高中数学选修2-3计数原理概率知识点总结汇编

1、n , m n *, m nn学习-好资料选修 2-3 定理概念及公式总结第一章基数原理1.分类计数原理： 做一件事情，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法中有 m 种1不同的方法，在第二类办法中有 m 种不同的方法，在第 n 类办法中有 m 种2 n不同的方法 那么完成这件事共有 n=m +m + +m 种不同的方法1 2 n2.分步计数原理： 做一件事情，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步有 m 种不同1的方法，做第二步有 m 种不同的方法，做第 n 步有 m 种不同的方法，那2 n么完成这件事有 n=m m m 种不同的方法1 2 n分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整”3.

2、两个计数原理的区别 :如果完成一件事，有 n 类办法，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能独立完成 这件事,用分类计数原理，如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要完成所有步骤才能 完成这件事，是分步问题,用分步计数原理.4.排列 :从 n 个不同的元素中取出 m 个(mn)元素并按一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.（1）排列数: 从 n 个不同的元素中取出 m 个(mn)元素的所有排列的个数.用符号 a m 表示n（2）排列数公式: a mn=n ( n -1)( n -2) (n-m+1)用于计算，或 a m =nn! ( n -m )!(

3、 )用于证明。ann= n! = n(n- 1) 3 2 1=n(n-1)!规定 0！=15.组合：一般地，从 n 个不同元素中取出 m (mn)个元素并成一组，叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的一个组合（1）组合数: 从n个不同元素中取出m (mn)个元素的所有组合的个数，用cmn表示（2）组合数公式:amcm = namm=n(n -1)(n -2) (n -m +1)m!用于计算，或 c m =nn! m!( n -m )!( n, m n*,且m n)用于证明。更多精品文档( )nn n *)( )n学习-好资料（3）组合数的性质： cmn=cn -mn规定： c0n=1 ；

4、 cmm +1 cmn+ cm -1n. c n -1 = c 1 = n c n= 1nnn6.二项式定理及其特例：（1）二项式定理a +b =c 0nan+c 1a n -1b + nl +c ra nn -rb r+l +cnnbn( )展开式共有 n+1 项，其中各项的系数 c rn(r0,1,2,l,n叫做二项式系数。（2）特例： (1 +x ) n =1 +c 1 x +n+c r x r + +x n . n7.二项展开式的通项公式： tr +1= c rnan -rb r（为展开式的第 r+1 项）8二项式系数的性质： （1）对称性：在 a + b展开式中，与首末两端 “等距”

5、的两个二项式系数相等,即 c m =c n -m n n，直线r =n2是图象的对称轴（2 ）增减性与最大值：当 r n+12时，二项式系数逐渐增大，由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值。当 n 是偶数时，在中间一项tn +22n的二项式系数 c 2 取得最大值；n当n是奇数时，在中间两项tn +1，tn +3的二项式系数cn -12n，cn +12n取得最大值2 29.各二项式系数和：（1）c 0n+c 1n+c 2n+l c nn=2 n ，（2）c 0n+c 2n+c 4n+l = c 1n+c 3n+c 5n+l = 2n -110.各项系数之和：（采用赋值法）例：求

6、(2x - 3 y)9的各项系数之和解：(2x - 3 y)9= a0x9+ a x18y + a x27y2+ l + a y 99令x= 1, y = 1 ，则有 (2x - 3 y )9= a + a + a + l + a = (2- 3 )9= -10 1 2 9，故各项系数和为-1更多精品文档学习-好资料第二章 概率知识点：1、 随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量 x 来表示，并且 x 是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用 大写字母 x、y 等或希腊字母、 等表示。1、 离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量x

7、 所有可能的值能一 一列举出来，这样的随机变量叫做离散型随机变量3、离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量 x 可能取的值为 x ,x ,. ,x ,.,x1 2 inx 取每一个值 x 的概率 p ，p ,. , p ,., p ，则称表为离散型随机变量 x 的概率分布，简i 1 2 i n称分布列4、分布列性质 p 0, i =1，2， n； p + p +p = 1i 1 2 n5、二点分布：如果随机变量 x 的分布列为：其中 0p 0.9、相互独立事件：事件 a(或 b)是否发生对事件 b(或 a)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。p(b|a )= p(b

8、)10、n 次独立重复试验：在相同条件下，重复地做 n 次试验，各次试验的结果相互独立，一般 更多精品文档学习-好资料就称它为 n 次独立重复试验11、二项分布： 设在 n 次独立重复试验中某个事件 a 发生的次数设为 x如果在一次试验中某事件发生的概率是 p，事件 a 不发生的概率为 q=1-p，那么在 n 次独立重复试验中 ，事件 a恰好发生 k 次的概率是p ( x = k ) = c k p k q n - kn（其中 k=0,1, ,n）于是可得随机变量 x 的分布列如下：这样的离散型随机变量 x 服从参数为 n，p 二项分布，记作 xb(n，p) 。12、数学期望：一般地，若离散型

9、随机变量 x 的概率分布为则称e ( x ) = x p + x p + + x p1 1 2 2 n n为离散型随机变量 x 的数学期望或均值（简称为期望）13、方差:d ( x ) = ( x - e ( x ) 2 p + ( x - e ( x ) 2 p +1 1 2 2+ ( x - e ( x ) n2pn叫随机变量 x的方差，简称方差。14、集中分布的期望与方差一览：两点分布二项分布，x b（n,p）期望e ( x ) = pe ( x ) = np方差d ( x ) = pqd( x ) = npq超几何分布 n，m，n 15、正态分布：更多精品文档e ( x ) =nmn2

10、学习-好资料若正态变量概率密度曲线的函数表达式为f ( x ) =11 pse-( x -m) 2 s2, x ( -, +)的图像，其中解析式中的实数 m、s是参数，且 s 0 ，m、s分别表示总体的期望与标准差期望为 m与标准差为 s 的正态分布通常记作n (m,s2)，正态变量概率密度曲线的函数的图象称为正态曲线。16、正态曲线基本性质：（1） 曲线在 x 轴的上方，并且关于直线 x= m 对称（2） 曲线在 x= m 时处于最高点，并且由此处向左、右两边无限延伸时，曲线逐渐降低，呈现 “中间高，两边低”的形状（3） 曲线的形状由 s 确定 s 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；s越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中s原则：17、3容易推出 , 正变量在区间( m - 2s , m + 2s )以外取值的概率只有 4.6%,在( m - 3s , m +