初三数学《几何的动点问题》专题练习及答案

1、动点问题专题训练 1、如图，已知 ABC中，AB AC 10厘米，BC 8厘米，点D为AB的中点. (1) 如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q 在线段CA上由C点向A点运动. 若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后， BPD与 CQP是否全等，请说明理由； 若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点 Q的运动速度 为多少时，能够使 BPD与厶CQP全等？ (2) 若点Q以中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度 从点B同时出发，都逆时针沿 ABC三边运动，求经过多长时间点P 与点Q第一次在 ABC的哪条边上相遇？ 3 2、直线y -x 6与坐标轴

2、分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发, 4 同时到达A点，运动停止.点Q沿线段OA运动，速度为 每秒1个单位长度，点P沿路线O - B - A运动. (1) 直接写出A、B两点的坐标； (2) 设点Q的运动时间为t秒， OPQ的面积为S，求出 与t之间的函数关系式； 48 (3) 当S 48时，求出点P的坐标，并直接写出以点 5 0、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点 M的坐标. 3如图，在平面直角坐标系中，直线I: y= 2x 8分别与x轴，y轴相交于A, B两点，点P(0，k)是y轴的负半轴上的一个动点，以 P为圆心，3为半 径作O P. (1) 连结PA,若PA=PB，试判断O

3、 P与x轴的位置关系，并说明理由; 当k为何值时，以O P与直线I的两个交点和圆心P为顶点的三角形 是正三角形? 希用图 4如图1,在平面直角坐标系中，点 0是坐标原点，四边形 ABCO是菱形，点 A的坐标为(一3， 4)， 点C在x轴的正半轴上，直线 AC交y轴于点M， AB边交y轴于点H . (1) 求直线AC的解析式； (2) 连接BM，如图2,动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单 位/秒的速度向终点 C匀速运动，设 PMB的面积为S (SM 0)，点P的运动 时间为t秒，求S与t之间的函数关系式(要求写出自变量 t的取值范围)； (3) 在(2)的条件下，当t为何值时，/ MPB

4、与/BCO互为余角，并求 此时直线0P与直线AC所夹锐角的正切值. 5在Rt ABC中，/ C=90 AC = 3, AB = 5.点P从点C出发沿CA以每秒1 个单位长的速度向点 A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿 AC返回； R 图16 点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点 B匀速运动.伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分 PQ,且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E.点 P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P 也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒(t 0). (1) 当t = 2时，AP =，点Q到AC的距 离是; (2) 在点P从C向A运动的过程中，求

5、APQ 的面积S与 t的函数关系式；(不必写出t的取值范围) 在点E从B向C运动的过程中，四边形 QBED能否成 为直角梯形？若能，求t的值.若不能，请说明理由； (4) 当DE经过点C时，请直接写出t的值. B B (备用图) 6 如图，在 RtAABC 中， ACB 90 B 60 BC 2 .点 O是 AC的中点，过点O的直线I从与AC重合的位置开始，绕点O作逆 时针旋转，交AB边于点D .过点C作CE / AB交直线I于点E，设 直线I的旋转角为. (1) 当 度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD 的长为； 当 度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD 的长为； (2) 当90时，

6、判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由. 7 如图，在梯形 ABCD 中，AD / BC, AD 3, DC 5, AB 4、2,上 B 45 .动 点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同 C 时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终 点D运动.设运动的时间为t秒. （1）求BC的长. （2）当MN / AB时，求t的值. （3）试探究：t为何值时， MNC为等腰三角形. 8如图1,在等腰梯形ABCD中，AD / BC，E是AB的中点，过点E作EF / BC 交 CD 于点 F . AB 4, BC 6，/ B 60 . （1）求点E到BC的距离；

