常微分方程解的存在唯一性定理_第1页
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1、常微分方程解的存在唯一性定理/山口一阶微分方程（1）其中-是在矩形域匸 5- ;1 ;上的连续函数。定义1如果存在常数丄：，使得不等式/.对于所有.I T都成立，则函数-称为在亡上关于，满足Lipschitz 条件。定理1如果； 在止上连续且关于满足Lipschitz 条件，则方程存在唯一的解，1：-，定义于区间l 上，连续且满足初始条件汰八“孤二 m吨maxWW -_y0， 这里M，佃刃。Picard逐步逼近法来证明这个定理的主要思想。首先证明求微分方程的初值冋题的解等价于求积分方程J7 =+ f /（兀卩眩的连续解。然后去证明积分方程的解的存在唯一性。任取一个连续函数代入上面积分方程右端的

2、匸,就得到函数嗚（龙）三兀十匚/ （兀仙（兀）族，显然D -也是连续函数， 如果rJ 1那末就是积分方程的解。否则，我们又把:|代入积分方程右端的匸，得仙三齐十t /（入巒（对）以，如果二，那末1 1就是积分方程的解。否则我们继续这个步骤。一般地作函数(3.1.1.4)这样就得到连续函数序列：八八I,，如果，那末就是积分方程的解。如果始终不发生这种情况，我们可以证明上面的函数序列有一个极限函数,即-，：，1：1存在，因而对（3.1.1.4）取极限时，就得到lim (x) = j0 +lina |/(心阿丿兀)“=儿十 fpb-i qj鬲北T他即，这就是说是积分方程的解。这种一步一步地 求出方程的解的方法就称为 逐步逼近法。函数：称为初值问题的第辽次近似 解。命题1设：，1是方程（1）的定义于区间；| -上，满足初始条件的解，则是积分方程f .一：的定义于1 上的连续解。反之亦然。现在取厂一 ，构造皮卡逐步逼近函数序列如下:&（力=Jo环O）匚片十了 （匕钩T ）N ? 珥S S 十必J巾12 ）命题2对于所有的咛,函数- J -在上有定义、连续且满足不等式. -1.1 1 0命题3函数序列在-上是一致收敛的设辄盛处）贝0刃也在上连续，且I念）4命题4；：是积分方程的定义于 ：上的连续解。命题5设是积分方程的定义于=-上- T

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