高中数学《反函数》教案1

1、sss反函数教案教学目标：1 了解反函数的概念，弄清原函数与反函数的定义域和值域的关系2 会求一些简单函数的反函数3 在尝试、探索求反函数的过程中，深化对概念的认识，总结出求反函数的一般 步骤，加深对函数与方程、数形结合以及由特殊到一般等数学思想方法的认识4 进一步完善学生思维的深刻性，培养学生的逆向思维能力，用辩证的观点分析 问题，培养抽象、概括的能力教学重点： 求反函数的方法教学难点： 反函数的概念教学过程：教学活动一、创设情境，引入新课 1复习提问1 函数的概念2 y=f(x)中各变量的意义设计意图由实际问题引入新 课，激发了学生学2同学们在物理课学过匀速直线运动的位移和时间的函数关系，

2、 习兴趣，展示了教即 s=vt 和 t= （其中速度 v 是常量），在 s=vt 中位移 s 是时间vt 的函数；在 t= 中，时间 t 是位移 s 的函数在这种情况下，v我们说 t= 是函数 s=vt 的反函数什么是反函数，如何求反函数， v就是本节课学习的内容3板书课题二、实例分析，组织探究1问题组一：学目标这样既可 以拨去“反函数” 这一概念的神秘面 纱，也可使学生知 道学习这一概念的 必要性1（用投影给出函数 y =x 3 与 y =x3； y =x12与 y =x2（ x 0 ）的图- 1 -象）（1）这两组函数的图像有什么关系？这两组函数有什么关系？从学生熟知的函数1（生答：y =

3、x 3 与 y =x 3 的图像关于直线 y=x 对称；y =x12与 y =x 2出发，抽象出反函（ x 0 ）的图象也关于直线 y=x 对称 y =x 3 是求一个数立方的数的概念，符合学 生的认知特点，有1运算，而 y =x 3 是求一个数立方根的运算，它们互为逆运算同样， 利于培养学生抽y =x12与 y =x 2 （ x 0 ）也互为逆运算）象、概括的能力（2）由 y =x 3 ，已知 y 能否求 x？1 1（3） x = y 3 是否是一个函数？它与 y =x 3 有何关系？1（4） x = y 3 与 y =x 3 有何联系？2问题组二：（1）函数 y=2x+1(x 是自变量)与

4、函数 x=2y+1(y 是自变量)是否是 同一函数？x -1（2）函数 y = (x 是自变量)与函数 x=2y+1(y 是自变量)是否2是同一函数？通过这两组问题， 为反函数概念的引 出做了铺垫，利用 旧知，引出新识， 在“最近发展区” 设计问题，使学生 对反函数有一个直 观的粗略印象，为（3）函数 y =x +1 （ x 0 ）的定义域与函数 y =( x -1) 2（ x 1 ）进一步抽象反函数的值域有什么关系？3渗透反函数的概念（教师点明这样的函数即互为反函数，然后师生共同探究其特点） 三、师生互动，归纳定义1（根据上述实例，教师与学生共同归纳出反函数的定义）函数 y=f(x)(xa)

5、 中，设它的值域为 c 我们根据这个函数中 x,y 的关系，用 y 把 x 表示出来，得到 x = j (y) 如果对于 y 在 c 中的任何一个值，通过 x = j (y)，x 在 a 中都有唯一的值的概念奠定基础在上述探究的基础 上，揭示反函数的 定义，学生有针对和它对应，那么, x = j (y)就表示 y 是自变量，x 是自变量 y 的 性地体会定义的特 函数这样的函数 x = j (y)(y c)叫做函数 y=f(x)(xa)的反 点，进而对定义有函数.记作: x = f-1( y ) 考虑到“用 x 表示自变量, y 表示函数”更深刻的认识，与- 2 -的习惯，将 x = f-1(

