高中数学：第一章 1.3.1 函数的单调性和最大值、最小值(11)(1)

1、maxmaxmin12max1ruize第 2 课时函数的最大(小)值课时过关 能力提升 基础巩固1.函数 f(x)=x+1 在 x-1,1上的最大值为( )a.-1 b.0 c.1 d.2解析:f(x)=x+1 在 x-1,1上单调递增,f(x) =f(1)=2.答案:d2.已知函数 f(x)在区间-2,2上的图象如图所示,则此函数的最小值、最大值分别是( )a. f(-2),0b. 0,2c. f(-2),2d. f(2),2解析:由图象可知,该函数的最小值为 f(-2),最大值为 f(1)=2. 答案:c3.函数 y=-x2-4x+1,x-3,3的值域是( )a.(- ,5 b.5,+

2、) c.-20,5 d.4,5解析:f(x)的图象开口向下,对称轴为 x=-2,f(x) =f(-2)=5,f(x) =f(3)=-20.答案:c4.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为 l =-x2+21x 和 l =2x,其中销 售量 x 的单位:辆.若该公司在两地共销售 15 辆,则能获得的最大利润为 ( )a.90 万元b.120 万元c.120.25 万元d.60 万元解析:设在甲地销售了 x 辆,则在乙地销售了(15-x)辆,所获得利润为 y 万元,则由已知得 y=-x2+21x+2(15-x)=-x2+19x+30,其图象对称轴为 x=192. 由xn

3、得,当 x=9 或 10时,y =120 万元.答案:b5.函数 f(x)=4x-1,x ,1 的值域是_.2)f(x)f(1).1 122393 991 21 2121-22-112ruize解析:f(x)=4x-1在 ,1 上是增函数,则 (2 21 1又 ( ) = 4 1 = 1, (1) = 4 1 1 = 3, 2 2故 1f(x)3.答案:1,36.函数 f(x)=x2+2x-3 在区间-2,2上的最大值为.解析:f(x)的图象开口向上,且对称轴为 x=-1,故 f(-2),f(2)中的一个值为最大值. 又 f(-2)=4-4-3=-3,f(2)=4+4-3=5,f(x)在-2,

4、2上的最大值为 5.答案:57.已知函数 f(x)= 1,-1 1, , 1,则()的最大值、最小值分别为_, _.解析:函数 f(x)= 1,-1 1, , 1的图象如图所示.由图可知函数的最大值为 1,最小值为 0.答案:1 08.把长为 12 cm 的细铁丝截成两段,各自围成一个正方形,求这两个正方形面积之和的最小值.解:设一个正方形的边长为 x cm,两个正方形的面积和为 s cm2,则另一个正方形的边长为12-44= 3 (cm),0 3,则 s=x2+(3-x)2=2 (-2) + .2 2当 x= 时,s 取最小值 ,2 2即这两个正方形面积之和的最小值为 cm2.29.已知函数

5、 f(x)=-2 -1.(1) 求证:函数 f(x)在区间2,3上是增函数;(2) 求 f(x)在区间2,3上的最大值和最小值.(1)证明设 x ,x 是区间2,3上的任意两个实数,且 x x ,则 f(x )-f(x )=-2-1=-2 (-1 1-1 )-1211212 121 22 1 1212122ruize=-2( -1)-( -1) ( -1)( -1)=-2( -1)(-1).2x 0,x -10,x -10. f(x )-f(x )0,即 f(x )f(3),(2)因为 g(x)=f(x)-mx=x2-(m+2)x+2,其对称轴为 x= -1,解得 m-4.故 m 的取值范围是

6、(- ,-4.222. 由函数g(x)在区间-1,2上单调递增,可得能力提升1.已知函数 f(x)=2x-3,当 x1 时,恒有 f(x)m 成立,则实数 m 的取值范围是( )a.rc.-1,+ )b.(- ,-1 d.解析:f(x)=2x-3 是增函数,当 x1 时,f(x)f(1)=21-3=-1,则 m-1. 答案:b2,0 1,2.函数 f(x)= 2,1 2,3, 2的最大值是( )a.0 b.1 c.2 d.3解析:当 0x1 时,f(x)的最大值是 f(1)=2;当 1x .12121ruize解析:因为二次函数 f(x)=4x2-kx-8 在区间(5,20)上既没有最大值也没

7、有最小值,所以函数 f(x)=4x2-kx-8在区间(5,20)上是单调函数.易知二次函数 f(x)=4x2-kx-8 的图象的对称轴方程为 x=, 因此 5或 8 8820,所以 k40 或 k160.答案:c4.若函数 f(x)=x2+bx+1 的最小值是 0,则实数 b= .解析:f(x)是二次函数,二次项系数 10,则 f(x)的最小值为 (- 解得 b=2.答案:2 + 1 = 0, 2 4 2, ,5.记 mina,b= 若() = min + 2,10 (0),则 f(x)的最大值为.解析:在同一平面直角坐标系内画出函数 y=x+2 和 y=10-x 的图象.根据 minx+2,

8、10-x(x0)的含义可知,f(x)= + 2,0 4, 10 -, 4,所以函数f(x)的图象为图中的实线部分.解方程 x+2=10-x,得 x=4,此时 y=6,故两图象的交点为(4,6).观察图象知,两图象的交点即为 f(x)的图象 的最高点,即 f(x)的最大值为 6.答案:66.某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20 000 元,每生产一台仪器需要增加投入 100 元,最大月产量是 400 台.已知总收益满足函数 r(x)=400x122, 其中是仪器的月产量(单位: 台).(1) 将利润 y(单位:元)表示为月产量 x(单位:台)的函数;(2) 当月产量为何值时,公司所获得利润最

9、大? 最大利润为多少?(总收益=总成本+利润) 解:(1)设月产量为 x 台时,利润为 y 元,则总成本为(20 000+100x)元,所以 y=r(x)-(20 000+100x)=400x 20 000-100x2= + 300 20 000,0x400.2(2)由(1)得 y= ( 300)2 + 25 000,2当 x=300 时,y 有最大值 25 000,即当月产量为 300 台时,公司所获得利润最大,最大利润为 25 000 元. 1 11min1 1min + 1, 即 上单调递减,在区间 ) = .1 3min1 , 即a1 时,f(x)的最大值为 f(0)=1. 2 2(2)当 a=1 时,f(x)=x2-x+1,其图象的对称轴为 x= 当 t 时,f(x)在区间t,t+1上是增函数,2可知 f(x) =f(t)=t2-t+1;12.当 t+1 , 即t 2 2时,f(x)在区间t