常微分方程教材

1、常微分方程教材第九章 微分方程一、教学目标及基本要求（1） 了解微分方程及其解、 通解、初始条件和特解的概念。（ 2） 掌握变量可分离的方程和一阶线性方程的解法， 会解 齐次方程。（3） 会用降阶法解下列方程： y（n） f（x）, y f（x,y ）, y f（y,y ）。（ 4） 理解二阶线性微分方程解的性质以及解的结构定理。（ 5） 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法， 并会解某 些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。（ 6） 会求自由项多项式、 指数函数、正弦函数、余弦函数， 以及它们的和与二阶常系数非齐次线性微分方程的特 解和通解。（ 7） 会用微分方程解决一些简单的应用问题。二、本

2、章教学内容的重点和难点1、理解和熟悉微分方程的一些基本概念；2、掌握一阶和高阶微分方程的各种初等积分法；3、熟悉线性方程的基础理论，掌握常系数二阶线性齐次 与非齐次方程的解法；4、会列微分方程及其始值问题去解决实际问题。三、本章教学内容的深化和拓宽：1、分离变量法的理论根据；2、常用的变量代换；3、怎样列微分方程解应用题；4、黎卡提方程；5、全微分方程的推广；6、二阶齐次方程；7、高阶微分方程的补充；8、求线性齐次方程的另一个线性无关的解；9、求线性非齐次方程的一个特解；10、常数变易法。本章的思考题和习题 解下列方程（第 1-6 题）1、(1 x)y y x, y(0) 22、f(x) ex

3、 ex 0 f x 2dx, f 可微3、1 x2 sin2y?y 2xsin2 y e2 1 X4、(y4 3x2 )dy xydx 0215、y 2xy 2 0, y(0) 1,y (0)26、y xy y y 27、已知可微函数 f(x)满足 1 f2(x)dx f (x) 1,求f (1)和f (x)； 1 f (x) x8、已知 0 f (ax)da 21 f(x) 1, f可微,求f (x) ；9、求与曲线族 2x2 3y2 C相交成 45 角的曲线；10、一容器的容积为 100L ，盛满盐水，含 10kg 的盐，现 以每分钟 3L 的速度向容器内注入淡水冲淡盐水，又以同样的 速度

4、将盐水抽入原先盛满淡水的同样大小的另一容器内， 多余 的水便从容器内流出，问经过多少时间，两容器内的含盐量相 等？9.1 微分方程的基本概念、内容要点：先从实例引入建立几个微分方程的模型， 引入微分方程的 一系列概念；常微分方程：常微分方程的阶数、解、通解、全部解、特 解、积分曲线族的定义； 二、教学要求和注意点了解微分方程与微分方程的阶、解、通解、初始条件和特 解以及积分曲线说明 1：一个微分方程加上初始条件和初值问题的解是对某实 际问题两种等价的描述形式。前者强调的是运动的过程，是系 统的机理；后者强调的则是运动的结果，是系统的输出。说明 2：可分离变量的微分方程虽然简单，但它是求解各种微

5、 分方程的基础，要求学生必须熟练掌握。定义 1：称含有导数或微分的方程为微分方程，并称方程种 最高阶导数的阶数为方程的阶数。如： y y 2 xy 1 二阶方程； y 2 xy 0一阶方程； y x三阶方程， 等等 讲方程，都是为了解方程，前两个方程不好解，第三个方程 好 解 。 解 之 ， y x ， 方 程 两 边 三 次 积 分 ， 得 方 程 的 解 y 214x4 12C1x2 C2x C3（C1,C2,C3为任意常数）。当 y 214 x4时，也满足方24 2 24程。可见y 214 x 12 C1x C2x C3 包括了所有的解的形式。则称它为通解。24 2定义 2：称满足微分方

