初二整式的乘法与因式分解所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)

1、初二整式的乘法与因式分解所有知识点总结和常考丿 1/1 知识点： 1. 基本运算： 同底数幕的乘法：amxan =严 幕的乘方：(/)=(严 积的乘方：(“) =anbn 2. 整式的乘法： 单项式x单项式:系数x系数，同字母X同字母，不同字母为积的因式. 单项式X多项式:用单项式乘以多项式的每个项后相加. 多项式X多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加. 3 .计算公式： 平方差公式:(a-b)x(a+b) = a2 -b2 完全平方公式：(6/ + Z?)2 =a2+2ah+b2; (a-b)2 =a2-2b+b2 4. 整式的除法： 同底数幕的除法：auan =amn 单

2、项式*单项式:系数十系数，同字母-同字母，不同字母作为商的因式. 多项式*单项式:用多项式每个项除以单项式后相加. 多项式*多项式：用竖式. 5. 因式分解：把一个多项式化成儿个整式的积的形式，这种变形叫做把这个式 子因式分解. 6. 因式分解方法： 提公因式法:找岀最大公因式. 公式法： 平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) 完全平方公式：a2 2ab + b2 = (a b)2 立方和：ci + if = (a + b)(/ ab + b2) 立方差：/ _ b = (a -b)(a2 + ab + b2) 十字相乘法：x2 +(p + q)x+ pq = (x+ p)(x + q

3、) 拆项法添项法 常考题： 一.选择题(共12小题) 1. 下列运算中，结果正确的是() A. x 3*x =x B .3x2 + 2x2 = 5 x C(x?) 3=x5 Db)(如图屮)，把余 下的部分拼成一个矩形(如图乙)，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证 () a ab r b 图甲 图乙 A. (a+b)=a2 + 2ab + b2 B(a - b) 2=a2 - 2ab+b2 C. a2 - b 2= (a+ b )( a - b) D . (a+2b) (a - b)= a 2+ a b - 2b2 11.图是一个长为2 a,说为2b(a b)的长方形，用剪刀沿图中虚线

4、(对称轴) 剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图(2)那样拼成一个正 方形，则中间空的部分的面积是() (2) A. a b B(a +b) C . (a - b) D a 2 - b I 2 .如图，从边长为(a+4)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a+l)cm的正方形 (a0 ),剩余部分沿虚线乂剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则矩形的面积为 (4) 4+1 2 (x - y) + 9(x - y ) 2. 33. (2a+ b + 1 ) (2a + b - 1) 3 4.分解因式：x3 - 2x2y+xy2. 35.分解因式： (1) a ： - 1 6; (2 )

5、x2 - 2xy+ y 2 - 9. 3 6.分解因式 x2(x y )+(y - x). 3 7.分解因式 (1 ) a2(x - y) +16 (y x)； (2) ( x2+ y 2) - 4x2y . 3 8 .因式分解 (1 ) 8ax2+16axy -8a y 2; (2) (a2+ 1 ) - 4a2. 39.因式分解： (1) 3x - 1 2x3 (2) 6xy2+9x2y+y3. 40若x +2x y +y2a(x+ y )+25是完全平方式，求a的值. 初二整式的乘法与因式分解所有知识点总结和常考题提 高难题压轴题练习(含答案解析) 参考答案与试題解析 一选择题(共12小

6、题) 1. (2 0 15*甘南州)下列运算中，结果正确的是() A、x 3*x3= X 切 B 3 x2+ 2 x2= 5 x4ft C.(x2) 3=xA.a(x+y)= a x+ a y。B. x? 4 x+4= x (x - 4)+4 D. ( x + y ) 2=x +y2 【分析】A、利用同底数幕的乘法法则讣算得到结果，即可做出判断； B、合并同类项得到结果，即可做出判断； C、利用幕的乘方运算法则计算得到结果，即可做岀判断； D、利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断 【解答】解:A、x3x3=x6,本选项正确； B、3x2 + 2x2=5x2/本选项错误； C、(x?)3