7、（2）点P为线段EF上的一个动点，过 P作PM EF交BC于点M，过M作 MN / AB交折线ADC于点N，连结PN，设EP x. 当点N在线段AD上时（如图2）, PMN的形状是否发生改变？若不变，求 出厶PMN的周长；若改变，请说明理由； 当点N在线段DC上时（如图3）,是否存在点P，使 PMN为等腰三角形？ 若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由. 图5 （备用） 图4 （备用） 9如图，正方形 ABCD中，点A B的坐标分别为（0, 10）, （8, 4）,点C在 第一象限.动点P在正方形ABCD勺边上，从点A出发沿A-B-C-D匀速 运动，同时动点Q以相同速度在x轴

8、正半轴上运动，当P点到达D点时， 两点同时停止运动，设运动的时间为 t秒. （1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x （长度单位）关于运动时间t （秒）的函数图象如图所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速 度； （2）求正方形边长及顶点C的坐标； 在（1）中当t为何值时， OPC的面积最大，并求此时P点的坐标; 如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A-B-C-D匀速运动时，OP与 10数学课上，张老师出示了问题：如图 1,四边形ABCD是正方形，点E 是边BC的中点.AEF 90。,且EF交正方形外角 DCG的平行线CF于点F , 求证：AE=EF . 经过思考，小明展示了一种正确的

9、解题思路：取 AB的中点M，连接ME , 则 AM=EC，易证 AMEECF，所以 AE EF . 在此基础上，同学们作了进一步的研究： （1）小颖提出：如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边 BC上（除B, C夕卜）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“ AE = EF”仍然 成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请 说明理由； （2）小华提出：如图3,点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点, 其他条件不变，结论“ AE=EF”仍然成立.你认为小华的观点正确吗？如果正 确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由. 图1图2图3 12问题解决 如图（1

10、）,将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边 上一点E （不与点C，D重合），压平后得到折痕MN .当 1时，求型的值. CD 2BN 11已知一个直角三角形纸片OAB，其中 AOB 90 OA 2, OB 4 .如图， 将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边 AB父于点D . (I)若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标; (U)若折叠后点B落在边OA上的点为B，设OB x， OC y，试写出y关 于x的函数解析式，并确定y的取值范围; (川)若折叠后点B落在边OA上的点为B，且使B D / OB，求此时点C的坐 标. 就y O A 方法指导： 为了求得 如

11、的值，可先求BN、AM的长，不妨设： AB =2 BN 图（1） 类比归纳 值等于 在图（1）中，若些 CD CE ；若一 CD 1，则处的值等于 3 BN 1AM 1 （n为整数），则削 nBN 社CE ；若 CD 的值等于 -，则如的 4 BN .（用含 n的式子表示） 联系拓广 如图（2），将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上 AB 重合），压平后得到折痕MN,设竺 BC 点E （不与点C，D 1，则刎的值等 n BN CE 1 ?CD D E C .（用含m, n的式子表示） 1解 弹：（1 ：t 1秒， BP CQ 3 13厘米， AB 10厘米， 点D为AB的中点, BD 5

12、厘米. 又 PC BC BP, BC 8厘米， PC 8 3 5厘米， PC BD . 又 / AB AC , B C , BPD CQP . (4 分) Vp Vq ,BP CQ , 又 BPD CQP , B C，则 BP PC 4, CQ BD 5 , BP 4 点P，点Q运动的时间t B匚-秒， 33 CQ 515 VQ厘米/秒. (7 分) t 44 3 (2)设经过x秒后点P与点Q第一次相遇， 15 由题意，得x 3x 2 10, 4 解得x 80秒. 3 点P共运动了 80 2 28 80 380厘米. 3 24 , 点P、点Q在AB边上相遇, 经过 秒点P与点Q第一次在边 AB