6、程的函数为方程的解。若方程的解种 含有相互独立的任意常数， 常数的个数恰好等于方程的阶数， 则称此解为方程的通解； 称不含任意常数的解为方程的特解。注 1: 通解与特解只是方程的两类解，一阶方程的解要么是通 解，要么是特解注 2：一阶方程的几种形式：一般形式： F (x, y, y ) 0 ，从这个方 程种有可能解出 y ，也有可能解不出来；一阶显式方程：y f (x,y) ；对称形式： ddyx QP(xx,yy) 或 Pdx Qdy 0注 3：在一阶方程种， x 和 y 的关系是等价的 .因此，有时可将 x 看成函数， y 看做变量。 9.2 可分离变量的微分方程 一、内容要点：可分离变量

7、的方程及其他可化为变量可分离的方程的定 义及解法。本单元的讲课提纲： 然后再讲具体的类型与解法可分离变量的方程与分离 变量法。重点是微分方程的阶、通解与特解等概念，分离变量 法。难点是利用微分方程建立数学模型关键是判别可分离变量 方程的方法，以及具体积分方法。lnC,ln C二、教学要求和注意点 掌握可分离变量微分方程的解法 注意问题： (x)dx 通常只表示一个原函数，积分常数 C 有 时写成f ( y)dy g(x)dx 的一阶方程为可分离变量定义 1：称能改写为形式： 方程。注：不是所有的方程都能这样，故可分离变量方程为一阶线性 方程的特殊情况。定理 1：若 F (y) f (y)， G

8、(x) g(x) ，则 f (y)dy g(x)dx的通解为 F (y) G(x) C 证： (1)先证 F (y) G(x) C 是方程的解。两边对 x求导，得 f (y) dy g(x)，即 f (y)dy g(x)dx dx 故F(y) G(x) C 是方程的解f (x) ( x)dx g(x)dx(2)设 y (x) 是方程的任一解，则 f (x) (x)dx g(x)dx 两边关于 x 积分，得 又 F(x)是 f (x) 的一个原函数， G(x)是 g( x)的一个原函数 则F (x) G(x) C，即 y (x) 在F(y) G(x) C 中 所以， F(y) G(x) C为 f

9、 (y)dy g(x)dx的通解。 注 1: 可分离变量方程的解法：先分离变量，再两边积分，即得 通解 注 2 ：用来确定通解中的任意常数的条件，称为方程的初始条 件。y(0) 4例1】 求sin x cos ydx cos xsin ydy 0的通解， 并求满足初始条件的特解。ln cosxln cos ylnC解：方程可变为 csoinsxx dx csoinsyy dy，两边积分，得 cosx cos y即 cos y C cos x 为方程的通解。又 y(0) 4 ，代入，得cos4C cos 0即满足初始条件的特解为cos yC222 cos xcosx2例2】 求 y ex y的通

10、解解：由 y ex y exey ，分离变量，得 deyy exdx，两边积分，得 e y ex c ，即为方程的隐式通解。二、可化为齐次方程的方程经 x X h yYk变换将行如 dy ax by c 方程化为齐次方程。dx a1x b1 y c1例3】求 dy x y 1 的通解。 dx x y 1解：令 xyX h ，则 dY X Y (h k 1)Y k dX X Y ( h k 1)令 hh kk1010kh 01 即xX y Y 1方程变为：dY X Y dX X Y，令YX 代入，得1 u 2du1 2u u 2dXX ，积分，得12u u2 CX 2，由 u YX 代回，得X通

11、解为：2y 1Cx2x其中 C 为任意常数）9.3 齐次方程内容要点：齐次方程的定义及求解公式， 可化为齐次方程的定义以及 解法本单元的讲课提纲齐次方程的判别和解法不算困难， 难在寻找相应的变量代 换的问题，变量代换法比较灵活，可多举一些各类型的例题， 让学生多见识一些变量代换，以便学生活跃思路，积累经验。 重点是齐次方程与变量代换法，难点是寻找变量代换。 作业：同步训练习题 一、齐次方程 定义 1：称能改写成形式： ddyx f yx 的微分方程为一阶齐次方程 dx x我们下面来看看齐次方程解的情形： 令u yx ，即 y ux，代入方程，得xdu dx u f ( u) x两边积分，解出

