平面向量知识点总结与训练

1、第二章 平面向量知识点归纳一 . 向量的基本概念与基本运算1向量的概念： 向量：既有大小又有方向的量 向量一般用 a,b,c 来表示，或用有向线段的 起点与终点的大写字母表示，如： AB 几何表示法 AB ， a ；坐标表示法 a xi yj （x,y） 向量的大小即向量的模（长度） ，记作| AB | 即向量的大小， 记作 a 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小 零向量： 长度为 0 的向量，记为 0 ，其方向是任意的， 0 与任意向量平行 零向 量a0 a0 由于0 的方向是任意的，且规定 0平行于任何向量，故在 有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件 （注

2、 意与 0 的区别） 单位向量： 模为 1 个单位长度的向量向量 a 0为单位向量 a0 1 平行向量（共线向量） ：方向相同或相反的非零向量 任意一组平行向量都可以 移到同一直线上 方向相同或相反的向量，称为平行向量 记作 a b 由于向量可 以进行任意的平移 （即自由向量 ） ，平行向量总可以平移到同一直线上， 故平行向 量也称为共线向量数学中研究的向量是自由向量， 只有大小、 方向两个要素， 起点可以任意选、的含义，要取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的 相等向量： 长度相等且方向相同的向量 相等向量经过平移后总

3、可以重合，记 x1 x2为a b 大小相等，方向相同 （x1,y1） （x2, y2）1 2y1 y22向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设 AB a,BC b，则a+b= AB BC = AC（ 1） 0 a a 0 a ；（2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则” ：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与 已知向量的始点重合的那条对角线， 而差向量是另一条对角线， 方向是从减向量 指向被减向量（2） 三角形法则的特点是“首尾相接” ，由第一个向量的起点指向最后一 个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和； 差向量是从减

4、向量的终点指向被 减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时， 用三角形法则向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR ，但这时必须“首尾相连” 3向量的减法 相反向量： 与 a 长度相等、方向相反的向量，叫做 a 的相反向量记作 a ,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有： (i) ( a) = a； (ii) a+( a)=( a)+a=0 ；(iii)若a 、 b是互为相反向量，则 a= b,b = a,a+b =0 向量减法： 向量 a加上 b 的相反向量叫做 a 与b 的差，记作： a b a ( b) 求两个向

5、量差的运算，叫做向量的减法 作图法： a b可以表示为从 b的终点指向 a的终点的向量( a、b 有共同起 点)4实数与向量的积： 实数与向量a的积是一个向量，记作 a ，它的长度与方向规定如下：() a a ；()当0时，a 的方向与 a的方向相同；当0时，a 的方向与 a的方向相反；当0 时， a 0，方向是任意的 数乘向量满足交换律、结合律与分配律5两个向量共线定理：向量b与非零向量 a共线 有且只有一个实数 ，使得 b= a 6平面向量的基本定理：如果 e1,e2 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数 1, 2使： a 1e1 2e2，其中不共

6、线的向量 e1, e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底7 特别注意 :（1）向量的加法与减法是互逆运算（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件（ 3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合） ，而向量平行 则包括共线（重合）的情况（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与 其相对位置有关学习本章主要树立数形转化和结合的观点， 以数代形， 以形观数， 用代数的 运算处理几何问题， 特别是处理向量的相关位置关系， 正确运用共线向量和平面 向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂 直等 由于向量是一新的工

7、具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结 合起来进行综合考查，是知识的交汇点二. 平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i , j 作为基底 由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量 a 可表示 成 a xi yj ，由于 a 与数对 （x,y）是一一对应的，因此把 （x,y）叫做向量 a 的坐标， 记作 a =（x,y），其中 x 叫作 a在 x 轴上的坐标， y 叫做在 y轴上的坐标（1）相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量（2）向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、 终点的具体位置无关， 只与其相对位

