离散型随机变量的均值

1、离散型随机变量的均值 2.3.1离散型随机变量的均值离散型随机变量的均值 (精析精练精析精练) 第二课时第二课时 离散型随机变量的均值 1、离散型随机变量 X 的均值（数学期望） 1 n ii i EXx p 2、均值的线性性质 ()E aXbaE Xb（ ） 3、两种特殊分布的均值 （1）若随机变量X服从两点分布，则 E Xp（ ） （2）若 ，则( , )XB n pE Xnp（ ） 反映了离散型随机变量取值的平均水平. 复习： 离散型随机变量的均值 例例1. 1.一次英语单元测验由一次英语单元测验由2020个选择题个选择题 构成，每个选择题有构成，每个选择题有4 4个选项，其中个选项，其

2、中 有且仅有一个选项是正确答案，每题有且仅有一个选项是正确答案，每题 选择正确答案得选择正确答案得5 5分，不作出选择或分，不作出选择或 选错不得分，满分选错不得分，满分100100分。学生甲选对分。学生甲选对 任一题的概率为任一题的概率为0.90.9，学生乙则在测验，学生乙则在测验 中对每题都从中对每题都从4 4个选项中随机地选择个选项中随机地选择 一个。求学生甲和学生乙在这次英语一个。求学生甲和学生乙在这次英语 单元测验中的成绩的均值。单元测验中的成绩的均值。 离散型随机变量的均值 解： 设学生甲和学生乙在这次英语测验中 选择了正确答案的选择题个数分别是 X和Y，则 XB(20，0.9)，

3、 YB(20，0.25)， E(X)200.918， E(Y)200.255 由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这 次英语测验中的成绩分别是5X和5Y。所以， 他们在测验中的成绩的均值分别是 E(5X)5EX51890， E(5Y)5EY5525 离散型随机变量的均值 解解: :因为商场内的促销活动可获效益因为商场内的促销活动可获效益2 2万元万元 设商场外的促销活动可获效益设商场外的促销活动可获效益 万元万元, ,则则 的分布列的分布列 P 10 4 0.6 0.4 所以所以E =100.6(-4) 0.4=4.4 因为因为4.42, 所以商场应选择在商场外进行促销所以商场应选择在商场外进

4、行促销. . 例例2.统计资料表明，每年端午节商场内促销活 动可获利2万元；商场外促销活动如不遇下雨可 获利10万元；如遇下雨可则损失4万元。6月19 日气象预报端午节下雨的概率为40%，商场应 选择哪种促销方式？ 离散型随机变量的均值 例例3.已知随机变量已知随机变量X的分布列如下：的分布列如下： 离散型随机变量的均值 练练.已知已知X的概率分布的概率分布 列为列为 离散型随机变量的均值 例例4(2011重庆高考重庆高考)某市公租房的房源位于某市公租房的房源位于A、B、 C三个片区设每位申请人只申请其中一个片区三个片区设每位申请人只申请其中一个片区 的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可的

5、房源，且申请其中任一个片区的房源是等可 能的求该市的任能的求该市的任4位申请人中：位申请人中： (1)恰有恰有2人申请人申请A片区房源的概率；片区房源的概率； (2)申请的房源所在片区的个数申请的房源所在片区的个数的分布列与期望的分布列与期望 离散型随机变量的均值 例例4.某市公租房的房源位于某市公租房的房源位于A、B、C三个片区设每位申请人只申请其三个片区设每位申请人只申请其 中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的 任任4位申请人中：位申请人中： (1)恰有恰有2人申请人申请A片区房源的概率；片区房源的概率

6、； 离散型随机变量的均值 例例4.某市公租房的房源位于某市公租房的房源位于A、B、C三个片区设每位申请人只申请其中三个片区设每位申请人只申请其中 一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的 任任4位申请人中：位申请人中： (2)申请的房源所在片区的个数申请的房源所在片区的个数的分布列与期望的分布列与期望 离散型随机变量的均值 综上知，有分布列 离散型随机变量的均值 练1.(2009上海理)某学校要从某学校要从5 5名男生和名男生和2 2名女生名女生 中选出中选出2 2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量人作为上海世博

7、会志愿者，若用随机变量 表示选出的志愿者中女生的人数表示选出的志愿者中女生的人数, ,则数学期望则数学期望 E E( ()=_()=_(结果用最简分数表示结果用最简分数表示).). 解析 的可能取值为0,1,2, . 7 4 2 21 1 1 21 10 0 21 10 )( , 21 1 C C )2( , 21 10 C CC ) 1(, 21 10 C C )0( 2 7 2 2 2 7 1 2 1 5 2 7 2 5 E P PP 7 4 离散型随机变量的均值 练练2. 某学校为调查高一年级学生每天晚自习自某学校为调查高一年级学生每天晚自习自 主支配学习时间主支配学习时间(指除了完成老

