高中数学直线与圆的综合问题训练题

1、1直线与圆的综合问题训练题a 级保大分专练1已知圆 c：x2y22x2mym230 关于直线 l：xy10 对称，则直线 x 1 与圆 c 的位置关系是( )a相切c相离b相交 d不能确定解析：选 a 由已知得 c：(x1)2(ym)24，即圆心 c(1，m)，半径 r2，因为圆 c 关于直线 l：xy10 对称，所以圆心(1，m)在直线 l：xy10 上，所以 m2.由 圆心 c(1,2)到直线 x1 的距离 d112r 知，直线 x1 与圆 c 相切故选 a.12 直线 ax y20 与圆 x2y2r2a相切，则圆的半径最大时，a 的值是( )a1c1b1da 可为任意非零实数1 |002

2、|解析：选 c 由题意得，圆心(0,0)到直线 ax y20 的距离等于半径 r，即aa2a2r.由基本不等式，得 r22 2，当且仅当 a41，即 a1 时取等号故选 c.3与圆 x2y22 2y10 相切，且在两坐标轴上截距相等的直线的条数为( )a2c4b3d6| 2m|解析：选 b 圆的标准方程为 x2(y 2)21，设切线方程为 ykxm，则 k211，整理得( 2m)2k2m1，又因为切线在两坐标轴上的截距相等，所以 m ，联立方k程得 2m mm ， k2k21，m0， 解得 k1k1， 或 m2 2，所以切线方程为 y x 或 yx2 2，切线共有 3 条4已知点 p(x，y)

3、是直线 kxy40(k0)上一动点，pa，pb 是圆 c：x2y22y0 的两条切线，a，b 是切点，若四边形 pacb 的最小面积是 2，则 k 的值为( )a3c2 2bd221222解析：选 d 圆 c：x2y22y0 的圆心为(0,1)，半径 r1.由圆的性质，知 s四边形 pacb12 .四边形 pacb 的最小面积是 2， 的最小值为 1，则 rd 1(d 是切线长)， pbc pbc mind 2.圆心到直线 kxy40 的距离就是 pc 的最小值，|pc| min min 5.k0，k2.故选 d.5 d21 1k25(2019赣州七校联考)已知圆 c：x2y22ax2bya2

4、b210(a0)的圆心在 直线 3xy 30 上，且圆 c 上的点到直线 3xy0 的距离的最大值为 1 3，则a2b2的值为( ) a1c3b2d4解析：选 c 易知圆的标准方程为(xa)2(yb)21，所以圆心为(a，b)，由圆心在 直线 3xy 30 上，可得 3ab 30，即 b 3(a1) .圆 c 上的点到直线| 3ab|3xy0 的距离的最大值 d 1 31，得| 3ab|2 3 .由得max3|2a1|2，又 a0，所以 a ，a2b2a23(a1)23.26已知实数 x，y 满足(x5)2(y12)225，那么 x2y2的最小值为_解析：由题意得 x2y2x2 y2表示点 p

5、(x，y)到原点的距离，所以x2y2的最小值表示圆(x5)2(y12)225 上一点到原点距离的最小值又圆心(5,12)到原点的距离为212213，所以 x2y2的最小值为 1358.答案：87已知 p(x，y)为圆(x2)2y21 上的动点，则|3x4y3|的最大值为_ 解析：设 t3x4y3，即 3x4y3t0.由圆心(2,0)到直线 3x4y3t0|63t|的距离 d 1，3242解得2t8.所以|3x4y3| 8.max答案：88(2018贵阳适应性考试)已知直线 l：ax3y120 与圆 m：x2y2a，b 两点，且amb ，则实数 a_.31解析：直线 l 的方程可变形为 y ax

6、4，所以直线 l 过定点(0,4)，34y0 相交于且该点在圆 m 上圆的方程可变形为 x2(y2)24，所以圆心为 m(0,2)，1 1y y 2x=2100半径为 2.如图，因为amb ，所以amb 是等边三角形，且边长为 2，高为 3，即圆心3|612|m 到直线 l 的距离为 3，所以 3，解得 a 3.a29答案： 3 1 19已知曲线 c 上任一点 m(x，y)到点 e1， 和直线 a：y 的距离相等，圆 d： 4 41(x1)2y 2 2r2(r0)(1) 求曲线 c 的方程;(2) 过点 a(2,1)作曲线 c 的切线 b，并与圆 d 相切，求半径 r.解：(1)由题意得x 2