13、上相遇. (12分) 3 2解(1) A (8, 0) B (0, 6) 1 分 (2) QOA 8, OB 6 AB 10 8 Q点Q由O到A的时间是8 （秒） 1 6 10 点P的速度是2 （单位/秒） 1分 8 当P在线段OB上运动（或0 t 3）时，OQ t, OP 2t S t2 当P在线段BA上运动（或3 t 8）时，OQ t, AP 6 10 2t 16 2t, 如图，作PD OA 于点 D ,由 PD AP，得 pd 48 6t , BO AB5 1分 C1 3 2 24 SOQ PDt2 t 1分 2 5 5 （自变量取值范围写对给 1 分，否则不给分.） 1分 (3) P

14、8 24 5 5 8 24 12 24 12 24 1，一 , M 2 ,M 3 , 1552 5 5 3 5 5 3解：（1 ）0 P与x轴相切. 直线y= 2x 8与x轴交于A （4, 0）, 与y轴交于B （0, 8）, / OA=4, OB=8. 由题意，OP= k, PB = PA=8+k. 在 Rt AOP 中，k2+42=(8+k)2, k= 3,. OP等于O P的半径, O P与x轴相切. （2）设0 P与直线I交于C, D两点，连结PC, PD当圆心P 在线段 OB上时，作PE丄CD于E. PCD为正三角形, 1 3 DE = - CD = 3 , PD=3, 2 2 PE

15、芜. / AOB = Z PEB=90 , / ABO = Z PBE, AO AB PE PB 3 3 4_2- ，即= 4,5 PB 3.15 2 PO BO PB 83d5 , 2 p(o,3dl 2 315 k 2 8), 8. 当圆心P在线段OB延长线上时，同理可得P（0, 注 一8）, 2 k= 8, 2 .当k=3 15 8或k= 3 15 8时，以O P与直线I的两个交点和圆心 2 2 角形是正三角形. P为顶点的三 2出(1)过点丸作AElxW垂足为E(如图1) -.(-3,4) .AE=4 0E=3 二OAME杯曲=5 .阿边ABCO 菱形,-.OC=CB=f5A=OA=5

16、 C(5,fl) 4. 5k+b=0 -3k+b=4 设直红AC的祁析式为ty=kx+b | 二玄线AC的解折式为:寸 (2) 由得M虫塑幅为(討 切碣 如图I,当P点在AB边上运动时 AStH 0H=4 二HM弓 1-) * 2 分 当P点在BC边上运动时fgPt 7iOCM=iBCM CO=CB CM=CM .AOMCABMC ?,OMBM=- MOOZMBCT 沽=p血酬卜丰$丰1-务冷5) 22Z 242 (3) 谡OP与Af相交于点Q连接0B交AC于点K vZ.AOC=ABC也A0张上ABM .rMPB+BC0=90 BAO=ABCO BAO+AOH=9(r .MPB=AO(l /Z

17、MPB=MBH 坤P点tAB边上运M,M2 ，Z.MPB=MBII /.PM=BM .nHB=2 ?.PA=AH-PH=1 vABOC .MPAQMOCQ ：AQ比CQO aAAQPACQO 嘴弋訂亍 在 RiAAEC 中 AOVAEJ+ECJ 二何卩=4vT 吨攀心晋T 在RlAOHB中0抚JHREH产二匹茁-2VT vAClOB OK=KB AK=CK rOK=vT AK=KC=2VT rQK=AK-AQ= .rqk 4 出P点在BC边上运动时*如国3 . ZBHM=APBM=yOa MPB=ZMBH MH 丄 PH ,t= 1分 2 .AQ_P_1 3MPB司讹MBH .黑=H|_ Br

18、 Up g卑h孕1分 jb /.PC=BC-BP=5-|- 由 FC/?OA 詞理可kEAPQCAOQA 1 3 工辽 BP 2 伽Z_OQC=m壬1分 . 7 HB 0 X .ce_ct AQ AO .黒Q)=J-AtvT .-.QKxKC-COVT Ay J*T .OK=VT .tanOQ1t-=l 畋J 竦上所也当i=；时上mph Mbco互为余角.直址op与直线ac所夹税角的正切Si为+ 当匸务时上MPU与RCO互为余角，直线0JJ与宜践AC所夹蜕鮒正切值为1 0 +*+* 8 5解：(1) 1, 5 (2)作 QF丄AC 于点 F，如图 3, AQ = CP= t,. AP 3 t.

