高考数列求和解题方法大全

1、11=nn33x (1 -x n )高考数列求和解题方法大全数列求和问题是数列的基本内容之一，也是高考的热点和重点。由于数列求和问题题型多样，技巧性也较强，以致成为数列的一个难点。鉴于此，下面就数列求和问题的常见题型及解法技巧作一归纳，以提高同学们数列求 和的能力。一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法 .1、等差数列求和公式：s =nn( a +a ) n ( n -1) 1 n =na + d 2 2 na2、等比数列求和公式： s n =a1 (1 -q n ) a1 -a n q1 -q 1 -q( q =1)( q 1)3、s =nk =11k

2、 = n ( n +1) 24 、s =nk =1k21= n( n +1)(2 n +1) 6例 1 已知log x =3-1log 32，求 x +x 2 +x 3 +xn+的前 n 项和.解 ： 由log x =3-1 1 log x =-log 2 x =log 3 22，由 等 比 数 列 求 和 公 式 得s =x +x n2+x3+xn= 1 -x1 1(1 - )2 2 n11 -1112 n二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，这种方法主 要用于求数列a b 的前 n 项和，其中 a 、 b 分别是等差数列和n n n n等比数列.例 2

3、求和：s =1 +3 x +5 x n2+7 x3+(2n-1)xn -1n1解：由题可知，(2n -1) xn -1的通项是等差数列2n1的通项与等比数列xn -1的通项之积当x =1时 ， s =1 +3 +5 +7 +l+(2n-1)=n1+(2n-1)n2=n2当x 1时设xs =1x +3 x 2 +5 x 3 +7 x 4 +(2n-1)x nn （设制错位） 得(1 -x ) s =1 +2 x +2 xn2+2 x3+2 x4+2xn -1-(2 n -1) xn（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：(1 -x ) s =1 +2 x n1 -x n -1 1 -x-(2n

4、-1) xns =n(2n -1) x n +1 -(2 n +1) x n +(1 +x )(1 -x ) 2例 3.已知a 0, a 1，数列a是首项为 a，公比也为 a 的等比数列，令 nb =a lg a ( n n ) n n n解析：，求数列b的前 n 项和 s 。n n-得：(1 -a ) s =( a +a 2 +l +a n -na n +1) lg an s = a lg a 1-(1+n-na) a n 。 (1 -a ) 2点评：设数列a的等比数列，数列 nb是等差数列，则数列 nabn n的前n项和sn求解，均可用错位相减法。三、反序相加法求和这是推导等差数列的前 n

5、 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到 n 个( a +a ) 1 n.例 4 函 数f ( x)对 任 意x r， 都 有 f ( x ) + f (1 -x ) = 。（ 1 ） 求21f ( )2和 满足：nn解：（1）令 ,可得，（2）nnnnn(3n -1) n (3n +1) na n1 n -1 f ( ) + f ( )n n的值；（2）数列1 2a a = f (0) + f ( ) + f ( ) +l+ f (n nn -1n) + f (1)，数列a是n等差数列吗？请给与证明。（3）b =n44a -1n，s =32 -

6、 n16n，t =b 2 +bn 1 22+l+bn2试比较 t 与 s 的大小。n n1 1 1 1 n -1 1 1 1 x = f ( ) = f ( ) + f ( ) = f ( ) + f (1 - ) =2 2 4 n n n n 2 1 2 n -1q a = f (0) + f ( ) + f ( ) +l+ f ( ) + f (1)n n nn -1 n -2 2 1a = f (1) + f ( ) + f ( ) +l+ f ( ) + f ( ) + f (0)n n n n1 n -1 11 a = f (0) + f (1) + f ( ) + f ( ) +l

7、+ f (1) + f (0) = ( n +1)n n 2a =nn +14（3）b =n4n，t =16(1 +n1 1 1 1 1 1+ +l+ ) 16(1 + + +l+ ) 2 2 3 2 n 2 12 2 3 ( n -1) n四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆 开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可 .例 5求数列的前 n 项和：1 1 1 1 +1, +4, +7,a a 2 a n -1+3n -2，解：设1 1 1s =(1 +1) +( +4) +( +7) +( +3n -2)a a 2 a n -

8、1将其每一项拆开再重新组合得1 1 1s =(1 + + +) +(1 +4 +7 +3n-2) a a 2 a n -1（分组）当 a1 时，s =n +n （分组求和） 2 2当a 1时，11 -s = +n 11 -a(3n -1) n a -a 1-n (3n -1) n+2 a -1 2例 6 求数列n(n+1)(2n+1) 的前 n 项和.解：设a =k ( k +1)(2 k +1) =2 k k3+3k2+kn nn n nns =k ( k +1)(2 k +1) n(2 k3+3k2+k )k =1 k =1 将其每一项拆开再重新组合得s n2 k 3 +3 k 2 +k（

9、分组）k =1 k =1 k =1 2(13 +2 3 +n3)+3(12+22 +n2)+(1+2+n)n2( n +1) 2 n ( n +1)(2 n +1) n ( n +1) n ( n +1) 2 + +2 2 2 2( n +2)五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用 . 裂项法的实质是将数 列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求 和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）a = f ( n +1) - f ( n) n（2）sin1o cos nocos( n +1)o=tan( n +1)o-tan no（3）a =n1 1 1= -

10、n(n +1) n n +1（4）a =n(2 n ) 2 1 1 1=1 + ( - )(2 n -1)(2 n +1) 2 2 n -1 2 n +1（5）a =n1 1 1 1= -n(n -1)( n +2) 2 n ( n +1) ( n +1)( n +2)(6)a =nn +2 1 2( n +1) -n 1 1 1 1 = = - , 则s =1 -n( n +1) 2 n n( n +1) 2 n n 2n-1 ( n +1)2 n ( n +1)2n例 7求数列11 + 2,12 + 3,1n + n +1,的前 n 项和.解：设a =n1n + n +1= n +1 - n（裂项）则s =n11 + 2+12 + 3+1n + n +1（裂项求和）( 2 - 1) +( 3 - 2) +(n+1- n ) n +1 -1例 8在数列a 中， na =n1 2 n + +n +1 n +1 n +1，又b =n2a an n +1，求数列b nnn的前 n 项