初中数学竞赛教研专题讲义设计：等量代换法巧解希望杯赛题

1、初中数学竞赛教研专题讲义设计：等量代换法巧解希望杯赛题等量代换法巧解希望杯赛题山东沂源县徐家庄中心学校 256116 孟令刚 左效平等量代换法是数学的最基本方法，她内容充实，方式多样，是非常有效的解题方法之一.下面 就例证方法，供学习参考.1.代换常数 0 构造新等式解题例 1已知关于 x 的一元二次方程 a x 2 +bx +1=0 和 b x 2 +ax +1=0(a b)只有一个公共的 实数根 x =c,则1a +b+c= .（第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛 初三 第 1 试试题）分析：利用方程根的定义，进行首次代换，得到关于 c 的两个等式，利用常数 0 进行二次代 换，得到关于

2、c 的新等式，从而开启解题的新征程.解析：因为关于 x 的一元二次方程 a x 2 +bx +1=0 和 b x 2 +ax +1=0(a b)只有一个公共的实数根 x =c,所以 ac2 +bc+1=0,b c 2 +ac+1=0,所以 a c 2 +bc+1=b c 2+ac+1，所以（a-b）（c2-c）=0,因为 a b，所以 c=1 或 c=0（舍去），所以 a+b=-1,c=1,所以原式=1-1+1=-1+1=0.2.代换无理数构造新等式解题例 2若 a=5+3,则 2a3-11a2+2a+1= .（第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛 初三 第 1 试试题）分析：用代数式表示无理数

3、，后通过平方的方法构造关于 a 的新的表达式，不断进行代换， 做到既能降幂，又能化简的双重功效.解析：因为 a=5+3,所以（a-3）= 5 ,所以 a 2 -6a+9=5 即 a 2 -6a+4=0，所以a2=6a-4，a2-6a=-4，所以a3 =6 a 2-4a，所以 2a3-11a2 +2a+1=12 a 2 -8a -11 a 2+2a+1=a2-6a+1=-4+1=-3.3.裂项后和式代换构造新等式解题例 3 已 知 a,b,c 满足 a+b+c=0,若 a,b,c 都不等于 0,则bc +ac ab +ac cb +ab+ +ab bc ca的值为（ ）(a)-3. (b)-1.

4、 (c)0. (d)3.（第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛 初三 第 1 试试题）分析：对比已知与求证，发现单项式的次数不同，为此可以逆用分式的基本性质，把次数降 下来，后将已知进行等式变形，利用等量代换法求解即可.解析：因为bc +ac ab +ac cb +ab bc ac ab ac bc ab + + = + + + + +ab bc ca ab ab bc bc ac ca1 / 4初中数学竞赛教研专题讲义设计：等量代换法巧解希望杯赛题=c c a a b b c +b c +a a +b + + + + + = + +a b c b a c a b c，且 a+b+c=0, 所以

5、 b+c=-a,a+c=-b ，a+b=-c,所以原式=-1+（-1）+（-1）=-3，所以选 a. 4.设元代换构造新等式解题例 4若1 1 1= =x +1 y +2 z +3,则 x -2y+z= .（第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛 初三 第 1 试试题）分析：根据条件的特点可以引进一个相似特点的未知元，用未知元表示各个代数式，从而实 现化不同为同的解题目标.解析：因为1 1 1 1 1 1 1 = = ，不妨设 = = = ，x +1 y +2 z +3 x +1 y +2 z +3 k所以 x+1=k,y+2=k,z+3=k。所以 x=k-1,y=k-2,z=k-3,所以 x -

6、2y+z=k-1-2(k-2)+k-3=k-1-2k+4+k-3=0.5.三角形代换求角，等线段代换求线段的长度例 5 如图 1,在 abc 中,ab=ac,d、e 是 abc 内的两点,ad 平分 bac, bac =40, abe =10,d =30,be =9,de =3,则 e = ,bc= .（第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛 初三 第 1 试试题）分析：如图 1，延长 ed 交 bc 于点 f，判定三角形 bef 是等边三角形问题得解；延长 be 交 ad 于点 g，判定三角形 bgc 是等边三角形，利用等线段代换实现目标.解析：如图 1，延长 ed 交 bc 于点 f，延长 a

7、d 交 bc 于点 h，根据题意得dhf =90, d =30,所以dfh =60, ebf =60,所以三角形 bef 是等边三角形，所以bef=60；延长 be 交 ad 于点 g，连接 gc，根据等腰三角形的对称性，易证三角形 bgc 是等边三角形， 三角形 egd 是等腰三角形，所以 bc=bg=be+ed=12.6.面积式代换比值求面积例 6如 图 2, 在 abc 中 ,ef bc,ae 1= ,be 2s四边形bcfe=64, 则s三角形bce= .（第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛 初三 第 1 试试题）2 / 4初中数学竞赛教研专题讲义设计：等量代换法巧解希望杯赛题af e

8、c图2b分析：把线段之比代换成图形的面积之比，从而使问题步步走向光明.ae 1解： 因为 ef bc, = ,be 2s四边形bcfe=64,所以s 1 三角形aef =（ ）2s +64 3 三角形aef，所以三角形 aef 的面积是 8，所以（8+64-s三角形bce）：s三角形bce=1:2,所以s三角形bce=48.7.坐标代换线段，探求解析式例 7.如图 3,已知 a(3,5),b(8,5),c(8,0),d(3,0),e(0,2),f(3,2),过 d 点作直线l,使l左侧与右侧面积之比是 35,若 l 的方程是 y =kx + b,则 k= ,b= . （第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛 初三 第 1 试试题）分析：如图 2，设点 g 的坐标为（m,5）,则 ag=dh=m-3，bg=ch=8-m，这样就把点的坐标转化 成了线段的长度，这样就可以把图形的面积之比用 m 的代数式表示出来，从而建立起新的等 式，求得 m 的值，从而确定点 g 的坐标，解析式自然就顺利确定.解析：如图 3，过点 g 作 ghx 轴,垂足为 h，根据题意，设点 g 的坐标为（m,5）,则 ag=dh=m-3