第十三章13.1第1课时

1、第1课时坐标系 13.1坐标系与参数方程 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1.平面直角坐标系平面直角坐标系 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换： 的作用下，点P(x，y)对应到点P(x，y)，称为平面直角坐标系中 的坐标伸缩变换，简称伸缩变换. 知识梳理 2.极坐标系极坐标系 (1)极坐标与极坐标系的概念 在平面内取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时 确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时 针方向)，这样就建立了一个极坐标系.点O称为极点，射线Ox称为极轴. 平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度和从射线Ox到射线OM的

2、 角度来刻画(如图所示).这两个数组成的有序数对(，)称为点M的极坐 标.称为点M的 ，称为点M的 .一般认为0.当极角的取值范 围是0,2)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(，)(0)建立一一 对应的关系.我们设定，极点的极坐标中，极径0，极角可取任意角. 极径极角 (2)极坐标与直角坐标的互化 设M为平面内的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为 (，).由图可知下面关系式成立： 或 这就是极坐标与直角坐标的互化公式. 曲线图形极坐标方程 圆心在极点，半径为r的圆_ 圆心为(r,0)，半径为r的圆 圆心为 ，半径为r的圆_ 3.常见曲线的极坐标方程常见曲线的极坐标方程 2rsin (

3、0) r(02) 过极点，倾斜角为的直线 (R) 或 (R) 过点(a,0)，与极轴垂直的直线 过点 ，与极轴平行的直线_ sin a(00). 设圆的圆心为O，ya与x2(y2)24的两交点A，B与O构成等边 三角形，如图所示. 由对称性知OOB30，ODa. 123456 又B在x2y24y0上， 题型分类深度剖析 1.(2019北京改编)在极坐标系中，已知曲线C1：cos sin 10， C2：2cos . (1)求曲线C1，C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状； 解答 题型一极坐标与直角坐标的互化自主演练自主演练 由C2：2cos ，得22cos ， x2y22x，即(x1)2y21

4、. C2是圆心为(1,0)，半径为1的圆. (2)若曲线C1，C2交于A，B两点，求两交点间的距离. 解答 直线C1过圆C2的圆心. 因此两交点A，B的连线是圆C2的直径. 两交点A，B间的距离|AB|2r2. 解答 2.(1)以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 求线段y1x(0 x1)的极坐标方程. y1x化成极坐标方程为cos sin 1， 解解xcos ，ysin ，由sin2cos ， 得2sin2cos ， 曲线C1的直角坐标方程为y2x. 由sin 1，得曲线C2的直角坐标方程为y1. 故曲线C1与曲线C2交点的直角坐标为(1,1). (2)在极坐标系中，曲

5、线C1和C2的方程分别为sin2cos 和sin 1.以 极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐 标系，求曲线C1和C2交点的直角坐标. 解答 (1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：极点与原点重合；极轴与x 轴的正半轴重合；取相同的单位长度. (2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式xcos 及y sin 直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对 困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如cos ，sin ，2的形 式，进行整体代换. 思维升华思维升华 典例典例 将圆x2y21上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍， 得到曲线C. (1

6、)求曲线C的标准方程； 题型二求曲线的极坐标方程师生共研师生共研 解答 (2)设直线l：2xy20与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴 正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与直线l垂直的直线 的极坐标方程. 解答 化为极坐标方程，并整理得2cos 4sin 3， 求曲线的极坐标方程的步骤 (1)建立适当的极坐标系，设P(，)是曲线上任意一点. (2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径和极角 之间的关系式. (3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程. 思维升华思维升华 解答 解解2x2y2，xcos ，ysin ， 圆C的直角坐标方程为x2

7、y22x2y0， 22cos 2sin 0， 消去t后得yx1， (2)已知射线OM与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ 的长. 解答 解解设点P的极坐标为(，)(0)，点M的极坐标为(1，)(10).由题意 知|OP|，|OM|1 由|OM|OP|16，得C2的极坐标方程4cos (0). 因此C2的直角坐标方程为(x2)2y24(x0). 题型三极坐标方程的应用师生共研师生共研 典例典例 (2019全国)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴 为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为cos 4. (1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|OP

8、|16，求点P 的轨迹C2的直角坐标方程； 解答 (2)设点A的极坐标为 ，点B在曲线C2上，求OAB面积的最大值. 解答 解解设点B的极坐标为(B，)(B0). 由题设知|OA|2，B4cos ， 极坐标应用中的注意事项 (1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：极点与原点重合；极轴与x 轴正半轴重合；取相同的长度单位. (2)若把直角坐标化为极坐标求极角时，应注意判断点P所在的象限(即 角的终边的位置)，以便正确地求出角.利用两种坐标的互化，可以把 不熟悉的问题转化为熟悉的问题. (3)由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的，如果限定取正 值，0,2)，平面上的点(除去极点)与极坐标(，

