高考数学第51炼 等差等比数列综合问题

1、bn +1a -ac第 51 炼 等差等比数列综合问题一、基础知识：1、等差数列性质与等比数列性质：等差数列an等比数列bn递推公式an +1-a =d (nn*) nn +1 =q (nn bn*)通项公式a =a +(n-1)d n 1b =b q n 1n等差（比）中项2 an +1=a +ann +2b 2n +1=b bn n +2m +n = p +qa +a =a +a m n pqb b =b b m n p q等间隔抽项仍构成等差数列仍构成等比数列相邻k项和s , s -s , s -s n 2 n n 3 n2 n成等差数列s , s -s , s -s n 2 n n 3

2、 n2 n成等比数列2、等差数列与等比数列的互化：（1）若an为等差数列，c 0, c 1 ，则 can成等比数列证明：设anc a的公差为 d ，则 =c n +1 nc a n=cd为一个常数所以can成等比数列（2）若an为正项等比数列，c 0, c 1 ，则 log acn成等差数列证明：设an的公比为 q ，则 log a -log a =logc n +1 c ncan +1 =log q an为常数所以log acn成等差数列二、典型例题：例 1：已知等比数列an中，若4 a , a ,2 a1 32成等差数列，则公比q =（ ）a.1b.-1或2c.2d.-1思路：由“4 a

3、, a ,2 a1 32成等差数列”可得：2 a =4 a +2 a a =2 a +a 3 1 2 3 12，再由等比数列定义可得：a =a q 2 , a =a q 3 1 2 1，所以等式变为：q2=2 +q 解得 q =2 或 q =-1，经检1112( q验均符合条件答案：b例 2：已知an是等差数列，且公差d不为零，其前 n 项和是 sn，若a , a , a 3 4 8成等比数列，则（ ）a.c.a d 0, ds 0 1 4a d 0, ds 0 1 4b.d.a d 0, ds 0 1 4a d 0 1 4思路：从“a , a , a 3 4 8成等比数列”入手可得：a 2

4、=a a (a+3d )2=(a+2d)(a+7d4 3 8 1 1 1)，整 理 后 可 得 ：3a d =-5d 12， 所 以3d =- a5， 则3 a d =- a 250， 且ds =d (4a +6d )=- 4 16a 21250 (i=1,2,3, , n n i)，若a =b , a =b 1 1 11 11，则有（ ）a.a =b6 6b.a b6 6c.a b6 6或a 2 b b =2 b2 1 11 6 1 11 1 11 6=2b （ q 1 6故b b1 11，均值不等式等号不成立）所以a +a =b +b 2 a 2b 即 a b 1 11 1 11 6 6

5、6 6答案：b小炼有话说：要熟悉等差数列与等比数列擅长的运算，等差数列擅长加法，等比数列擅长乘 积。所以在选择入手点时可根据表达式的运算进行选择。例 6：数列an是各项均为正数的等比数列，bn是等差数列，且a6=b7，则有（ ）a.a +a 0，前n项和为sn，等比数列b是公比为 nq的正整数，前n项和为tn，若a =d , b =d 1 12，且a 2 +a 2 +a 2 1 2 3b +b +b 1 2 3是正整数，则s 29t8等于（ ）a.45 270 90b. c.17 17 17d.13517解：本题an的通项公式易于求解，由a =d1可得a =a +(n-1)d=nd n 1，而

6、处理b通n项 公 式 的 关 键 是 要 解 出q， 由b =d12可 得b =d 2 qn-1 n， 所 以a 2 + a 2 + a 2 1 2 =3 b + b + b 1 2 32d42+d +d92+ d 2 1 4= n*，由q n *，可得2 q d+2 12q d + +2q qq2+q +1 n*，所以q2+q +1可取的值为1,2,7,14 ，可得只有q2+q +1 =7才有符合条件的 q ，即 q =2 ，8 1643414 j4242 23=2421 2nn41 2所以b =2n -1d2，所以s29=(45d)2， t =8b (28-1) 11=255d2，则s 2

7、 2025d 2 135 9 = =t 255d 2 17 8答案：d例 10：n2个正数排成n行n列（如表），其中每行数都成等差数列，每列数都成等比数列，且 所 有 的 公 比 都 相 同 ， 已 知 a +a + +a =_11 22 nna =1,a1 21 3= , a =4 2 4 3， 则 a = _ ， 32思路：本题抓住公比相同，即只需利用一列求出公比便可用于整个数阵，抓住已知中的a =1,a = 12 4218，可得a 1 1 q3 = 42 = q =a 8 212，从而只要得到某一行的数，即可求得数阵中的每一项aij。而第四列即 可 作 为 突 破 口 ， 设 每i行 的 公 差 为di由a42=1 3 1 , a = 可 得 d =8 16 16， 从 而a =a +(j-2)d= j16， 所 以a =a ij 4 j1 i -41 1 = j 16 2 i -4= j 1 i。 则a =2 321 1 ， 求 和 的 通 项 公 式a =n nn1 n， 利 用 错 位 相 减 法 可 求 得 ：a +a +11 22+a =2 -(n+2) n答案：a321= , a +a + 11 22+a =2 -(n+2) n