7、= x6,本选项错误； D、( x + y )2=x2+2xy+y2,本选项错误, 故选A 【点评】此题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幕的乘法，以及幕的乘方， 熟练掌握公式及法则是解本题的关键. 2. (2 0 08*南京)计算(ab2)彳的结果是() A a b 5 B.abC.lOx2 - 5 x=5x(2x - 1) D x2 - 16 + 3x=( x 4) ( x+4)+ 3x 【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为儿个整式的积的形式，利用排除法 求解. C a3b D.a3b6 【分析】根据积的乘方的性质进行计算，然后直接选取答案即可. 【解答】解：(ab2)3=a(20

8、05*茂名)下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为() * (b2)3=a3b6. 故选D. 【点评】本题考查积的乘方，把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幕相乘. 3. (201 1 呼和浩特)计算2x2*(3 x3)的结果是() A. 6x B 6x%C-2 x6 D.2x6 【分析】根据单项式乘单项式的法则和同底数幕相乘，底数不变，指数相加计算 后选取答案. 【解答】解：2x(3x3), =2X( - 3)(x2b)(如 图屮)，把余下的部分拼成一个矩形(如图乙)，根据两个图形中阴影部分的面积相 等，可以验证() aab a b b 9 9 图甲图乙 A. (a+b) =a2+2

9、a b +b2d B(a - b) =a2 - 2ab+ b C a2 - b2= (a + b) ( a - b) D(a +2b)(a - b)=a2+ab -2b2 【分析】第一个图形中阴影部分的面积计算方法是边长是a的正方形的面积减去 边长是b的小正方形的面积，等于a?b2；第二个图形阴影部分是一个长是(a + b ),宽是(a - b)的长方形，面积是(a+b) ( ab);这两个图形的阴影部分的面 积相等. 【解答】解:图中中阴影部分的面积=a2b图乙中阴影部分的面积=(a + b)( a b), 而两个图形中阴影部分的面积相等， 阴影部分的面积= (2)求 x2+ 3 xy+y2

10、 的值. 【分析】(1)先去括号，再整体代入即可求出答案； (2)先变形，再整体代入，即可求出答案. 【解答】解：(1 )Vx+y=3, (x+2) (y+2)=12, A x y +2x+ 2 y+4=12, xy+ 2 ( x +y) = 8 , /xy+2X3 = 8, xy=2; (2) V x+y=3,xy=2, x 2+ 3 xy+y2 =(x+y)2+ x y =32 + 2 = 11. 【点评】本题考查了整式的混合运算和完全平方公式的应用，题口是一道比较典 型的题目，难度适中. 30.( 2 0 I 4秋德惠市期末)先化简，再求值3a( 2 a2 4a+3) - 2a2(3a+

11、4),其中 a= - 2 . 【分析】首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同类项，最后 代入已知的数值计算即可. 【解答】解：3 a (2a2 - 4a + 3)-2a(3a+4) =6aI .( 2 00 7 天水)若a? - 2 a+l=0.求代数式/宀的值. a 【分析】根据完全平方公式先求出a的值，再代入求出代数式的值. 【解答】解:由a?2a+l= 0得(a - 1)2= 0 , /3=1； - 12a2+9a - 6 a 3 - 8a2 =-20 a 2+9 a , 当 8= 2 时原式二-20X 4 - 9X2= - 98. 【点评】本题考查了整式的化简.整式的加减

12、运算实际上就是去括号、合并同类 项，这是各地中考的常考点. 故答案为：2. 【点评】本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式先求出a的值，是解 决本题的关键. 32. (2012春鄰城县期末)分解因式： (1) 2x - x； (2) 16x 1； (3 ) 6 xy2 - 9x2y - y3； (4 ) 4+12 (x y ) +9 ( x - y)z. 【分析】(1)直接提取公因式x即可； (2)利用平方差公式进行因式分解； (3) 先提取公因式y,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解； (4) 把(xy)看作整体,利用完全平方公式分解因式即可. 【解答】解:(1 ) 2 x -