8、师布置的作用指除了完成老师布置的作用 后学生根据自己的需要进行学习的时间后学生根据自己的需要进行学习的时间)情况，情况， 学校采用随机抽样的方法从高一学生中抽取了学校采用随机抽样的方法从高一学生中抽取了 50名学生进行问卷调查问卷调查完成后，学名学生进行问卷调查问卷调查完成后，学 校从学生每天晚自习自主支配学习时间在校从学生每天晚自习自主支配学习时间在 20,30)和和30,40)分钟的学生中分别抽取分钟的学生中分别抽取3人和人和4 人，共人，共7名学生进行座谈，了解各学科的作业名学生进行座谈，了解各学科的作业 布置情况，并从这布置情况，并从这7人中随机抽取人中随机抽取2名学生聘为名学生聘为

9、学情调查联系人，设学情调查联系人，设20,30)分钟的学生被聘的分钟的学生被聘的 人数为人数为x，求，求x的分布列与数学期望的分布列与数学期望 离散型随机变量的均值 练练3.某工厂为检验产品质量，从第一天生某工厂为检验产品质量，从第一天生 产的产品中随机抽取产的产品中随机抽取5件作为甲组样品，件作为甲组样品， 从第二天生产的产品中随机抽取从第二天生产的产品中随机抽取10件作件作 为乙组样品经检验两组样品中均有为乙组样品经检验两组样品中均有2 件次品，其他均为正品现采用分层抽件次品，其他均为正品现采用分层抽 样从甲、乙两组样品中共抽取样从甲、乙两组样品中共抽取3件作为件作为 标本进行详细的技术分

10、析设抽取的标标本进行详细的技术分析设抽取的标 本中次品件数为本中次品件数为，求，求的分布列和期望的分布列和期望 E. 离散型随机变量的均值 练练3.某工厂为检验产品质量，从第一天生产的产品中随机抽取某工厂为检验产品质量，从第一天生产的产品中随机抽取5件作为甲组件作为甲组 样品，从第二天生产的产品中随机抽取样品，从第二天生产的产品中随机抽取10件作为乙组样品经检验两组样品件作为乙组样品经检验两组样品 中均有中均有2件次品，其他均为正品现采用分层抽样从甲、乙两组样品中共抽件次品，其他均为正品现采用分层抽样从甲、乙两组样品中共抽 取取3件作为标本进行详细的技术分析设抽取的标本中次品件数为件作为标本进

11、行详细的技术分析设抽取的标本中次品件数为，求，求的的 分布列和期望分布列和期望E. 离散型随机变量的均值 的分布列为 离散型随机变量的均值 例例5(2011大纲全国卷大纲全国卷)根据以往统计资料，根据以往统计资料， 某地车主购买甲种保险的概率为某地车主购买甲种保险的概率为0.5， 购买乙种保险但不购买甲种保险的概购买乙种保险但不购买甲种保险的概 率为率为0.3，设各车主购买保险相互独，设各车主购买保险相互独 立立 (1)求该地求该地1位车主至少购买甲、乙两种保位车主至少购买甲、乙两种保 险中的险中的1种的概率；种的概率； (2)X表示该地的表示该地的100位车主中，甲、乙两位车主中，甲、乙两

12、种保险都不购买的车主数，求种保险都不购买的车主数，求X的期的期 望望 离散型随机变量的均值 解：设解：设A表示事件：该地的表示事件：该地的1位车主购买甲种保位车主购买甲种保 险；险；B表示事件：该地的表示事件：该地的1位车主购买乙种保位车主购买乙种保 险但不购买甲种保险；险但不购买甲种保险； C表示事件：该地的表示事件：该地的 1位车主至少购买甲、乙两种保险中的位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；种；D 表示事件：该地的表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都位车主甲、乙两种保险都 不购买不购买 (1)P(A)0.5，P(B)0.3，CAB， P(C)P(AB)P(A)P(B)0.8. 某地

13、车主购买甲种保险的概率为某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购，购买乙种保险但不购 买甲种保险的概率为买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立，设各车主购买保险相互独立 (1)求该地求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；种的概率； 离散型随机变量的均值 某地车主购买甲种保险的概率为某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保，购买乙种保 险但不购买甲种保险的概率为险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险，设各车主购买保险 相互独立相互独立 (2)X表示该地的表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购位车主中