7、 4 4.两边平方并整理，得 y(x1)2. 曲线 c 的方程为 y(x1)2. (2)由 y(x1)2，得 y2(x1) 点 a(2,1)在抛物线 c 上，切线 b 的斜率为 y|2.切线 b 的方程为 y12(x2)，即 2xy30. 又直线 b 与圆 d 相切，1 圆心 d1， 2到直线 b 的距离等于半径， 21 3 2 即 r511 5 .1010已知过点 a(1,0)且斜率为 k 的直线 l 与圆 c：(x2)2(y3)21 交于 m，n 两点 (1)求 k 的取值范围； (2) om on 12，其中 o 为坐标原点，求|mn|.解：(1)设过点 a(1,0)的直线与圆 c 相切

8、，显然当直线的斜率不存在时，直线 x1 与 圆 c 相切当直线的斜率存在时，设切线方程为 yk (x1)，即 k xyk 0.0 0 0圆 c 的半径 r1，|k 3| 4圆心 c(2,3)到切线的距离为 1，解得 k .k21 30过点 a 且斜率为 k 的直线 l 与圆 c 有两个交点，2114 4 k ，即 k 的取值范围为，3 3 .(2)将直线 l 的方程 yk(x1)代入圆 c 的方程，得(1k2)x2(2k26k4)xk26k 120.设 m(x ，y )，n(x ，y )，则1 1 2 22k26k4 k26k12x x ，x x .1 2 1k2 1 2 1k29k2y y

9、k2(x 1)(x 1)k2(x x x x 1) .1 2 1 2 1 2 1 2 1k2 10k 6k12 om on x x y y 12，解得 k3 或 k0(舍去)1 2 1 2 1k2直线 l 的方程为 3xy30.故圆心(2,3)在直线 l 上，|mn|2r2.b 级创高分自选1已知圆 m：(x2)2(y2)22，圆 n：x2(y8)240，经过原点的两直线 l ，1l 满足 l l ，且 l 交圆 m 于不同两点 a，b，l 交圆 n 于不同两点 c，d，记 l 的斜率为 k. 2 1 2 1 2 1(1) 求 k 的取值范围；(2) 若四边形 abcd 为梯形，求 k 的值1

10、解：(1)显然 k0，所以可设 l 的方程为 ykx，则 l 的方程为 y x.1 2 k|2k2|依题意得点 m 到直线 l 的距离 d 2.1k2整理，得 k24k10，解得 2 3k2 3.同理，点 n 到直线 l 的距离 d 2 2|8k|2 10，1k215 15 k .解得3 3由可得 2 3k153，所以 k 的取值范围为2 3，153 .(2)设 a(x ，y )，b(x ，y )，c(x ，y )，d(x ，y )，1 1 2 2 3 3 4 4将直线 l 的方程代入圆 m 的方程，得(1k2)x24(1k)x60， 11 41 24 3x x x xe feefefe f所

11、以 x x 1 2k 6 ，x x .1k2 1 2 1k2将直线 l 的方程代入圆 n 的方程，得(1k2)x216kx24k2 20，16k 24k2所以 x x ，x x . 3 4 1k2 3 4 1k2x x由四边形 abcd 为梯形可得 ，x x2 3x x x x所以 2 2，所以 2 1 3 4x x1 2x x1 22x x3 4x x3 42，所以(1k)24，解得 k1 或 k3(舍去)故 k 的值为 1.2(2019成都双流中学模拟)已知曲线 c 上任意一点到点 a(1，2)的距离与到点 b(2，4)的距离之比均为2.2(1) 求曲线 c 的方程；(2) 设点 p(1，

12、3)，过点 p 作两条相异的直线分别与曲线 c 相交于 e，f 两点，且直线 pe 和直线 pf 的倾斜角互补，求线段 ef 的最大值解：(1)设曲线 c 上的任意一点为 q(x，y)，由题意得xx2 y2 y2222，整理得 x2y210，故曲线 c 的方程为 x2y210.(2)由题意知，直线 pe 和直线 pf 的斜率存在，且互为相反数，因为 p(1，3)，故可设直线 pe 的方程为 y3k(x1)，联立方程得y3k x x2y210，消去 y 得(1k2)x22k(k3)xk26k10，因为 p(1，3)在圆上，所以 x1 一定是该方程的解，故可k26k1 k26k1 y y k x 得 x ，同理可得 x ，所以