初中数学竞赛定理大全

1、欧拉（Euler）线： 同一三角形的 垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角 形的欧拉线; 且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半。 夕卜心重心 重心垂心 200厘米 43厘米 九点圆： 任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点 与 垂心间线段 的中点，共九个 点共圆，这个圆称为三角形的九点圆； 其圆心为三角形外心与 垂心 所连 线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径 的一半。 BPC = 1202 2PA = 120 XAPB= 120 B 9.94 费尔马点: 已知P为锐角 ABC内一点，当/ APB=Z BPC=Z CPA= 120时, PA+ PB+ PC的值最小，这个点P称为

2、 ABC的费尔马点。 EE = 3.45 厘米 CE = 33塵米 片丘=306曇半 EP = 4.93 CP = 3. AP - 2.33屋亲 海伦（Heron）公式： 海伦(Hf/w?)公式第 1 泌ABC中f边BQ. CA.的长分别为瓠b. s 若p=- (a-l-b+c), 则 A A EG的面积 S=./p (p-a) (pb) (pc) 0 = 6. g屋米 7 CA = 其逆亦真 密格尔(Miquel)点： 若AE、AF、ED FB四条直线相交于 A、B、C、D、E、F六点, 构成四个三角形，它们是 ABF、 AED BCE DCF, 葛尔刚（Gergonne） 点: ABC的内

3、切圆分别切边 AB、BC CA于点D、E、F, 则AE、BF CD三线共点，这个点称为葛尔刚点。 西摩松（Sims on）线： 已知PABC外接圆周上任意一点，PD丄BC, PELACP吐AB, D、 E、F为垂足, 则D、E、F三点共线，这条直线叫做 西摩松线 P （托动） 黄金分割: 把一条线段（AB）分成两条线段，使其中较大的线段（AC是原线段（AB） 与较小线段（BC）的比例中项，这样的分割称为 黄金分割。 AC2 = 14.0 厚采 CB-AB = 140 厘采 C * A 8 帕普斯（Pappus） 定理： 已知点Al、A2、A3在直线11上，已知点Bl、B2、B3在直线12上，

4、且AiB2与A2Bi交于点X，A1B3与A3Bi交于点Y,AB3于 A B2交于 点乙则X、Y、Z三点共线。 笛沙格（DesargueS） 定理: 已知在 ABC与厶ABC中，AA、BB、CC三线相交于点 O, BC与BC、CA与CA、AB与AB分别相交于点 X、Y、Z,则X、Y、 摩莱（Morley ）三角形： 在已知 ABC三内角的三等分线中，分别与BC CA、AB相邻的每两 线相交于点D、E、F,则厶DEF是正三角形， 这个正三角形称为 摩莱三角形。 DE= 1.24 厘来 EF=匸24厘米 FD = X24厘米 B （托动） 帕斯卡（Paskal）定理： 已知圆内接六边形ABCDEF的

5、边AB、DE延长线交于点G,边BC EF 延长线交于点H,边CD FA延长线交于点K,则H、G、K三点共线。 托勒密（Ptolemy） 定理： 在圆内接四边形中，AB - CD+ AD BC= AC- BD （任意四边形都可！哇哈哈） 斯图尔特(Stewart)定理: 设P为厶ABC边BC上一点，且BP: PC= n: m ,则 m (AB2)+ n (AC2)= m (BP2 )+ n (PC2) +( m + n) (AP2) 梅内劳斯定理： 在厶ABC中，若在BC CA、AB或其延长线上被同一条直线 截于点 X、丫、乙则(BX/XC) (CY/YA(AZ/ZB厂 1 阿波罗尼斯(Apol

