常微分方程课后答案第三版王高雄

1、常微分方程课后答案王高雄（ 第三版 ）习题 3.4（一 ）、解下列方程，并求奇解（如果存在的话）41、 y 2xdy x2 dydx dx解：令 dy p，则 y 2xp x2 p4， dx两边对 x 求导，得p 2p 2xdp 2xp4 dx4x p2 3 dp dx从 1 2xp3 0 得 p从 2x dp p 0 得 xdx经检验得12p334p32、 x y2 dy dx解：令 ddyxp，yx两边对x 求导，得解之得x 2p ln p所以 y1 2xp3 2x dp p dx0 时， x121p3,y34p22p p2 ln pc2,y2p，dpdx2cp2c，0 为参数， c是方程

2、奇解 .1 2p dp dxp 1 ，2p ，1 2 c，1 2 c，且 y=x+1 也是方程的解，但不是奇解0 为任意常数 .3、dy y x dxdy dx解：这是克莱洛方程，因此它的通解为cx 1 c2 ，y cx 1 c2从 c 中消去 c,x01 c2得到奇解 y 1 x2 .24、 dy 2 xdy y 0dx dx解：这是克莱洛方程，因此它的通解为2cx c ，从 y cxx 2c中消去 c,得到奇解4y0.5、 ddxy 2 dx解：令 dydx两边对2xddyx yp ，则 y 2xp2p2x 求导，得 pdxdp2p 2xdp 2pdp dx dx2 x 2，p解之得23p

3、22cp 2 ，113p可知此方程没有奇解 .所以 y1cp ，解： 原方程可化为 yxdydx326、 x ddyx y ddxy 1 01，dydx这是克莱罗方程，因此其通解为 y cx 12 ， c2y cx 1从 y cx c2 中消去 c，得奇解 27x2 4y3 0. x 2c 3 027、y x 1 dy dy dx dx解：令 dy p，则 y x1 dx2p2，ce p 2p 2 ，所以 y c p 1e p2p22，两边对 x 求导，得可知此方程没有奇解8、2 dy x dx解：dydx2xaxdydxxadyaax dx3122 x2 2ax 239y22c 4x x 3

4、a9、1313p3，2 dp p2 dp dx dx可知此方程没有奇解3 dy 1 dy y 2x dx 3 dx 解：令 dy p ，则 y 2x dx两边对 x 求导，得dp p 2dx 1 p22解之得 x p 2 3ln p 2 c ， 2所以 y 1 p3 p2 3p 4 6ln p 2 c ，3且 y 2x 32也是方程的解，但不是方程的奇解 . 3210、 dyx 1 dy y 0dx dx2解： y xdy dy dy dx dx dx这是克莱罗方程，因此方程的通解为 y cx c c2从 y cx c c 中消去 c, x 1 2c得方程的奇解 x 1 2 4y 0. （二）

5、求下列曲线族的包络 .1、 y cx c2解:对 c 求导，得x+2c=0,x c 2,代入原方程得，x2y2x2x 2 ，44 ，经检验得， y2x 是原方程的包络 .42、 c2 y cx2 1 0解：对 c 求导，得22yc x20,c 2x2y ，代入原方程得x4x44y2 y 2y1 0，即 x 4 4y 0，经检验得 x 4 4y 0 是原方程的包络3、 x c 2 y c 2 4c x2 y解：对 c 求导，得 2(x-c)-2(y-c)=0, 代入原方程得 x y 2 8.经检验 ,得 x y 2 8 是原方程的包络 .4、 x c 2 y2 4c 解：对 c 求导，得 -2(

6、x-c)=4, c=x+2,代入原方程得 4 y2 4 x 2 ， y2 4 x 1 , 经检验，得 y 2 4 x 1 是原方程的包络 .(三 ) 求一曲线，使它上面的每一点的切线截割坐标轴使两截距 之和等于常数 c.解：设所求曲线方程为 y=y(x), 以 X、Y 表坐标系，则曲线上任 一点( x,y(x) )的切线方程为 Y y x y x X x ， 它与 X 轴、Y 轴的截距分别为 X x y ，Y y xy ，y按条件有 x y y xy a ，化简得 y yxyay ，1 y ，这是克莱洛方程，它的通解为一族直线accx ，1cacy cx它的包络是 1 c ，a ac0 x 21 c 1 c 2消去 c 后得我们所求的曲线 4ax x y(四 ) 试证：就克莱洛方程来说， p-判别曲线和方程通解的 c-判别 曲线同样是方程通解的包络，从而为方程的奇解 . 证：克莱洛方程 y=xp+f(p) 的 p-判别曲线就是用 p- 消去法，从 y cx f c 中消去 p 后而得的曲线；0 x f