圆的切线证明

1、圆的切线证明1 （2011中考）.如图，PA为。0的切线，A为切点，过A作0P 的垂线AB,垂足为点C,交。0于点B,延长B0与O 0交于点D, 与PA的延长线交于点E,（1）求证：PB为。0的切线； 2已知。0中，AB是直径，过B点作。0的切线，连结C0,若AD 交O 0于D，求证：CD是O 0的切线。3如图，AB=AC，AB是O 0的直径，O 0交BC于D，DM丄AC于M求证：DM与O 0 相切.D4（2008年厦门市）已知：如图，八中，肚.，以丄于点丄.BI I（第2遹（1）求证：PD是E 0的切线；5已知：如图OO是厶ABC的外接圆，P为圆外一点，PA/ BC且A为劣弧的中点，割线 P

2、BD过圆心，交 O0于另一点D,连结CD（1）试判断直线PA与O0的位置关系，并证明你的结论. 当AB=13, BC=24时，求OO的半径及 CD的长.6如图，点B、C D都在半径为6的OO上，过点C作AC/ BD交OB的延长线于点 A，连接CD,已知 / CDBM 0BD=30 .（1）求证：AC是OO的切线；（2）求弦BD的长；（3）求图中阴影部分的面积.7. （2010北京中考）已知：如图，在 ABC中，D是AB边上一点，圆 O过D、B、C三 点，DOC=2ACD=90 :。求证：直线AC是圆O的切线；如果:ACB=75 :，圆O的半径为2,求BD的长。8、（2011?北京）如图，在厶A

3、BC，AB=AC，以AB为直径的O O分别交AC、BC于点D、E,点F在AC的延长线上，且/ CBF= / CAB .（ 1）求证：直线 BF是。O的切线；9已知O O的半径OA丄OB,点P在OB的延长线上，连结 AP交O O于D，过D作O O 的切线CE交OP于C,求证：PC = CD。10 （2013年广东省9分）如图，O O是RtAABC的外接圆，/ ABC=90，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE丄DC交DC的延长线于点E.（1）求证：/ BCA= / BAD ; （ 3）求证:BE是O O的切线。I I 1. I11 （ 7分）（2013?珠海）如图，O O经过菱形ABCD的三

4、个顶点 A、C、D，且与AB相切于点A（1）求证：BC为O O的切线；来源：网络转载EPA细说如何证明圆的切线1、证切线90 （垂直）2、 有90 证全等3、 有丄证/，错过来4、利用角+角=90关注：等腰（等边）三线合一；中位线；直角三角形1 （2011中考）.如图，PA为OO的切线，A为切点，过A作OP的 垂线AB垂足为点C,交OO于点B,延长BO与OO交于点D,与 PA的延长线交于点E,（1）求证：PB为O O的切线；2已知O O中，AB是直径，过B点作O O的切线，连结CO,若AD / OC交O O于D，求证：CD是O O的切线。?点悟：要证CD是。O的切线，须证CD垂直于过切点D的半

5、径，由此想到连结 0D。?证明：连结0D。? AD / 0C,?/ COB=/ A 及/ COD = / ODA?. OA = OD ,/ ODA = / OAD?/ COB=Z COD? CO 为公用边，OD = OB? COBA COD，即/ B=Z ODC? BC是切线，AB是直径，?/ B= 90,/ ODC = 90,? CD是O O的切线。?点拨：辅助线OD构造于“切线的判定定理”与“全等三角形”两个基本图形，先用切 线的性质定理，后用判定定理。3如图，AB=AC，AB是O O的直径，O O交BC于D，DM丄AC于M求证：DM与O O相切.D3(2008年厦门市)已知：如图中，4

6、二，以J为直径的色G交丄T于点， 匚二于点二.(1)求证：丄匸是的切线；(2)若- Lii1. j-r - 2，求门的值.p 厂(1)证明:Q閔-AC，又 0P 二 0B，又皐二工于丄 一，二是_的切线4已知：如图OO是厶ABC的外接圆，P为圆外一点，PA/ BC且A为劣弧的中点，割线 PBD过圆心，交 O0于另一点D,连结CD.的半径及CD的长.(1)求证：AC是OO的切线;来源：网络转载(1)试判断直线PA与O0的位置关系，并证明你的结论.6的OO上，过点C作AC/ BD交OB的延长线于点 A，连接CD已知求弦BD的长；求图中阴影部分的面积.5. （2010北京中考）已知：如图，在 ABC