6、lonius)圆 一动点p与两定点a b的距离之比等于定比 m：n，则点p的轨迹，是以 定比m：n内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆，这个圆被称为阿波 布拉美古塔(Brahmagupta)疋理： 在圆内接四边形 ABCD中，AC丄BD，自对角线的交点 p向一边作垂线, 其延长线必平分对边。 广勾股定理: 在任一三角形中， (1) 锐角对边的平方，等于两夹边之平方和，减去某夹边和另一夹边在 此边上的影射乘积的两倍. (2) 钝角对边的平方，等于两夹边的平方和，加上某夹边与另一夹边在 此边延长上的影射乘积的两倍. 加法原理： 做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有M1种不同的方法，

7、在 第二类办法中有 M2种不同的方法，在第 N类办法中有 M(N)种不同的 方法，那么完成这件事情共有M1+M2+M(N)种不同的方法。 比如说：从 北京到上海 有3种方法可以直接到达上海， 1:火车ki 2：飞机k2 3：轮船ks，那么从北京-上海的方法 n = k i+k2+ks 乘法原理： 做一件事，完成它需要分成n个步骤， 做第一 步有mi种不同的方法， 做第二步有m2不同的方法， ，做第n步有mn不同的方法.那么完成这件 事共有N=mj m2- m3mn种不同的方法. 正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。 即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(2R在同

8、一个三角形中是恒量，是此三角形 外接圆的直径) 这一定理对于任意三角形ABC都有 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R( R为三角形外接圆半径) 余弦定理： 对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们 夹角的余弦的两倍积，若三边为a, b, c三角为A,B,C ，则满足性质： a2=b2+c2-2bc Cos A b2=a2+c2-2ac Cos B c2=a2+b2-2ab Cos C Cos C= (a 2+b2-c 2)/2ab Cos B= (a 2+c2-b 2)/2ac Cos A= (c A2+bA2-a A2)/2bc 解析几何中的基本公式 1

9、、 两点间距离：若 A(Xi,ydB(X2,y2)，则 ABxj2 (y? yj2 2、平行线间距离：若丨 Ax By C,0, l2 : Ax By C20 A B 注意点：x，y对应项系数应相等。 3、点到直线的距离：P（x , y ）, l : Ax By C 0 则P到I的距离为：d Ax By C 4、直线与圆锥曲线相交的弦长公式: y kx b F(x,y) 0 消y: ax2 bx c 0，务必注意0. 若I与曲线交于A(x1,y1), B(x2,y2) 则：AB J(1 k2)% Xi)2 5、若人凡“区小），P（ x，y）。P在直线AB上，且P分有向线段AB所成 的比为， x

10、1x2 1 yiy2 ，特别地: x =1时，P为AB中点且 y x1 x2 2 yy2 2 变形后: x x2 适用范围：ki，k2都存在且kik2-1 ， tan k2k1 若li与l2的夹角为，则tan y yi y2 y 6 若直线li的斜率为ki，直线l2的斜率为k2,则li到l2的角为，（0,） 注意：（1） li到l2的角，指从li按逆时针方向旋转到l2所成的角，范围（0,） li到l2的夹角：指li、l2相交所成的锐角或直角。 （2）li l2时，夹角、到角=一。 2 （3）当li与12中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。 7、(1)倾斜角，(0,); (2) a,b夹角

11、,0,； ,0,； 2 0,，其中11/I 2时夹角 =0； 2 (3) 直线I与平面的夹角 (4) li与12的夹角为, (5) 二面角,(0,; (6) li 到 I2 的角，(0, 8、直线的倾斜角与斜率k的关系 a) 每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率。 b) 若直线存在斜率k,而倾斜角为，则k=tan 9、直线li与直线I2的的平行与垂直 (1)若li, I2均存在斜率且不重合：li/l 2ki=k2 li I2kik2= 1 (2)若 li : Aix Biy Ci0,l2 : A2x B2y C20 若Ai、A2、Bi、B2都不为零 II/I2Ai Bi Ci A2 B2 C2