8、置有关2平面向量的坐标运算：(1) 若a x1,y1 ,b x2, y2 ，则a b x1 x2,y1 y2(2) 若 A x1,y1 ,B x2,y2 ，则 ABx2 x1,y2 y1(3) 若 a =(x,y)，则 a=( x, y)(4) 若ax1,y1 ,bx2, y2，则a/b x1y2x2y10(5) 若ax1,y1 ,bx2, y2，则a bx1 x2y1 y2若a b ，则 x1 x2 y1 y2 03 向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质运几何方法坐标方法运算性质算类型向1 平行四边形法则a b (x1 x2,y1 y2)a b

9、 b a量2三角形法则(a b) c a (b c)的AB BC AC加法向三角形法则a b (x1 x2,y1 y2)a b a ( b)量AB BA的OB OA AB减法向a 是一个向量 ,a ( x, y)( a) ( )a量满足:( )a a a的0 时, a 与 a 同(a b) a b乘向;a ba b法0 时, a 与 a 异向;=0 时 , a=0向a b 是一个数a b x1x2 y1y2a b b a量a 0或 b 0时,( a) b a ( b) (a b)的a b=0(a b) c a c b c数a 0且 b 0 时,2 2 2 2 a |a| , |a| x y量a

10、 b |a|b|cos a,b|a b | |a |b |积平面向量的数量积1两个向量的数量积：已知两个非零向量 a与b ，它们的夹角为 ，则ab =a b cos叫做a与b 的数量积（或内积） 规定 0 a 0ab2向量的投影： b cos = a b R，称为向量 b 在 a方向上的投影 投影的绝对 值称为射影3数量积的几何意义： ab 等于 a的长度与 b 在a方向上的投影的乘积 4向量的模与平方的关系： a a a2 |a|25乘法公式成立：a b a ba2 b2 aa ba2 2a b b 2a 2a b b6平面向量数量积的运算律： 交换律成立： a b b a对实数的结合律成立

11、： a b a b a b R 分配律成立： a b c a c b c c a b 特别注意 ：（ 1）结合律不成立： a b c a b c ；（ 2）消去律不成立 a b a c 不能得到 b c（3）a b=0 不能得到 a=0或b =0 7两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量 a （x1,y1）,b （x2,y2），则ab = x1x2 y1y28 向量的夹角： 已知两个非零向量 a 与 b ，作 OA= a , OB = b , 则 AOB=（00180 0 ）叫做向量 a与b 的夹角x1x2 y1 y22 2 2 2x1 y1 x2 y2当且仅当两个非零向量 a与b 同方向时

12、，=00，当且仅当 a与b 反方向时=1800，同时 0 与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果 a与b 的夹角为 900则称a与b 垂直，记作 ab10 两个非零向量垂直的充要条件 ：abab O x1x2 y1y2 0巩固练习例 1 给出下列命题： 若| a| b|，则 a=b； 若 A ，B， C， D 是不共线的四点，则 AB DC 是四边形 ABCD 为平行四 边形的充要条件； 若a=b，b=c，则 a=c， a = b的充要条件是 | a|=| b|且a/ b； 若a/ b，b/ c ，则a/ c，例 2 设A、B、C、D、O 是平面上的任意五点，试化简： AB BC

13、CD ， DB AC BD OA OC OB CO其中正确的序号是例 3 设非零向量 a、b 不共线， c=ka+b ，d = a+kb (k R)，若cd ， 试求 k例4 已知向量 a (1,2),b ( x,1),u a 2b，v 2a b ，且u / v ，求实数 x的 值例 5 已知点 A(4,0),B(4,4),C(2,6),试用向量方法求直线 AC 和OB(O为坐标原 点)交点 P 的坐标例6已知两单位向量 a与b 的夹角为 1200 ，若c 2a bd, b3 a，试求c与d 的夹角例 7 已知 a 4,3 ，b1,2 ， m a b, n 2a b ，按下列条件求实数的值(1)m n ；(2) m/ n ； (3) m n例 8已知 |a| 4，|b| 2，且 a与b夹角为 120求(a 2b) (a b)； |2a b|； a与 a b的夹角。例 9已知向量 a= (1,2)，b= ( 3,2) 。求 |a b|与|a b|； 当k为何值时，向量