6、 y ) 中的 x 与 y 对调写成 y = f-1( x ) 自己的预设产生矛2引导分析：1） 反函数也是函数；2） 对应法则为互逆运算；3） 定义中的“如果”意味着对于一个任意的函数y=f(x)来说不一 定有反函数；盾冲突，体会反函 数在剖析定义的 过程中，让学生体 会函数与方程、一 般到特殊的数学思4） 函数 y=f(x)的定义域、值域分别是函数 x=f 义域；5） 函数 y=f(x)与 x=f -1 (y)互为反函数；-1(y)的值域、定想，并对数学的符 号语言有更好的把 握6）要理解好符号 f-1；通过动画演示，表7）交换变量 x、y 的原因3两次转换 x、y 的对应关系y = f

7、(x)x=f -1(y)y=f -1(x)格对照，使学生对 反函数定义从感性 认识上升到理性认 识，从而消化理解（原函数中的自变量 x 与反函数中的函数值 y 是等价的，原函数 中的函数值 y 与反函数中的自变量 x 是等价的）4函数与其反函数的关系函数 y=f(x)函数y = f-1( x )定义域ac值域ca通过对具体例题的四、应用解题，总结步骤 1（投影例题）【例 1】求下列函数的反函数讲解分析，在解题 的步骤上和方法上 为学生起示范作 用，并及时归纳总 结，培养学生分析、- 3 -（1）y=3x-1 (2)y=x 3 +1【例 2】求函数 y = x +1( x 0) 的反函数（教师板

8、书例题过程后，由学生总结求反函数步骤） 2总结求函数反函数的步骤:1由 y=f(x)反解出 x=f -1 (y)思考的习惯，以及 归纳总结的能力题目的设计遵循了 从了解到理解，从 掌握到应用的不同2把 x=f-1(y)中 x 与 y 互换得 y = f-1( x ) .层次要求，由浅入3写出反函数 y = f-1( x) 的定义域.深，循序渐进并 体现了对定义的反（简记为：反解、互换、写出反函数的定义域）思理解学生思考【例 3】（1） y =x2( x r ) 有没有反函数?练习，师生共同分（2） y =x2( x 0) 的反函数是_析纠正（3） y =x 2 (x0)的反函数是_五、巩固强化

9、，评价反馈1 已知函数 y=f(x)存在反函数，求它的反函数 y =f -1 ( x)1（1）y=-2x+3(x r) （2）y=- (x r,且 x 0 )xx 5( 3 ) y= (x r,且 x - )3x +5 3进一步强化反函数 的概念，并能正确 求出反函数反馈 学生对知识的掌握 情况，评价学生对6x +52已知函数 f(x)= (x r,且 x 1 )存在反函数 y = fx -1-1( x ) ，学习目标的落实程 度具体实践中可求 f-1(7)的值采取同学板演、分五、反思小结，再度设疑本节课主要研究了反函数的定义，以及反函数的求解步骤互为 反函数的两个函数的图象到底有什么特点呢？

10、为什么具有这样的 特点呢？我们将在下节研究（让学生谈一下本节课的学习体会，教师适时点拨）组竞赛等多种形式 调动学生的积极 性“问题是数学的心 脏”学生带着问题 走进课堂又带着新 的问题走出课堂- 4 -六、作业习题 2.4 第 1 题，第 2 题进一步巩固所学的 知识教学设计说明“问题是数学的心脏”一个概念的形成是螺旋式上升的，一般要经过具体到抽象， 感性到理性的过程本节教案通过一个物理学中的具体实例引入反函数，进而又通过若 干函数的图象进一步加以诱导剖析，最终形成概念反函数的概念是教学中的难点，原因是其本身较为抽象，经过两次代换，又采用了 抽象的符号由于没有一一映射，逆映射等概念的支撑，使学生难以从本质上去把握反 函数的概念为此，我们大胆地使用教材，把互为反函数的两个函数的图象关系预先揭 示，进而探究原因，寻找规律，程序是从问题出发，研究性质，进而得出概念，这正是 数学研究的顺序，符合学生认知规律，有助于概