13、x=x (2x - 1 )； (2)16x? - 1 =(4x+ 1 ) (4x- 1)； (3)6xy2 - 9x2y - y 3, =-y (9x? 6xy+y2), = y(3x - y)2： (4 ) 4+12(x - y ) +9 (x y) = 2+3(xy) 2, =(3 x - 3 y +2) 2. 【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，是因式分解的常用方法,难 点在(3),提取公因式y后,需要继续利用完全平方公式进行二次因式分解. 33. (2011 春乐平市期中)(2 a+b+l)( 2 a+ b - 1) 【分析】把(2a+b)看成整体，利用平方差公式和完全平方公

14、式计算后整理即可. 【解答】解：(2 a+ b +l)(2a+b - 1 ), =(2a + b)2 - 1 , =4 a2+4a b +b2 - 1. 【点评】本题考查了平方差公式和完全平方公式的运用，构造成公式结构是利用 公式的关键，需要熟练掌握并灵活运用. 34. (2 0 09*贺州)分解因式：x3 - 2xy+xy2. 【分析】先提取公因式x,再利用完全平方公式分解因式.完全平方公式:a22 a b+t)2= (ab) 2; 【解答】解:x - 2x2y+ x y2, =x ( x 2 - 2 xy+/), =x (x - y) 2. 【点评】主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方

15、公式分解因式，本题难点 在于要进行二次分解. 35. (201 1 雷州市校级一模)分解因式： (1) a4 - 16： (2) x 2xy+y2 - 9 【分析】(1)两次运用平方差公式分解因式； 前三项一组，先用完全平方公式分解因式，再与第四项利用平方差公式进行 分解. 【解答】解:(1) a4- 1 6=(a2) 24； =(a2 4 ) (a2+4), = (a2+4) (a+2) (a - 2)； (2 )x - 2 x y+y2 - 9, =(x 2 - 2xy + y2) - 9Z =(x y )2 3 2, = (x-y-3)(x - y+3). 【点评】(1)关键在于需要两次

16、运用平方差公式分解因式； (2 )主要考查分组分解法分解因式，分组的关键是两组之间可以继续分解因式. 36. (2008春利川市期末)分解因式Q (x - y ) + (y - x). 【分析】显然只需将(x- y)变形后，即可提取公因式(xy ),然后 再运用平方差公式继续分解因式. 【解答】解：X 2 (xy)+(y - X), = x2(x - y) - (x - y), =(x y) ( x 2 - 1), = (x-y)(x-l)(x+l). 【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式 首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到

17、 不能分解为止. 37. (2 0 09秋三台县校级期末)分解因式 (1 )a2 (x - y ) + 1 6 (y - x); (2) (x2+y2)2 - 4x2y2. 【分析】(1)先提取公因式(xy),再利用平方差公式继续分解； (2)先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解. 【解答】解：(1 )a2 (xy ) +16( yx), =(x - y) (a2 - 1 6), =(x y) ( a +4) ( a - 4 )： (2)(x2+ y 2)2 - 4x y2, =(x2+2xy+y2) (x2 - 2 xy+ y 2), =(x+y) 2 (x - y)2. 【点评】本

18、题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式 首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不 能分解为止. 3 8. (2009春扶沟县期中)因式分解 (1 ) - 8a x 2+1 6 a xy - 8a y 2; (2) ( a +l)2 4a. 【分析】(1)先提取公因式8a,再用完全平方公式继续分解. (2)先用平方差公式分解，再利用完全平方公式继续分解. 【解答】解：(1) - 8ax2+ 1 6a x y - 8a y 2, =-8 a (x - 2xy+ y 2), =8 a (xy尸； 2) (a2+l)2 -4a2, =(a 2+l - 2a) (a2+l+2a)z = (a+ 1 )2 (a - 1) 1. 【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式 首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不 能分解为止. 39. ( 2011秋桐梓县期末)因式分解： (1) 3x 1 2x3 (2) 6xy +9x2y+y3. 【分析】(1)先提取公因式3 x,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解； (2)先提取公因式y,再根据完全平方公式进行二次分解.完全平方公式：a2 2ab+b2=(ab) 2. 【解答】解：(1) 3X12x3