14、，甲、乙两种保险都不购 买的车主数，求买的车主数，求X的期望的期望 离散型随机变量的均值 解解:(1)投篮投篮1次，命中次数次，命中次数的分布列如下表：的分布列如下表： 则则E()p0.6. (2)由题意，重复由题意，重复5次投篮，命中的次数次投篮，命中的次数服从二服从二 项分布，即项分布，即B(5,0.6)则则E()np50.6 3. 01 P0.40.6 例例6.某运动员投篮命中率为某运动员投篮命中率为p0.6. (1)求投篮求投篮1次时命中次数次时命中次数的期望；的期望； (2)求重复求重复5次投篮时，命中次数次投篮时，命中次数的期望的期望 离散型随机变量的均值 例例7.(2011课标全

15、国卷课标全国卷)某种产品的质量以其质量指某种产品的质量以其质量指 标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质 量指标值大于或等于量指标值大于或等于102的产品为优质品现用两的产品为优质品现用两 种新配方种新配方(分别称为分别称为A配方和配方和B配方配方)做试验，各生做试验，各生 产了产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指件这种产品，并测量了每件产品的质量指 标值，得到下面试验结果标值，得到下面试验结果 A配方的频数分布表配方的频数分布表 指标值 分组 90,94) 94,98)98,102)102,106)106,110 频数82042228

16、离散型随机变量的均值 B配方的频数分布表配方的频数分布表 指标值 分组 90,94) 94,98) 98,102) 102,1 06) 106,11 0 频数412423210 离散型随机变量的均值 从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为利润记为 X(单位：元)，求求X的分布列及数学期望的分布列及数学期望(以试验 结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品 的质量指标值落入相应组的概率) 离散型随机变量的均值 解：解：(1)由试验结果知，用由试验结果知，用A配方生产的配方生产的 产品中优质品的频率为产品中优质品的频率为0.3，所以用，所以用A 配方生产的产品的优质品率的估计值为配方生产的产

17、品的优质品率的估计值为 0.3. 离散型随机变量的均值 X224 P0.040.540.42 离散型随机变量的均值 例例8.随机抽取某厂的某种产品随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，件，经质检， 其中有一等品其中有一等品126件、二等品件、二等品50件、三等品件、三等品20 件、次品件、次品4件已知生产件已知生产1件一、二、三等品获件一、二、三等品获 得的利润分别为得的利润分别为6万元、万元、2万元、万元、1万元，而万元，而1件件 次品亏损次品亏损2万元，设万元，设1件产品的利润件产品的利润(单位：万单位：万 元元)为为. (1)求求的分布列；的分布列； (2)求求1件产品的平均利润件产品

18、的平均利润(即即的数学期望的数学期望)； (3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次 品率降为品率降为1%，一等品率提高为，一等品率提高为70%.如果此时如果此时 要求要求1件产品的平均利润不小于件产品的平均利润不小于4.73万元，则万元，则 三等品率最多是多少？三等品率最多是多少？ 离散型随机变量的均值 6212 P0.630.250.10.02 离散型随机变量的均值 (2)E()60.6320.2510.1( 2)0.024.34 (3)设技术革新后的三等品率为设技术革新后的三等品率为x，则此时，则此时1件件 产品的平均利润为产品的平均利润为 E(x

19、)60.72(1 0.70.01x)1x(2)0.014.76 x(0 x0.29) 依题意，依题意，E(x)4.73，即，即4.76x4.73. 解得解得x0.03，所以三等品率最多为，所以三等品率最多为3%. 离散型随机变量的均值 练练.某城市出租汽车的起步价为某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路不元，行驶路不 超出超出4 km时租车费为时租车费为10元，若行驶路程超出元，若行驶路程超出4 km，则按每超出，则按每超出1 km加收加收2元计费元计费(超出不足超出不足1 km的部分按的部分按1 km计计)从这个城市的民航机场从这个城市的民航机场 到某宾馆的路程为到某宾馆的路程为15 km.

20、某司机经常驾车在机某司机经常驾车在机 场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不 同以及途中停车时间要转换成行车路程同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个这个 城市规定，每停车城市规定，每停车5分钟按分钟按1 km路程计费，不路程计费，不 足足5分钟的部分不计费分钟的部分不计费)，这个司机一次接送旅，这个司机一次接送旅 客的转换后的行车路程客的转换后的行车路程是一个随机变量设是一个随机变量设 他所收租车费为他所收租车费为. 离散型随机变量的均值 (2)若随机变量若随机变量的分布的分布列为列为 15161718 P0.10.50.30.1 (3)已知某旅客实付租车费已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车元，而出租汽车 实际行驶了实际行驶了15 km，问出租车在途中因故停，问出租车在途中因故停 车累计多长时间？车累计多长时间？ (1)求租车费求租