均值不等式常考题型

1、均值不等式及其应用参考材料.均值不等式2 21.（ 1）若a,bR，则a2 b2 _2ab 若a,bR，则ab 异 -（当且仅当a二b时取22. (1)若 a, b R ,则呼ab若a,bR*，则a b_2. ab （当且仅当a二b时取=”）若a,b三R ,（当且仅当a = b时取=”）3.若x 0，则x - _2 （当且仅当xx= 1时取=”）;若xcO，贝U x +丄兰2 （当且仅当x = 1时取x若XHO ,贝y X+1启2即卩x+丄启2或x+丄冬2x-H-3.若ab 0，则？卫_2（当且仅当a二b时取b a若abO，则a+b启2即a+b兰2或a+b b a b a（当且仅当a =b时取

2、=”）=”)22x13x 2 2x26值域为.6 , + a)=2;(2)当 x0 时,1当 xv 0 时，y= x+ -x值域为(a, 2 U 2 , + a)解题技巧： 技巧一：凑项54例1 :已知x ，求函数y =4X - 2 的最大值。44x -5解：因4x-5：0，所以首先要 调整”符号，又(4x-2)叮七不是常数，所以对4x-2要进行拆、凑 项，= 4x-24x5=_ 5 4x-3 虫 -2 3 = 1J54x 丿1当且仅当5 -4x，即x = 1时，上式等号成立，故当x = 1时，ymax = 1。5 -4x评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系

3、数 例1.当L：二时，求y = x(8 -2x)的最大值。解析：由L :- -知，厂二一；.，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值 ，此题为两个式 子积的形式，但其和不是定值。注意到2x (8-2x) =8为定值，故只需将y =x(8-2x)凑上一个系数即 可。j； = xC8-2x) = l2x- (8-2x)(2x+I2x)3 =8当； - = -:：,即x= 2时取等号 当x= 2时，y = x(8 - 2x)的最大值为8。评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。3变式：设0 ： x ,求函数y二4x(3 -2x)的最大值。解

4、：= 4x(3 -2x) =2 2x(3 -2x)岂 22x + 3-2x、 223 3、当且仅当2x=32x,即x = w 0- 时等号成立。4 -I ,即 t=x+l U 时，y X2jt 江彳 +5 =9 (当 t=2 即 x= 1 时取“=号)。评注：分式函数求最值,通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求A最值。即化为 y = mg (x) g(x)B(A 0,B0) , g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。技巧五：注意：在应用最值定理求最值时若遇等号取不到的情况，应结合函数f (x)二x ?的单调x性。例：求函数y =_xl5二的值域。

5、Jx2 +4x2 52 已知o : x 1,求函数y二的最大值.;3 0 x 2 ,求函数 y . x(2 - 3x)的最大值.解：令 x24 二t(t _2),贝y y =Jx2 +411o,t 1，但t 解得t =一1不在区间12, 二,故等号不成立，考虑单调性。tt15因为y =t 在区间1,匸：单调递增，所以在其子区间(2,为单调递增函数，故y 一?。所以，所求函数的值域为-,:H-2练习求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x的值.x2 3x 111(1) y,( x 0) ( 2) y = 2x , x 3 (3)y = 2sin x,x (0,二)x3si nx条件求最值1.若实

6、数满足a 2 ,则3a3b的最小值是 .分析：和”到积”是一个缩小的过程，而且3a 3b定值，因此考虑利用均值定理求最小值解：3a 和3b都是正数，3a - 3b 2. 3a 3 =2； 3b =6当3a = 3b时等号成立，由a b = 2及3a = 3b得a二b = 1即当a二b = 1时，3a 3b的最小值是 1 1 变式：若log 4 x log4 y = 2 ,求的最小值 并求x,y的值x y技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。192:已知x 0, y 0，且1，求x y的最小值。x y错 解：丁 x0,yA0 ,且 1+目=1 ，二

7、 乂+=丄+卫 1( x + y)臭 2 2寸刃=12故x y(x y 丿VxyX y min =12。错因：解法中两次连用均值不等式，在x 2 xy等号成立条件是X = y ,在丄.9 _2 2等号成立x y Y xy1 q条件是即y = 9x，取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出x y等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。19i19 v9 x正解：，x 0, y 0,_+=1，二 x+y = (x + y)._+_ =+ + 10 启 6 + 10=16xylxy 丿xy当且仅当y 9x19,时，上式等号成立，又1，可得x -4,

8、y -12时，X，y聞-16。xyx y变式：(1)若x, y R 且2x y = 1，求1 .丄的最小值 x y已知a,b,x, y R且旦丄刊，求x y的最小值x y技巧七、y 2/已知x, y为正实数，且x 2 += 1 ,求x 1 + y 2的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次,故采用公式即技巧八：已知a, b为正实数，2b + ab + a= 30,求函数的最小值.12y 2+ 2 0得,0v b v 1516t = 8t16 16（t + ： ）+ 34 -t + ； 22t 2 + 34t 31令 t= b+1 , 1 v t v 16 , ab = 2 ab 181泸石

9、当且仅当t= 4，即b= 3，a= 6时，等号成立。法二：由已知得：30 ab = a+ 2b t a+ 2b 沦 2 ab令 u = ab 则 u2+ 2 2 u 30 0, ab 3 2 , ab 18，石 30 ab22 ab5 * 2 u 0 , b0 , ab (a+ b)= 1,求a+ b的最小值。2若直角三角形周长为1,求它的面积最大值。技巧九、取平方5、已知x, y为正实数，3x+ 2y = 10,求函数 W = 3x + 2y的最值.a+ b a 2 + b 2 解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，w,本题很简单2 2 3x + - 2y w 2 - ； ( ,3

10、x ) 2 +( 2y ) 2 = 23x+ 2y = 2 5解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向和为定值条件靠拢。W 0 , W2 = 3x+ 2y + 2- 3x 2y = 10 + 2 3x - 2y 8abc例6:已知a、b、R ；且a b c =1。求证：1-1丄一1 1-1ab c分析：不等式右边数字8,使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个2 ”连乘，又1 _1 =山,可由此变形入手。a a a a解：；a、 b、 c R , a b c=1。.丄一 1 =口 =丄，_ 厶 be 。同理 1a a a ab1 -1 一 -ab。上述三个不等式两边均为正 ，分别相乘，得 ccb = c =-时取等号。3应用三：均值不等式与恒成立问题19例：已知x . 0, y . 0且1，求使不等式x y - m恒成立的实数 m的取值范围。x y19, x y9x 9y,10y9x, 解：令 x y 二 k, x . 0, y . 0,1，1.1x ykx kyk kx ky.1 -10 _2 3。 k _16，m,16k k应用四：均值定理在