高数补充题答案曲线积分与曲面积分

1、2 p第十章曲线积分与曲面积分1011设l为下半圆周y =- 1 -x2，则 ( x2+y2) ds =_.l2解 ： ( 方 法 一 ) l 的 参 数 方 程 为 ： ds = x 2(q) +y (q)dq=dq.x =cos qy =sin q, pq2p.则于是， ( x2+y2) ds =2 pd q=p.lp(方法二)l( x 2 + y 2 )dsl: x2+y =1( y 0) =l1ds =122p 1 = p.x =2cos t2 xyzds ，其中 g 为 y =2sin t ,0 t .4g z =t解：由已知，得ds = x 2(t ) +y 2(t ) +z 2(

2、t ) dt = 5dt.于是，1021 (2 a -y )dx +xdy，其中 l 为摆线 x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )上对应于 t 从 0l到2p的一段弧.解：由已知，l :x =a (t -sin t ) y =a (1-cos t ), t从0变到2p.那么，1031设 l 为 x + y =1的反时针方向，则 l(2 xy -e y ) dy +( y 2 -y +e x ) dx =_.解：记 l 所围的区域为 d，易知 d 是边长为2的正方形区域.由已知，p =y2-y +ex, q =2 xy -ey.x 22 2 x +yx +y x +

3、yx +y bddcca0dx =0;=0;2 22 22 2001 +y 2 (1+x 2 ) y则，q p- =2 y -2 y +1 =1. x y由格林公式，得 (2xy-ey) dy +( y2-y +e x ) dx =1dxdy =2.l d故，选(b).2 lxdy -ydx x 2 +y 2， l 经上半椭圆 +y 2 =1( y 0) 从 a( -2,0) b (2,0)4.(方法一) 解：选适当的 r 0 ,构造上半圆周 x 2 +y 2 =r 2 ( y 0)，设它与 x 轴的两个交点为c ( -r,0), d (r,0),其方向为从 d 到 c.则l +bd +dc

4、+ca构成分段光滑封闭曲线，记其所围成的区域为w.由已知，-y x q p y 2 -x 2 y 2 -x 2 p = , q = . 则， - = -x 2 +y 2 x 2 +y 2 x y ( x 2 +y 2 ) 2 ( x 2 +y 2 ) 2=0.由格林公式，得 l +bd +dc +caxdy -ydxx +yq p =- - dxdy =0. x yw则， lxdy -ydx xdy -ydx xdy -ydx xdy -ydx 2 2 2 2 2 2 2 2.而，bd :x =xy =0, x从2 r；dc :x =r cos q y =r sin q,x =xq从0 p；c

5、a: , x从 - r -2.y =0于是， bdxdy -ydx r xdy -ydx xdy -ydx=x +y 2 ca x +y dc x +y=p0dq=p.故，原式 p.( 方法二 ) 解： l : x 2 + y 2 = 4 .q p = q ， 该曲线积分 与路径 无关，选择 路径上 半圆 y xlxdy - ydx x 2 + y 2=lxdy - ydx x 2 + y 2=p4cos2q + 4sin42qdq =p1dq = -p .3 dx - dy ， l 沿 x 2 +y 2 -4 y =1 的反时针方向从 a(1,0) b (2,1) . l x 3 x 2 ,

6、 x从2变 1 +y 2 (1+x 2 ) y 1 2 3, y从1变到0. 0于是， 蜒2p解：构造辅助折线bca，其中点 c(1,1). 则l +bca为一分段光滑的封闭曲线，记其所围成的区域为 d.由已知，1 +y 2 (1+x p = , q =-x3 x 22) y q p 2 y 2 y. 则 = - =0. x y x 3 x3由格林公式得： l +bca1 +y 2 (1+xdx -x 3 x 22) ydy =0.于是， l1 +y 2 (1+x 2 ) y 1 +y 2 (1+x 2 ) y dx - dy - dx - dyx 3 x2 bca x3 x2.对于bc :x

7、 =xy =1到1. dx - dy = dx =- . bc x3 x 2 2 x 3 4对于ca :x =1 1 +y 2 (1+x 2 ) ydx - dy =y =y ca x3 x 21( -2y) dy =1.4设l为 x 2 +y 2 =a 2的反时针方向，则 l( x +y ) dx -( x -y ) dyx 2 +y 2=_.解： 取适当的 r 0 ，构造 l : x2+y2=r2，为顺时针方向 .记 l 与 l 围成的区域为 d.由已知，p =x +y -(x -y ) q p, q = . 则 - =0.x 2 +y 2 x 2 +y 2 x y由格林公式得： l +l

8、( x +y ) dx -( x -y ) dyx 2 +y 2=0.( x +y ) dx -( x -y ) dy ( x +y ) dx -( x -y ) dy=-l x 2 +y 2 l x 2 +y 2方法二：= ( -1)dq=-2p. 0l( x + y )dx - ( x - y )dyx 2 + y 2=l( x + y )dx - ( x - y )dya 2=d( -2a 2)dxdy = -2p.104r2p a1解：记右半柱面为s : y = r 12-x2.于是，1 +y 2 +y 2 = x zr r 2 -x 2.s1在xoz面上的投影区域为：d =(x,z)

9、 -r x r ,0 z h . xz记左半柱面为s : y =- r 22-x2.于是，1 +y 2 +y 2 = x zr r 2 -x 2.s 在 xoz 面上的投影区域为也是 d .那么， 2 xzx 2s=2 rds+y 2-r= +z 2 x 2s11dx r 2 -x 2ds+y 2h0 rds+ =2 +z 2 x 2 +y 2 +z 2s21 h dz =2p arctan .2 +z 2 rdxzx2+( r21-x 2 ) +z2r r 2 -x 2dxdz1051 szdxdy, s为x 2 +y 2 +z 2 =a 2的外侧.解：记上半球面为s : z = a 2 -

10、x 2 -y 2 . 1取上侧.记下半球面为s : z =- a 22-x2-y2.取下侧.它们在xoy面上的投影区域均为：d =(x,y) x xy2+y2a2.于是，zdxdys s1zdxdy +s2zdxdy =2dxya2 -x 2 -y 2dxdy =2dq0 0a2-r24pa3 rd r= .32.( x -y ) dxdy , s为圆锥面z x2+y2介于z =0与z =h ( h 0)之间的下侧.s解： s在 xoy 面上的投影区域均为：d =(x,y) x xy2+y2h2.1061( z2+2 x) dydz - 2 zdxdy,其中 s为 z = ( x 22+y 2 )介于 z =0 与 z =2 之间部分的下s侧.解：构造辅助平面s： z =2( x 12+y24)，取上侧.则s+s1构成分片光滑的封闭曲面，记其所围成的空间区域为 w .由已知，p =z2+2 x, q =0, r =-2z.于是，p q r + + =0.x y z由高斯公式，得 ：( z2+2 x ) dydz - 2