19、 由厶 AQFs ABC, BC 52 32 4 , 得QF 4 5 . QF 5t 14 2(3 t) 5t， 6t. 5 (3)能. 当DE / QB时，如图4. / DE 丄 PQ,. PQ丄 QB , 此时/ AQP=90 四边形QBED是直角梯形. 图4 B 由厶 APQ ABC , 得AQ AC AP AB， 即1 3 如图5，当PQ / BC时，DE丄BC,四边形 QBED是直角梯形. 此时/ APQ =90 . 由厶 AQP ABC , 得 AB AP AC， 图5 -或 t 45 . 214 由C向A运动，DE经过点C . 连接QC,作QG丄BC于点G,如图6. 点 PC t

20、 , QC2 QG2 CG2 3242 -(5t)24-(5t)2. 55 由 PC2 QC2，得 t23(5 5 点P由A向C运动，DE 4 (6 t) (5 t)4(5 55 2_3 t)2 4 -(5 t)2，解得 5 C,如图7. 经过点 t 45】 14 6.解（1） 30, 1 : 60, a =900时，四边形EDBCl菱形. (2)当/ T/a CE/ 1.5 ; =Z ACB=90,. B(2Z ED AB 四边形EDB（是平行四边形. 在 Rt ABC中，/ ACB900,/ B=60, BO2, / A=300. AB=4, AC=2 芍3 . AO AC =3 . 2

21、t 在 Rt AOD中，/ A=30,a AD=2. BD=2. BD=BC 又四边形 EDB（是平行四边形， 四边形EDBC是菱形 10分 7.解：（1）如图，过A、D分别作AK BC于K , DH BC于H，则四边形ADHK 是矩形 - KH AD 3. 1 分 J2 在 Rt ABK 中，AK ABgsin 45 4 2： 4 BK ABgcos45 7 17 在Rt ACDH中，由勾股定理得， HC .52 42 3 （图） BC BK KH HC 4 3 3 10 3分 （图） (2)如图，过 D作DG / AB交BC于G点，则四边形 ADGB是平行四边形 / MN / AB MN

22、/ DG BG AD 3 GC 10 3 7 4分 由题意知，当 M、N运动到t秒时，CN t, CM 10 2t. / DG / MN :丄 NMC / DGC 又/C / C MNCGDC CN CM CD CG 10 2t 解得, t 50 MC时，如图，即t 10 2t （图） （图） （3） 当 分三种情况讨论: NC 10 当MN NC时，如图，过 N作NE 解法一： MC于E 由等腰三角形三线合一性质得 EC 在 RtCEN 中，cose 又在Rt DHC中, EC 5 NC CH 1 -MC 2 t 1 -10 2t 5 t 2 解得t 3 5 25 cose CD 解法二：

23、/ C NEC DHC NC EC / C, DHC NEC 90 DC 即- 5 HC 5 t 3 25 11 MN MC时，如图，过 M作MF CN于F点 FC 1 NC 丄t 22 解法一： （方法冋中解法一 ) FC弓 3 cosC MC 10 2t 5 解得t 60 17 解法二： / C / C, MFC 当 DHC 90 MFC DHC H M （图） DC 10 2t 5 FC MC HC 1t 即 3 t 60 17 10 t 、t 3 8解（1）如图1，过点E作EG / E为AB的中点， 1 BE AB 2. 2 在 RtA EBG 中，/ B 1 BG BE 1, EG