12、u ，再将 uxy 回代，即得通解。xu x ddux f (u) ，分离变量，得 dx解：原方程可化为 ddyxdxduu x udx1 u2 ，化简dudx1 u2x积分，得 u 1 u 2 c ，x将 u xy 回代，得通解为x22y x y c例 1】 求 (y x2 y2)dx xdy 0 的通解。2程，得x 1 xy ，令 u xy ，即 y ux ，代入方xXyY二、可化为齐次方程的方程a1x b1 y c1经 y 1Cx2 X kh 变换将行如 ddyx ax by c 方程化为齐次方程。 k dx例 4】 求 dy x y 1 的通解。dx x y 1解：令xXyYkh，则d

13、dXYX Y ( h k 1)Y ( h k 1)令 hh kk1010kh 01 即k1XY1方程变为：dY X Y dX X YYX 代入，得X1 u 2 du1 2u u 2dXX ，积分，得12u u2 CX 2，由 u YX 代回，得其中 C 为任意常数)通解为：29.4 一阶线性微分方程、内容要点：一阶线性微分方程的形式及求解公式， 伯努利方程的形式及解法 本单元的讲课提纲(1)讲线性非齐次的一阶方程的解法时，要交待变易常 数的想法并加强练习， 这对今后讲二阶线性方程和线性方程组 的常数变易法是有益的。(2)导出线性非齐次一阶方程的求通解公式以后，可顺 利导出满足条件 y(x0)

14、y0 的特解公式，还应指出两点：第一，当 P(x),Q(x), C 时，线性方程的解总可通过两次积分求得，第二，揭 示通解结构。重点是解线性非齐次方程的公式法与常数变易 法。难点是伯努利方程。关键是套求解公式或常数变易法及凑 微分或令 y1 n z 解伯努利方程。 二、教学要求和注意点1、知道解一阶线性微分方程的常数变易法，并掌握一阶 非齐次线性方程的通解公式。2、知道一阶非齐次线性方程的通解为对应的齐次方程的 通解和非齐次方程的一个特解之和3、齐次方程与线性齐次方程的作用一、 一阶线性微分方程 定义 1：称可转化为形式： ddxy P(x) y Q( x) (1)的方程为一阶线性 方程；若

15、Q(x) 0，则(1)式称为一阶线性齐次方程； Q(x) 0，(1) 式称为一阶线性非齐次方程。下面我们来看看方程( 1)的解的情形：先看齐次方程： ddyx P(x) y 0 (2) 显然是可分离变量方程。得 dyy P(x)dx ，两边积分，得 y ce(3)为一阶线性齐次方 程(2)的通解面我们求( 1)的解，由方程( 1)和( 2)形式的相似性，那它们的解也具有某种相似性。我们用一种常数变易法来 求(1)的解：假设 y c(x)e P(x)dx 为非齐次方程 (1)的解，代入方程， 得P(x)dx c (x)e 则 c(x)e Q(x) ， 积分，得 c(x) 则yP(x)c(x)eP

16、(x)dxP(x)dxP( x)dxP(x)c(x)e Q(x)P(x)dxc (x) e Q(x)P(x)dxQ(x)e dx CP(x) dxQ(x)e dxP(x)dxCe4)即为方程( 1)的通解。【例 1】求 y ytgx secx 的通解。解：由于 y ytgx secx 为一阶线性非齐次方程，且 P(x) tgx,Q 代入( 4)，得其通解为x) secx ，tgxdx tgxdxy secxe dx C e (x C)secx例 2 求 ddxy 2xyy2的通解。解： 若将 y 看成函数， x作为变量，此方程不是一阶线性方程 故将 x看成函数， y 作为变量，则原方程化为：2

17、ddyx 2x y2进一步化简，dydxdyy ，为一阶线性方程，P(y) 2,Q(y) y y代入( 4)，得方程的通解为二、 贝努力方程可化为一阶线性方程的方程y(Cln y) 。定义 2：称形如： dy P(x)y Q(x)yn 的方程为一阶贝努力方程 dx下面我们看看贝努力方程的解的情形：将方程变形为y n dy P(x)y1 n dxQ(x)，令 z y1 n ，则方程化为ddxz (1 n)P( x)zdx最后将 z y 【例 3】求(1 n)Q(x) ，为一阶线性方程，故可用上述方法求解，代回，即得通解解：将方程变形，得xy y y2ln x 0 的通解。y 2y 1x y 1

