （2） x 是自变量 x 在 x 0 处的改变量， x 0 形如 y=f （x ） 的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解求导回代。法时，而 y 是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数 y=f （x）在点 x 0 处的导数的步骤：（ 1）求函数的增量 y =f（x 0 + x ）f（x 0 ）；（2）求平均变化率 y=f （x0x） f（x0 ） ；xx（3）取极限，得导数 f（x 0 ）= lim y 。x 0 x2导数的几何意义函数 y=f （x）在点 x 0 处的导数的几何意义是 曲线 y=f （x）在点 p

4、 （x 0 ，f （x 0 ）处的 切线的斜率。也就是说，曲线 y=f （x）在点 p （x 0 ，f（x 0 ）处的切线的斜率是 f（x 0 ）。/ 相应地，切线方程为 y y 0 =f （x 0 ）（xx 0 ）。 3几种常见函数的导数 : C 0; x nnxn 1;（sin x ） cosx ; （cosx ） sinx ; （ex ） ex ; （ ax ） ax lna ; ln x 1 ; l og a x 1 loga e 则：y| X = y | U u| X5. 单调区间： 一般地，设函数 y f (x) 在 某个区间可导，如果 f (x) 0 ，则 f (x) 为增函数；

5、如果 f (x) 0 ，则 f (x) 为减函数；如 果在某区间内恒有 f (x) 0 ，则 f (x) 为常数；6. 极点与极值： 曲线在极值点处切线的斜率为 0 ，极值 点处的导数为 0 ；曲线在极大值点左侧切线 的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左 侧切线的斜率为负，右侧为正； 7最值 ：一般地，在区间 a ，b 上连续的函数 f (x) 在a，b 上必有最大值与最小值。求函数 ? (x) 在(a ， b)内的极值； 求函数 ? (x) 在区间端点的值 ?(a) 、?(b) ； 将函数 ? (x) 的各极值与 ?(a) 、?(b) 比 较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。折线段

6、 ABC ，其中A， B，C 的坐标分别为高考题型1.导数定义的应用例 1 （ 北京高考）如图，函数 f （ x） 的图象是（0，4），（2，0），（6，4） ， 解 ： y / （ x a） （ 3 x 2a ，b） 由 y/ 0 得2a bx a , x，当 x a 时， y 取极大值32a b0 ，当 x 时 y 取极小值且极小值为3负故选 C或当x b 时 y 0 ，当 x b 时，lim f 1 x f 1 x 0 x解：由图可知 f xy 0 选 C点评:通过导数研究函数图像的变化规律 , 也 是考试的热点题型 .3. 利用导数解决函数的单调性问题例 5 （ 全 国 高 考 ） 已

7、 知 函 数 f （ x ） x 3 ax 2 x 1， a R 2. 利用导数研究函数的图像例 3 （ 安 徽 高 考 ） 设 a b, 函 数2y （ x a） （ x 的 b） 图像可能是a2 33递减递增。x 2 2 x 3 据导数的定义例（ 重 庆 高 考 ）已知函数f xx2 bxce x,其中 b, cR ，（）略，（）若 b24c1 , 且 lim fx c4 ，试x0x证：6b2解：2b 2 x bc e x，易知f 0c 故知 lim f 1 x f 112 x 0 xfxcxf 0x0xx0x0b c 4,所以 解得 6 b 2 b2 4 c 1 ,）讨论函数 f （ x

8、） 的单调区间；（）设函数f （ x） 在区间2，1内是减函33数，求 a 的取值范围解：( 1 ) f ( x ) x 3ax 2x1求导得2f ( x )3 x 2a x1当2时， ，在上a 递增；3 0f ( x)0 f ( x)R当2求得两根为a3f ( x)0x aa2 3 ，3即 f (x） 在 ，a a23递增，3a 2 3 a a2 33 ， 32）因为函数f （ x） 在区间2 ， 1 内是减2 1函数，所以当 x ， 时 f x 0 恒成3 32f 3 0 立，结合二次函数的图像可知 解13得 a 2 点评：函数在某区间上单调转化为导函数 f x 0或 f x 0 在区间上

9、恒成立问题， 是解决这类问题的通法本题也可以由函数 a a 2 3 a a2 3在 ， 上递减，所以3 3a 32 。从而a1,1a21,a2或a32解得33a1,5a1,1或a122所以 a的取值范围是5, 11,1 .22f x 0 ，得 x1 a, x21a1a点评：这种逆向设问方式是今后高考命题的一种趋势，充分体现高考“能力立意”的思想，高考中应高度重视。aa2 3233求解aa2 3133变式 1 】(全国高考)若函数f x133 x312 ax2 a 1x1 在区间1,46, 上是增函数，求 a 1 ，令 f x 0 得4)利用导数的几何意义研究曲线的切线问例 6 (江西高考)若存

10、在过点 (1, 0) 的直线与曲线y x3 和 y ax2 145 x 9 都相切，则 a 等 于上是减函数，在区间 实数 a 的取值范围 解： f x x2 axA 1 或 - 25B 1 或21644C7 或 - 25D7 或74 644解：设过 ( 1, 0 )的直线与 yx3 相切于点所以切线方程x 1或 x a 1，结合图像知 4 a 1 6， 故 a 5,7 3( x0 , x03 ) 为点评：本题也可转化为 f x 0， x 1,4 恒32x03 x0 ( x x0 )成立且 f x 0， x 6, 恒成立来解即y3 x0 2 x 2x03 ，又 (1, 0) 在切线上，则变 式

11、 2 】( 浙 江 高 考 ) 已 知 函 数 f ( x ) x 3 (1 a ) x 2 a ( a 2)x b ( a, b R) 若函数 f ( x) 在区间 ( 1,1) 上不x0当 x00 或 x0 32 ，0 时，由 y 0 与单调，求 a 的取值范围159 相切可得 ay ax 22564 ，当 x0解：函数 f (x) 在区间f x 0(1,1)在区间根2 1( 1,1) 不单调，等价于 上有实数解，且无重 ax a a 215y ax 24 x 9 相切可得 a 1 ，所以选 A .唯一极值因此满足条件的a 的取值范围是，则点 P 横坐6. 利用导数解决实际问题点评：函数的

12、切线问题，切点是关键，因 为它是联结曲线和其切线的“桥梁”， 在做题中往往需要设出切点【变式】( 辽宁高考)设 P 为曲线 C ： y x 2 2 x 3 上的点，且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为 0，4标的取值范围为( )A 1， 1B 1，02解：由曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为 0，可得曲线 C 在点 P 处切线的斜40 1y 2x2 P率范围为，又，设点 的横坐标 为 x0， 则 0 2x02 1 ， 解 得1 x012 ，故选 A 5. 利用导数求函数的极值与最值例 7 ( 天 津 高 考 ) 已 知 函 数432f ( x ) x 4 ax 3 2x 2

13、 b ( x R )， 其 中a, b R 若函数 f(x)仅在 x 0处有极值， 求 a 的取值范围解： f ( x ) x (4 x 2 3ax 4) ，显然 x 0 不是4 x 2 3ax 4 0 成立，即有9a2 64 0 解不等式，得83 a 83 这时， f (0) b 是 83 , 83 例 8 用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体 形状的框架，要求长方体的长与宽之比为 2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少 时，其体积最大？最大体积是多少？ 解：设长方体的宽为 x(m)，则长为 2x (m) ，高为h1812x4.53x(m)0x 0 对于任何实数都恒成立4 f (x )ax33x2 2 ,