7、中，D是AB边上一点，圆 O过D、B、C三 点，DOC=2ACD=90 :。求证：直线AC是圆O的切线；如果:ACB=75 :，圆O的半径为2,求BD的长。6、（2011?北京）如图，在厶ABC，AB=AC，以AB为直径的。O分别交AC、BC于点D、E,点F在AC的延长线上，且/ CBF= / CAB .（1）求证：直线BF是。O的切线；?例 6.已知。O的半径OA丄OB，点P在OB的延长线上，连结AP交。O于D，过D作。 O的切线CE交OP于C,求证：PC= CD。?点悟：要证PC= CD，可证它们所对的角等，即证/ P=Z CDP，又 OA丄OB，故可利 用同角（或等角）的余角相等证题。?

8、证明：连结OD，贝U OD丄CE。?/ EDA + Z ODA = 90? OA 丄 OB?/ A + Z P= 90，?又 v OA = OD，?/ ODA = / A，/ P=Z EDA?./ EDA = / CDP，?/ P=Z CDP，a PC= CD?点拨：在证题时，有切线可连结切点的半径，利用切线性质定理得到垂直关系。7（ 2013年广东省9分）如图，OO是RtA ABC的外接圆，/ ABC=90，弦BD=BA ,AB=12，BC=5，BE丄DC交DC的延长线于点E.（1）求证：/ BCA= / BAD ;（2）求DE的长；（3）求证:BE是O O的切线。【答案】 解：（1）证明：

9、v BD=BA，/ BDA= / BAD。vZ BCA= / BDA （圆周角定理），/ BCA= Z BAD。(2)vZ BDE= Z CAB (圆周角定理)，Z BED= Z CBA=90，BD =DE AC AB来源：网络转载BD=BA=12 , BC=5,.根据勾股定理得：AC=1312 DE13 一 12，解得:DE14413(3)证明：连接OB, OD,AB =DB 在厶ABO和厶DBO中B0二B0 ,OA =0D ABO DBO ( SSS)。锦元数学工作室绘制vZ ABO= / OAB= / BDC,：/ DBO= / BDC。二 OB/ ED。 BE 丄 ED，二 EB 丄

10、BO。二 OB 丄 BE。v OB是O O的半径，二BE是O O的切线。&( 7分)(2013?珠海)如图，O O经过菱形ABCD的三个顶点 A、C、D，且与AB相切于点A(1) 求证：BC为O O的切线；(2) 求/ B的度数.考点：切线的判定与性质；菱形的性质.分析：(1)连结OA、OB、OC、BD，根据切线的性质得 OA丄AB，即Z OAB=90 再根据菱形的性质得 BA=BC，然后根据 SSS”可判断 ABCCBO，则Z BOC= ZOAC=90 于是可根据切线的判定方法即可得到结论；(2)由厶ABC CBO得Z AOB= Z COB，则Z AOB= Z COB，由于菱形的对角线 平分

11、对角，所以点 O在BD上，利用三角形外角性质有ZBOC= Z ODC+ Z OCD，贝UZ BOC=2 Z ODC ,由于 CB=CD，则 Z OBC= Z ODC，所以Z BOC=2 Z OBC，根据Z BOC+ Z OBC=90 可计算出Z OBC=30 然后利用Z ABC=2 Z OBC计算即可.解答：(1)证明：连结 OA、OB、OC、BD，如图，v AB与O切于A点， OA 丄 AB，即 Z OAB=90 v四边形ABCD为菱形， BA=BC ,在厶ABC和厶CBO中rAB=CB OA=OC ,QB 二 OB ABC 也厶 CBO , Z BOC= Z OAC=90 OCX BC, BC为O O的切线；(2)解： ABC CBO , Z AOB= Z COB ,v四边形ABCD为菱形， BD 平分Z ABC , CB=CD ,点0在BD上，/ BOC= / ODC+ / OCD ,而 OD=OC ,/ ODC= / OCD ,/ BOC=2 / ODC ,而 CB=CD ,/ OBC= / ODC ,/ BOC=