18、lnxx ，为贝努力方程。令 z xxdz 1zdx xlnxx ，利用( 4)，得xz ln x 1 Cx ，又 z y 1 ，所以 yln x cx 1为原方程的通解。 9.5 全微分方程 一、内容要点：全微分方程的定义及其条件，解的表达式常见的积分因 子。本单元的讲课提纲1、全微分方程的解法关键在于首先将方程写成P(x, y)dx Q(x, y)dy 0验证 P Q 如果成立，则可把上式写成 du Pdx Qdy 0解为U(x,y) C, yx求U(x, y)有下列三种方法：Q yx，即存在 U(x,y) 使得 dU (Pdx Qdy)1)线积分法2)偏积分法3)分组观察凑全微分法o 从

19、而2、若 P(x,y)dx Q(x,y)dy 0中 P Q ，则可以寻求一个积分因子(x,y) ，使得 y( P) x( Q)U (x, y) C 是通解。二、教学要求和注意点 判断和求解全微分方程的方法； 寻找积分因子的分组观察 法；定义 1 ：如果存在可微函数u(x,y) ，使 du P(x,y)dx Q(x,y)dyQ(x, y)dy 0微全微分方程。Qdy 0 为全微分方程，则称P(x, y)dx命题：1) PdxQPxyPdx Qdy 0 的 通 解 为 u(x, y) C ，2)P(x, y0)dx其中xx0例 1】求 xydxu(x,y)yy0Q(x, y)dy 。(x22 1y

20、)dy 0的通解。解：令 P xy, Q x2 y1 ，由于 QP ，故方程为全微分方程 yy x 2 1xdx 1 (x2 1y)dy、可化为全微分方程的方程积分因子所以 u( x, y) x P(x, y0)dx y Q(x, y)dyx 0y02x22y ln y C定义 2：设 Pdx Qdy 0不是全微分方程， 如果存在可微函数 u(x,y)使 uPdx uQdy 0为全微分方程，则称 u(x, y)为原方程的积分因子。 注：积分因子不唯一，而且一般也没有什么固定的方法求解积 分因子，故只有多积累才能有效的解题。【例 2】(1) xdy ydx 0 ； (2) xdx ydy (x2

21、 y 2)x2dx 0 解：(1) (xdyydx) 120 1dyy2 dx0 d y0 yc2)x xx x xdx 0xdx ydy (x2 y2)x2dx 2 1 2 0xdx2 yd2yx y x y12ln(x22 1 3 y2) 3 x31 2 2 1 3d12ln(x2 y2) d(31 x3) 09.6 可降阶的高阶微分方程一、内容要点：可降阶的高阶微分方程的三种类型：y(n) f(x), F(x,y,y ) 0,F(y,y,y ) 0 ，找出解的表达式及解法。本单元的讲课提纲：1、关于高阶微分方程的解法 求解的思路是通过变量代换把高阶方程的求解化为较低 阶方程求解，教材介绍

22、了三种可降阶方程的类型，对于不属于 这三类方程的特殊高阶方程有时也能通过换元或者全微分等 手段变成这三种类型进行求解。2、 y(n) f (x)只需逐步积分即可求解， 在求积分过程中每次都需增加一 个常数，最后的解应包含 n 个常数。3、可降阶的二阶微分方程通常的二阶微分方程为 F(y,y,y ) 0，有四个变数，仅当缺少 x或y 时一定可以降阶求解。二、教学要求和注意点解方程 y f(y,y)中令y p ddyp的作用， y p ddpy的导出过程 说明 1：求解全微分方程可暂不引入偏导数概念，对 x 求导时 把 y 看成常数即可， 对积分因子只须介绍用目测可以解 决的简单情形； 对于全微分