9、)(0)建立一一对 应关系. 思维升华思维升华 由圆中的弦长公式，得弦长 解答 课时作业 1.(2018武汉模拟)在极坐标系下，已知圆O：cos sin 和直线l： 基础保分练 解答 (1)求圆O和直线l的直角坐标方程； 123456789101112 1314 解解圆O：cos sin ，即2cos sin ， 圆O的直角坐标方程为x2y2xy， 即x2y2xy0， 即sin cos 1， 则直线l的直角坐标方程为yx1， 即xy10. 123456789101112 1314 (2)当(0，)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标. 解答 123456789101112 1314 2.在极坐

10、标系(，)(02)中，求曲线(cos sin )1与(sin cos )1的交点的极坐标. 解解曲线(cos sin )1化为直角坐标方程为xy1，(sin cos ) 1化为直角坐标方程为yx1. 解答 123456789101112 1314 解答 解解以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系， 则曲线2cos 的直角坐标方程为(x1)2y21，且圆心为(1,0). 因为圆心(1,0)关于yx的对称点为(0,1)， 所以圆(x1)2y21关于yx的对称曲线为x2(y1)21. 123456789101112 1314 解答 (1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程； 曲线的直角坐标

11、方程为x24y4. 123456789101112 1314 解答 (2)过极点O作直线l交曲线于点P，Q，若|OP|3|OQ|，求直线l的极坐标 方程. 解解设直线l的极坐标方程为0(R)， 123456789101112 1314 解答 解解以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半 轴，建立直角坐标系xOy. 化简，得22sin 2cos 40. 则圆C的直角坐标方程为x2y22x2y40， 123456789101112 1314 解答 123456789101112 1314 解解对曲线C1的极坐标方程进行转化， 12sin ，212sin ，x2y212y0， 即

12、x2(y6)236. 对曲线C2的极坐标方程进行转化， 123456789101112 1314 解答 (1)求直线l和C的直角坐标方程； 123456789101112 1314 C：4cos 2sin ，24cos 2sin ， x2y24x2y，即x2y24x2y0. 123456789101112 1314 解答 (2)若直线l与圆C交于A，B两点，求弦AB的长. 解解C：x2y24x2y0，即(x2)2(y1)25. 123456789101112 1314 解答 (1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程； 解解消去参数t得到C1的普通方程为x2(y1)2a2，C1是

13、以(0,1)为圆心， a为半径的圆. 将xcos ，ysin 代入C1的直角坐标方程中，得到C1的极坐标方程 为22sin 1a20. 123456789101112 1314 若0，由方程组得16cos28sin cos 1a20， 由已知tan 2，可得16cos28sin cos 0，从而1a20， 解得a1(舍去)，a1. 当a1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上. 所以a1. 解答 (2)直线C3的极坐标方程为0，其中0满足tan 02，若曲线C1与C2的公 共点都在C3上，求a. 解解曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组 123456789101112 1314 解答 (

14、1)求圆C的极坐标方程； 技能提升练 123456789101112 1314 解解设M(，)是圆C上除极点外的任意一点. 极点也适合上式， 123456789101112 1314 解解设点Q(1，1)，P(，)， 代入圆C的方程，得 解答 123456789101112 1314 10.在直角坐标系xOy中，直线C1：x2，圆C2：(x1)2(y2)21， 以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C1，C2的极坐标方程； 解答 解解因为xcos ，ysin ， 所以C1的极坐标方程为cos 2， C2的极坐标方程为22cos 4sin 40. 1234567891011

15、12 1314 (2)若直线C3的极坐标方程为 (R)，设C2与C3的交点为M，N，求 C2MN的面积. 解答 由于C2的半径为1，所以C2MN为等腰直角三角形， 123456789101112 1314 解答 (1)求曲线C1的一个参数方程； 123456789101112 1314 解解由24cos 30， 可得x2y24x30. (x2)2y21. 令x2cos ，ysin ， 123456789101112 1314 解答 (2)若曲线C1和曲线C2相交于A，B两点，求|AB|的值. 123456789101112 1314 解答 123456789101112 1314 曲线C的普通

16、方程为(x2)2(y1)25. 即曲线C的极坐标方程为4cos 2sin . 123456789101112 1314 解答 (2)若直线l的极坐标方程为(sin cos )1，求直线l被曲线C截得的弦长. 解解l的直角坐标方程为xy10， 123456789101112 1314 拓展冲刺练 解答 (1)求a； 123456789101112 1314 由题意可知直线l与圆C相切， 解解曲线C：2acos (a0)，变形为22acos ， 化为x2y22ax，即(xa)2y2a2， 曲线C是以(a,0)为圆心，以a为半径的圆. 123456789101112 1314 解答 解解由(1)知，曲线C：2cos . 123456789101