12、 li I2AiAz+BiB2=0; li与l2相交 al Bi A2 B2 li与l2重合 Ai Bi Ci ； A2 B2 C2 注意：若 A或B2中含有字母，应注意讨论字母=0与0的情况 I0、 直线方程的五种形式 名称 方程 、亠 1 注意点 斜截式: y=kx+b 应分斜率不存在 点斜式: y y k(x x ) 斜率存在 (I)斜率不存在：x x (2 )斜率存在时为 y y k(x x ) 两点式: y yix Xi y2 yiX2 Xi 截距式: x 2 i a b 其中l交x轴于(a,0)，交y 轴于(0,b)当直线l在坐标轴上， 截距相等时应分： (I)截距=0 设y=kx

13、 2)截距=a 0 设 1 y i a a 即 x+y=a 般式: Ax By C 0 (其中A、B不同时为零) 的位置关系有三种 2 2 II、直线 Ax By C 0与圆(x a) (y b) 卄|Aa Bb Cl 若 d，dr 相离 0 J A2 B2 d r 相切 0 d r 相交 0 13、圆锥曲线定义、标准方程及性质 （一）椭圆 定义I：若Fi, F2是两定点，P为动点，且PFi PF? 2a F1F2 （ a为 常数）贝U P点的轨迹是椭圆。 定义U:若Fi为定点，I为定直线，动点P到Fi的距离与到定直线I的距离 之比为常数e （Ovevi）,则P点的轨迹是椭圆。 2 标准方程：

14、 2 x 2 2 【2 1 a b (a b 0) 定义域：x a x a值 域：x b y b 长轴长=2a，短轴 长=2b 焦距：2c 焦半径 2 PF1 e(x ) c ? PFi 2a I PF， a c |PFa c等（注意涉及焦半径用点P坐标表示，第一定 义。） 注意：（i）图中线段的几何特征: AH AFa c，IAF2 A2 F i BiFi| BiFj IB2F2 归2斤 a，A2B2 ABJa2 b2 等等。顶 点与准线距离、焦点与准线距离分别与 a, b,c有关。 PFi x 2a y 0 B ( y a A： c 2 x 2 a 2 y 2 a 1 (a 0,b0) b

15、2 1 (a 0,b0) 2 y b2 (2) PF1F2中经常利用余弦定理.、三角形面积公式 将有关线段 PF2I、2c,有关角F1PF2结合起来，建立|PFi+PF2、PFi|?PF2 等关系 a cos bsin (3)椭圆上的点有时常用到三角换元： y (4)注意题目中椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上，请补充当焦点在y轴 上时，其相应的性质。 二、双曲线 则动点P的轨迹是双曲线。 U若动点P到定点F与定直线I的距离之比是常数e( e1),则 动点P的轨迹是双曲线。 (二)图形： 定义域：xx a或x a; 值域为R; (a为常数), 三)性质 焦距: 实轴长=2a，虚轴长=2b 2c 准

16、线方程：x (一)定义: I若F1, F2是两定点，|PF1 2 方程：务 a 焦半径： PF, e(x )， c 7 PF2 PF, PF2 2a ； 注意：（1）图中线段的几何特征: AF, a, AF2 BF, 顶点到准线的距离： ;焦点到准线的距离： 2a2 c 2 ；两准线间的距离 c 2 若双曲线方程为笃 a 2 y_ b2 渐近线方程: 2 x 2 a b y -x a 双曲线可设为 若渐近线方程为y 2 x 2 a 2 y b2 2 若双曲线与2 a 2 与1有公共渐近线， b2 （ 0，焦点在x轴上，0，焦点在y轴上） 可设为 2 x 2 a 2 y b2 (3) 特别地当a b时 离心率e 2 两渐近线互相垂直，分别为 y= x，此时双曲线为等轴双曲线，可设为 x2 y2； （4）注意 PF, F2中结合定义 |PFi 內 2a与余弦定理cos F1PF2， 将有关线段|PF、PF2、IF1F2和角结合起来。 、抛物线 （一）定义：到定点F与定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线。 即：至U定点F的距离与到定直线I的距离之比是常数e（e=1） （二）图形