小孩拉玩具问题

1、A图2A图3小孩和玩具的问题题目 一个小孩借助长度为 a的硬棒，拉或推某玩具此小孩沿某曲线行走，计算并画出玩 具的轨迹解：假设小孩拉的玩具如图1所示，由于整个推拉过程中(图 2)，玩具走的轨 迹，只与C在地面上的投影点B的轨迹有关。所以我们把模型简化为图 3。假设1:小孩B点所走曲线为沿着小 棒a的方向(直线AB)，贝U玩具A走的轨 迹为直线(沿AB方向的)。此时，小孩行 走的速度与玩具的速度相同。假设2:小孩B点所走曲线为一个A点 为心的圆，贝U玩具不动。此时，如果小孩 B 行走的速度为V，而玩具A的速度却为零， 这说明，在推玩具的过程中，小孩 B的速度 与玩具A的速度不同。由此特殊情况，我

2、们可以看到，当小孩 B行走的路线是曲线时，小孩 B的 速度Vb与玩具A的速度Va是不同的。假设3:如果小孩B点走的轨迹是一条曲线c (图4 ),不妨设曲线的轨迹 方程是一个与时间t有关的参数方程。而玩具 A走的轨迹为曲线c。XX(t),xx(t),c:c :丫 Y(t),yy(t).则t时刻小孩B的坐标为B (X(t),Y(t)，玩具A的坐标为A (x(t), y(t)。(1) t时刻，由于AB的距离为a，由于小孩拉的是硬棒，在小孩拉玩具的过 程中，假设棒与地面的角度不变，因此有：(X(t) x(t)2 (Y(t) y(t)2 a2，即(X x)2 (Y y)2a2(1)(2)设玩具在A?点的

3、速度Va ,则Va的方向应为玩具所走曲线c?的切线方向,而玩具始终是沿着小棒 A?B?勺方向，所以：AB ?Va而 AB (X x,Y y), Va (x,y)所以：Y_y0 X x x, Y y y (2)x y又 石 (X ,Y)，由向量知识有AB?vB |AB|PrjABVB简化得:|Va| AB?VbI AB |故有 Vav(x)2 (y )2(X x,Y y) (X ,Y)(X x)2 (Y y)2化简得VaXT小孩所走曲线为一个以原点为圆心半径为 R的圆时，小孩所走路径的曲线方 程为：X a costY a si nt 利用MATLAB软件求解上述微分模型，程序如下： 函数文件：建

4、立函数文件fun5.mfun cti on dy=fu n5(t,y)dy=(-5*si n( t)*(5*cos(t)-y(1)+5*cos(t)*(5*si n( t)-y(2)*(5*cos(t)-y(1)./(5*cos(t)-y(1)F2+(5*si n( t)-y)八2),(-5*si n( t)*(5*cos(t)-y(1)+5*cos(t)*(5*si n( t)-y (2)*(5*si n( t)-y(2)./(5*cos(t)-y(1)A2+(5*si n( t)-y (2) )A 2)主程序：clear,clcclose allt,y=ode45(fu n5,0,100,

5、10,0);X=5*cos(t);Y=5*s in (t);figure(1)plot(X,Y,r.)hold on plot(y(:,1),y(:,2),*)543210-1 -2 -3 -4、七*10-5-5击%玩具的初始位置为(12,0)t0=0;tf=100;t,y=ode45(fu n5,t0,tf,12,0);X=5*cos(t);Y=5*s in (t);figure(2) plot(X,Y,r.) hold onplot(y(:,1),y(:,2),*)T-505101515-15-10%玩具的初始位置为(8,0)t0=0;tf=100;t,y=ode45(fu n5,t0,tf,8,