向量运算法则

1、( 1)实数与向量的运算法则：设、 为实数，则有：1) 结合律： ( a) ( )a 。2) 分配律： () a a ， (a b) a b 。(2) 向量的数量积运算法则：1) a b b a 。2) ( a) b (a b) a b a( b) 。3) (a b) c a c b c 。(3) 平面向量的基本定理。e1,e2 是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任何一向量 a ，有且仅有一 对实数 1, 2 ，满足 a 1e1 2e2 。(4) a与b 的数量积的计算公式及几何意义：a b | a |b | cos ，数量积 a b等于 a的长度 |a|与b在 a的方向上的投

2、影 |b|cos 的乘积。(5) 平面向量的运算法则。1) 设 a(x1,y1)， b (x2,y2)，则 a+b(x1 x2,y1 y2)。2) 设 a(x1,y1)， b (x2,y2)，则 a-b(x1 x2,y1 y2) 。3) 设点 A(x1,y1) ，B(x2,y2) ，则 AB OB OA (x2 x1,y2 y1)。4) 设 a (x,y), R ，则 a ( x, y) 。5) 设 a(x1,y1)， b (x2,y2)，则 a b (x1x2 y1y2)。(6) 两向量的夹角公式：a(x1,y1)， b(x2,y2)。7) 平面两点间的距离公式：dA,B|AB| AB AB

3、(x2 x1)2 (y2 y1)2 (A (x1,y1)，B(x2,y2)。8) 向量的平行与垂直：设 a(x1,y1) ，b (x2,y2) ，且 b 0，则有：1) a|bb a x1 y2 x2y1 0。2)a b ( a 0)ab0 x1x2 y1y2 0 。9) 线段的定比分公式：设P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)是线段 P1P2的分点， 是实数，且 P1P PP2，则x1x21y1 y21OP OP1 OP21OPtOP1 (1 t)OP2 ( t)。10) 三角形的重心公式：ABC 三个顶点的坐标分别为 A( x1, y1 ) 、 B( x2, y2 ) 、

4、C( x3, y3) ，则 ABC 的重心的坐标为 G(x1 x2 x3, y1 y2 y3)。33(11)平移公式：xxhxxhOPOPPP。yykyyk(12)关于向量平移的结论。1)点 P(x, y)按向量 a(h,k) 平移后得到点 P(x h,y k)。2)函数 y f(x) 的图像 C按向量 a(h,k) 平移后得到图像 C: y f(x h) k。3) 图像 C按向量 a (h,k)平移后得到图像 C:y f(x)，则 C为 y f(x h) k。4) 曲线 C: f(x,y) 0按向量 a (h, k)平移后得到图像 C: f(x h,y k) 0。设 a=(x，y)， b=(

5、x ， y) 。1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则向量的加法OB+OA=O。Ca+b=(x+x ， y+y) 。 a+0=0+a=a。向量加法的 运算律 ： 交换律： a+b=b+a； 结合律： ( a+b)+c=a+(b+c)2、向量的减法如果 a、b 是互为相反的向量，那么 a=-b，b=-a，a+b=0. 0 AB- AC=CB. 即“共同起点，指向被的反向量为 0向量的减法减”a=(x,y) b=(x,y) 则 a- b=(x-x,y-y). 如图： c=a-b 以 b 的结束为起点， a 的结束为终点3、向量的数乘实数 和向量 a 的乘积是一个向量 当 0 时，a

6、 与 a同方向 当 1 时，表示向量 a 的有向线段在原方向（ 0）或反方向（ 0）上 伸长为原来的 倍当 0）或反方向（ 0） 上缩短为原来的 倍。数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律： （ a）b=（ab）=（ ab） 。 向量对于数的分配律（第一分配律）：（+） a=a+a.数对于向量的分配律（第二分配律）：（ a+b）= a+ b.数乘向量的消去律： 如果实数 0且 a=b，那么 a=b。 如果 a 0 且 a= a，那么 =。 24、向量的数量积定义：已知两个非零向量 a,b 。作 OA=a,OB=b, 则角 AOB称作向量 a 和向量 b 的夹角，记作 a,b 并规定 0 a,b

7、 定义：两个向量的 数量积（内积 、点积）是一个数量 （没有方向） ，记作 ab。 若 a、b 不共线，则 ab=| a| |b| cos a，b（依定义有： cos a，b =ab / |a| |b| ）；若 a、b 共线，则 a b= a b。 向量的数量积的坐标表示： ab=xx+y y 。向量的数量积的运算律ab=b a（ 交换律 ）（ a）b=（ab） （ 关于数乘法的结合律 ）（ a+b） c=ac+b c （分配律）向量的数量积的性质a a=| a| 的 平方 。a b = ab=0。| ab| |a| |b| 。（该 公式证明 如下： | ab|=| a| |b| |cos |

8、 因为 0|cos | 1，所以 | ab| |a| |b| ） 向量的数量积与实数运算的主要不同点1向量的数量积不满足结合律，即：（ ab） ca（bc） ；例如：（ab）2 a2 b2。2向量的数量积不满足消去律，即：由a b=a c （ a0） ，推不出 b=c。3| ab|与| a| |b| 不等价4由 | a|=| b| ，推不出 a=b 或 a=-b。5、向量的向量积定义：两个向量 a 和 b 的 向量积向量的几何表示（外积、 叉积 ）是一个向量，记作 a b（这里“”并不是乘号，只是一 种表示方法，与“”不同，也可记做“”）。若 a、b 不共线，则 a b的模是： ab=| a|

9、 | b| sin a，b；a b 的方向是：垂直于 a 和 b， 且 a、 b 和 ab 按这个次序构成 右手系 。若 a、 b 垂直，则 a b=0。向量的向量积性质：ab是以 a和 b 为边的平行四边形 面积。a a=0。a 垂直 b = a b=0 向量的向量积运算律 a b=- b a(a)b=(ab)=a( b)a( b+c)=ab+a c.注 ：向量没有除法，“向量 AB/向量 CD”是没有意义的。6、三向量的混合积定义：给定空间三向量 a、 b、 c，向量 a、b 的向量积 ab，再和向量 c 作 数量积 (ab) c，向量的混合积 所得的数叫做三向量 a、b、c 的混合积，记

10、作 (a,b, c)或(abc)，即( abc)=( a, b, c)=( a b) c混合积具有下列性质：1三个不共面向量 a、b、c 的混合积的 绝对值 等于以 a、b、 c 为棱的平行 六面体的体积 V，并且当 a、b、c 构成右手系时混合积是 正数 ；当 a、b、c 构成左手系时， 混合积是 负数 ，即( abc )= V(当 a、b、c 构成右手系时 =1； 当 a、b、 c 构成左手系时 =-1 )2上性质的推论：三向量 a、b、c 共面的 充要条件 是( abc )=03( abc )=( bca )=( cab )=-( bac )=-( cba )=-( acb)4( ab) c=a(bc)7. 例题正方形 ABCD,EFGA,CHIK首尾相连， L 是 EH中点，求证 LBGK？ 设 AE=a向量 , AG=a, AD=c, AB=c, CH=b,CK=b有 aa=bb=cc=0,a2=a2, b2=b2 ,c2=c2,ab=ab,ac=-ac,ac