23、的原函数概念可在格林公式以后介绍。说明 2：高阶线性微分方程的应用背景非常广泛，要针对不同 的专业选择不同的问题引入课题，这样能使学生对微 分方程的学习产生兴趣。定义 1：称二阶及二阶以上的微分方程为高阶微分方程。一、 y(n) f(x) 连续积分 n 次即得其通解。【例 1】 y ex连续积分两次，得， y ex c1 x c2二、 y f(x,y ) 跟标准形式相比，缺少 y。令 p y ，则 p y ，则 p f (x, p) ，设其通解为 p (x,c)则 y (x,c) ，两边积分即得通解。【例 2】求 y y x2的通解。解：令令 p y ，则 p y ，则 p p x2 (一阶线

24、性方程)利用( 4)，得通解： p x2 2x 2 c1e x又 p y ，所以通解 y 13x3 x2 2x c1e x c23三、 y f(y,y )缺少 x令 p y ，则 ydy dy dy dxpddpy ，代入，得 p ddyp dy dyf ( y, p)设其通解为 p ( y,c) ，则 y(y,c) ，即dy dx ，积分即得(y,c)例 3】 y 2y3， y(0) y (0) 1 求特解。解：令 p y ，则 y p dp ，从而 p dp 2y3， pdp 2 y3dy dy dy积分，得 21 p2 12 y4 c21由 y(0) y (0) 1 ，得 c1 0所以由

25、 y (0) 1知 p y 2dydx所以c2 由 y(0) 1知 c21y1x例5】求 y 1 (y )2 的通解解：此题既缺少 x ，又缺少 y 能算出结果，但可能难度有差别。从理论上，按以上两种方法都此题课堂上当场做，检查学生的能力。9.7 高阶线性微分方程一、内容要点：二阶线性微分方程的解的结构，高阶线性微分方程的解的 结构，常数变易法，函数组线性无关的充分必要条件。 本单元的教学提纲1、关于二阶线性微分方程的解的结构 齐次线性方程和非齐次线性方程都有解的可加性。非齐次线性方程的通解可表示为一个特解与相应齐次 线性方程的通解之和。线性方程的通解包括了该方程的所有解。2、关于二阶线性方程

26、只须知道齐次方程的一个特解，则 利用常数变易法可求出它的全部解。3、对于二阶非齐次线性方程而言，若相应的二阶齐次线 性方程的通解为 C1y1(x) C2 y2(x)，也可用常数变易法找出其特解。 本单元的作业： 二、教学要求和注意点二阶线性齐次方程中，通解中所含特解的线性无关性一、 函数的线性相关与线性无关定义 1：设 y1(x),y2(x), ,yn(x)是定义在区间 I 上的函数，如果存在不 全为零的数 k1,k2, kn ，使得k1y1 k2y2 knyn 0则称 y1( x), y2(x), ,yn(x)在区间 I 上线性相关。否则， 称 y1( x), y2( x), , yn(x)

27、在区间 I 上线性无关。命题 1：设 y1(x),y2(x)是定义在 I 上的函数，则 y1(x),y2(x)线性无关 yy1(xx) y2(x) 不恒为常数。注 1: 若 y1(x), y2(x) 线性无关，则 k1y1(x) k2y2(x) 无法合并成 ky(x) ，但当 y1(x), y2( x)线性相关可以合并。二、 二阶线性微分方程及其解的结构定义 2：称形如： y P(x)y Q(x)y f ( x)的方程为二阶线性非齐次方 程。若 f(x) 0 ，则方程为齐次的，若 f (x) 0 ，则称方程为非齐次 的。定理 1：设 y1(x),y2(x)是 y P(x)y Q(x)y 0 的

28、两个线性无关的解，则 c1y1(x) c2y2(x) 为方程的通解。定理 2：设 y 是 y P(x)y Q(x)y f ( x)的特解。 c1y1(x) c2y2(x)是对应的齐 次方程的通解，则y y c1y1(x) c2y2(x)是 y P(x)y Q(x)y f ( x)的通解。定理 3：设 y1?，y2?分别是 y P(x)y Q(x)y f1(x)与 y P(x)y Q(x)y f2(x)，则 y1? y2 是的解。【例 1】设 的解，求该方程的通解。x2 xx xy1xe e , y2xe e , y3 xee2x e x是某二阶线性非齐次方程解：Y1所以，y1 y2 ， Y2