24、2 综上所述，当 60 2560 或t时， MNC为等腰二角形 817 BC于点G. ，二 / BEG 30 . 22 12、3. 即点E到BC的距离为,3. C EF,PM / PMN的形状不发生改变. EG. (2)当点N在线段AD上运动时, PM EF, EG EF / BC,. EP GM , PM EG 同理 MN AB 4. 如图2,过点P作PH / NMC / B PH 则NH 60 PM gsos30 MN MH 在 RtA PNH 中，PN PMN的周长=PM MN 于 H，: MN / AB, / PMH 30 . 3 2. 35 2 2 、NH2 PH2 PN MN .3

25、 .7 4. C 图2 当点N在线段DC上运动时， PMN的形状发生改变，但 MNC恒为等边三角 形. 当PM PN时，如图3，作PR MN于R，则MR NR. 3 类似，MR -. 2 MN 2MR 3. 分 / MNC是等边三角形， MC MN 3. 此时，x EP GM BC BG MC 6 1 3 2. 8 分 图3 G M 图5 G M 当MP MN时，如图 这时MC MN MP /3. 此时, x EP GM 1 、_3 / NPM 则/ PMN 120，又/ MNC 60 :丄 PNM / MNC 因此点P与F重合， MC 此时，x 当NP NM时，如图 5, 综上所述, / P

26、MN 30 . PM gan30 EP GM 180 . PMC为直角三角形. 1 6 114. 2或4或5. 3时， PMN为等腰三角形. 10分 9 解：(1) Q 点P运动速度每秒钟 (2) 过点B作BF丄y轴于点F AF 10 4 6 . (1, 0) 1个单位长度. ,BE丄x轴于点E，贝U BF = 8, OF BE 4 . 在 Rt AFB 中，AB ,8262 10 过点C作CG丄x轴于点G，与 ABC 90 , AB BC ABFBCH . FB的延长线交于点 H . BH AF 6, CH BF 8 . - OG FH 8 6 14,CG 8 4 12 . 所求 C点的坐标

27、为(14, 12) 4分 (3) 过点P作PM丄y轴于点 M， PN丄x轴于点 N， 则厶 APMABF . AP AM MP t AM MP AB AF BF . 10 6 8 AM 3 t， 4 PMt . PN OM 10 3t, ON 4 PMt 5 5 5 5 设厶OPQ的面积为 S (平方单位) 13 s 1(10 5t)(1 473 X2 t) 5 t t 10 10 说明：未注明自变量的取值范围不扣分. 47 a 0t叫厂 10 2(?) 10 47时， OPQ的面积最大. 6 6分 此时p的坐标为(15，io)7分 (4)当t 5或t 295时，OP与PQ相等. 证明：在 A

28、B上取一点M，使AM EC ,连接ME . （2 分） BM 1 BE.BME 45 AME 135 . QCF是外角平分线， DCF 45 ECF 135 . AME ECF . Q AEB BAE 90。, AEB CEF 90 , BAE CEF . 10解：(1)正确.(1分) （5分） （6分） D AME BCF （ASA ）. AE EF . （2）正确. （7分） 证明：在BA的延长线上取一点 N . 使AN CE ,连接NE . （8分） BN BE . N PCE 45 . Q四边形ABCD是正方形， AD II BE . DAE BEA. NAE CEF. ANEECF

29、（ASA ）. （10 分） AE EF .（11 分） 11.解(I)如图，折叠后点 B与点A重合， 则厶 ACD BCD. 设点C的坐标为0, m m 0 . 则 BC OB OC 4 m. 于是 AC BC 4 m. 在Rt AOC中，由勾股定理，得 AC2 OC2 OA2, 2223 即4 m m 2 ,解得m 2 3 点C的坐标为 0, . 4分 2 (n)如图，折叠后点 B落在OA边上的点为B , 则厶BCDBCD. 由题设OB x, OC y, 则 BC BC OB OC 4 y, 在Rt BOC中，由勾股定理， 得 BC2 OC2 OB 2. 2 2 2 4 yy x , 即 y1 x22 8 分 由点B在边OA上，有0 x 2 , 1 2 解析式y x 2 0 x 2为所求. 8 Q当0 x 2时，y随x的增大