圆锥曲线最值问题及练习

1、圆锥曲线最值问题及练习中学数学最值问题遍及代数、三角，立体几何及解析几何各科之中，且与生产实际联系密切，最 值问题有两个特点：覆盖多个知识点（如二次曲线标准方程，各元素间关系，对称性，四边形面积， 解二元二次方程组，基本不等式等）求解过程牵涉到的数学思想方法也相当多（诸如配方法，判别式 法，参数法，不等式，函数的性质等）计算量大，能力要求高。1、回到定义22例 1、已知椭圆 xy1，A （4，25 95 点，P是椭圆上任一点，求：（1）求4（2）求|PA|+|PB的| 最小值和最大值。略解：（1）A 为椭圆的右焦点。作 PQ右准线于点 Q，则由椭圆的第二定义 |PA| e 4 ，|PQ| 55

2、|PA| |PB| |PQ| | PB |.问题转化为在椭圆上找一点 P，使其到点 B和右准线的距离之和最4小，很明显，点P应是过B向右准线作垂线与椭圆的交点，最小值为 17 。2）由椭圆的第一定义，设 C 为椭圆的左焦点，则|PA|=2a-|PC| |PA|+|PB|=2a-|PC|+|PB|=10+（|P -B|PC|） 根据三角形中，两边之差小于第三边，当 P运动到与 B、C成一条直线时，便可取得最大和最小值。即 -|BC|PB| -|PC| |BC|.当P到P位置时，|PB| -|PC|=|BC，| |PA|+|PB|有最大值，最大值为 10+|BC|=10 2 10 ；当P到 P位置

3、时，|PB| -|PC|=-|BC，| |PA|+|PB有| 最小值，最小值为 10-|BC|=10 2 10 。回到定义的最值解法同样在双曲线、抛物线中有类似应用。（2）中的最小值还可以利用椭圆的光学性质 来解释：从一个焦点发出的光线经过椭圆面反射后经过另一焦点，而光线所经过的路程总是最短的。2、利用闭区间上二次函数最值的求法例 2、在抛物线 y 4x2 上求一点，使它到直线 y=4x-5 的距离最短。2 4t 4t 5 解：设抛物线上的点P(t,4t2) ，点到直线 4x-y-5=0的距离d1当t 2 时，dmin4，17 ，故所求点为( 1 ,1)。2124(t)2 42171722例3

4、、已知一曲线 y2 2x ，()设点A的坐标为( ,0) ，求曲线上距点 A最近的点P的坐标及相应 3的距离 |PA|；()设点 A 的坐标为(a,0)aR，求曲线上点到点 A 距离最小值 d，并写出 d=f(a)的 函数表达式。解：(1)设 M(x,y)是曲线上任意一点，则 y2 2x (x 0)2 2 2 2 2 2 1 2 1 MA (x)2 y2 (x )2 2x (x)2 x03 3 3 3MA min 49 所求P点的坐标是(0，0)，相应的距离是 AP 232)设 M(x,y)是曲线上任意一点，同理有 MA 2 (x a)2 y2 (x a)2 2x2综上所述，有 d2a 1 (

5、当a 1时 ) a(当a 1时 )x (a 1) 2 (2a 1) x 03、运用函数的性质例4、在ABC中， A， B， C的对边分别为 a,b,c，且 c=10,cosA b 4 ，P为ABC 内切圆上动点，求点P到顶点 A，B，CcosB a 3的距离的平方和最大值与最小值。解：由 cosA b sni B sin AcosA cosB sni A 0 sin 2A sin 2B cosB a sni Ab 4b 41 2A 2B ABC为Rt由C=10，且知 a=6 b=8a 3a 3设ABC 内切圆半径为 r，如图建立直角坐标系，则 RtABC 的内切圆 M 的方程为：(x 2)2

6、(y 2)2 4设圆 M 上动点 P(x,y)( 0 x 4)，则 P点到顶点A，B，C的距离的平方和为：PA2 PB2 PC 2 (x8)2y2x2(y6)2y2 x22 2 2 23x2 3y216x 12y 100 3(x2)2(y2)24x7688-4x 点P在内切圆M 上，0 x 4，于是 max 88 0 88 min 88 16 72例5、直线 m：y=kx+1和双曲线 x2-y2=1的左支交于A，B两点，直线 L过点P（-2，0）和线段AB 的 中点M，求L在y轴上的截距 b的取值范围。略解：设 A（x1,y1），B（x2,y2），M（x0,y0），将 y=kx+1代入 x2-

7、y2=1得（1-k2）x2-2kx-2=0,由题意， 0且 x 1+x20,解之得1k2,且M (1 kk21 1k2 )1k,又由 P（-2，0），M，Q（0，b）共线，得 b1 k221 k2 2122k2 k 2即b22k2 k 2面可利用函数 f（k）=-2k2+k+2在（1, 2） 上是减函数，可得b 22或b 2 。2x例 6、已知 P 是椭圆42y2 1在第一象限内的点，A（2，0），B（0，1），O为原点，求四边形 OAPB的面积的最大值。略解：设 P（2cos,sin），（00得x，当 x 时， 由解得442y1y2，(y1 y2)42 2 1 5 y1 y2 2y1y2 2

8、x 22412 ，可得 y1 y22 ，2由 ，可得 y1，y2，由即得相应的 x1，x2。55 252故AB 的中点M 距y轴最短距离为 x0，且相应的中点坐标为( , ) 或( , ) 。0 44 2422 2 2 2y1 y21法二： y1 x1 y2 x2y1 y2 x1 x2 kx1 x2 2y2 2 2 2 2 32 1 (2y)2(y1 y2)2 9 (1 4y2)(y1 y2)222 2x x1 x2 y1 y2 2y y1 y2 2 2 2由 得2x4y22y1y2 得 4x 4y2(y1y2)2代入得 4x 9 2 4y2 2 9 1 5 x 51 4y24当且仅当91 4

9、y24y2 1y2 1 y 2 时等式成立。225 xmin452M (54, 22说明：此法即为下面的基本不等式法。5、利用基本不等式2例 8、已知椭圆 xy2 1，F1，F2为其两焦点，P 为椭圆上任一点。求：41)|PF1|PF2|的最大值；(2)|PF1|2+|PF2|2的最小值。略解：设 |PF1|=m,|PF2|=n,则 m+n=2a=4，|PF1|PF2|=mnmn22 2 2 2|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|PF2|42-2 4=8 参考练习：221、 过椭圆 E： x2 y2 1（ab0）上的动点 P向圆 O：x2+y2=b2引两条切线 PA，PB，切点分别为 a2 b2b3A，B，直线AB 与x轴、y轴分别交于 M，N两点。求MON的面积的最小值。（ b ） a2、 设椭圆的中心在原点，长轴在x轴上，离心率为e 2当 a在区间 2, 3 上变化时，求0的取值范围。 ，已知点P（0，3/2）到这个椭圆上的点的最远距离为 7 ，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点 P 的距离等于 7 的点的坐标。2x24y2 1 ，所求点为 （ 3, 11）2）当 a固定时求的最小值 0；23