29、y1 y32x，又 YY12 e2xxe2 xxee不恒为常数Y1,Y2线性无关。故通解为x 2x x x y c1ec2 (ee ) xee2xy P( x) y Q(x) y f1(x) f2(x)9.8 常系数齐次线性微分方程 内容要点：二阶常系数齐次线性方程的定义， 特征方程、 通解、n 阶常 系数齐次线性方程的定义，特征方程、通解。 本单元的讲课提纲高阶微分方程一般都很难求得通解， 只有常系数线性微分 方程的解法已经完全解决，一般形式可写成 y(n) p1y(n 1)pny 0其中 p1, pn是常数，由于假设 y erx 为它的解，经求导代入方程消 去erx后得到的相应的特征方程n

30、 n 1r p1rpn 0这是 n 次方程，它一定有 n 个根 r1, ,rn，其中 ri 可以是 k 重实根， 也可以是 k 重共轭复根 i ，每一个 ri 都对应齐次方程的一个特 解，共得到 n 个线性无关的特解， 利用线性微分方程解的结构， 可构成 n 个任意常数的通解。本单元的作业：说明 1： 把求解常系数线性齐次微分方程的问题化成求解多项 式代数方程的问题，这不仅仅是一种普通的求方程解的技巧， 在线性控制系统中系统和不同的环节都可以用常系数线性微 分方程来描述， 用拉普拉斯变换导出它的传递函数也是一个多 项式代数方程， 这说明常系数线性齐次微分方程和多项式代数 方程之间有着本质上的联

31、系。通过对多项式代数方程的分析， 可以得到控制系统的特性。说明 2：用特征方程求解常系数线性齐次微分方程要求熟练一、 二阶常系数线性齐次方程的解二、 定义 :称形如 y py qy 0 (1), 其中 p, q为常数的方程为二阶 常系数线性齐次方程 .下面我们来讨论其解的结构 .命题 1: erx 是 y py qy 0的解 r 是r2 pr q 0的解, 并称 r2 pr q 0(2) 是(1) 的特征方程 .(i) 当特征方程 (2) 有两个不同的实根 r1,r2时, 则 y1 er1x, y2 er2x时方程(1) 的两个解 , 且 y1 不恒为常数 , 从而方程 (1) 的通解为 y2

32、r1xr2 xyc1e1c2e 2(ii) 当 r1 r2 r 时, 则 y1 er1x是(1) 的一个解 . 现在求另一个线性无关 的解 y2. 设 eyr2x u(x), 代入 (1) 得erxu (2r p)u (r2 pr q) 0 , 2r p 0,r 2 pr q 0所以 u 0则 u(x) c1 c2x 取 u(x) x, 则 y2 xerx通解为:rx rx yc1ec2xe(iii)当r1,2i, 则 y1 er1x, y2 er2x, 应用欧拉公式 , 得y1 e x (cos x isin x) , y2 e x(cos x isin x)构造 Y11(y1 y2) e

33、xcos xY2 1 (y1 y2) e xcos x2 2i显然 Y1, Y2线性无关 ,故通解为 : y e x(c1cosc2 sin x)例 1 求通解 (1) y 2y y 0 (2) y 2y3 0 (3) y y 0解: (1) 特征方程为 r 22r 1 0 则 r1从而通解为xy c1ec2xe(2) 特征方程为 r 2 2r3 0 则 r1 3,r2 1从而通解为3x x y c1ec2e(3) 特征方程为 r 2 1 0则 r1,2 i从而通解为 y c1 cosx c2 sin x.n 阶常系数线性齐次方程y(n) a1y(n 1)an 1y any 0 (1)特征方程为 rn a1r n 1an 1r an 0 (2)(i)(ii)(iii)当 (2) 中 有 一 对 单 复 根 时 , r1,2 e x(c1 cos x c2 sin x)i ,(1) 的 通 解中含:当(2)中有单根时 ,(1)的通解中含 :cerx ;当(2)中有 k重根时 ,(1)的通解中含 : (c1 c2xckxk 1)erx(iv)(c1 c2xck x1 rx)ecos x +(c1 c2xck xk 1)erx sin x例 2 求 y(4) 2y2y0通解.解 : 特征