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文档简介

1、常用均值不等式及证明证明概念：1、调和平均数：Hna1a2an2 、 几何平均数 ：Gna1a2、 算术平均数 ：Ana1 a2an、 平方平均数 ：Qn22 a1 a22an2这四种平均数满足 Hn Gn An Qna1、 a2an R ，当且仅当 a1 a2an 时取“ =”号均值不等式的一般形式：设函数 D xa1ra2ranr(当0 时 );Dx1a1a 2 a n n ( 当r 0时)( 即D0a1a2ann 则有：当 r=-1 、1、0、2 注意到Hn Gn An Qn仅是上述不等式的特殊情形，即 D(-1) D(0) D(1) D(2)由以上简化，有一个简单结论，中学常用1 1

2、aba b a2 b2ab均值不等式的变形：22(1) 对实数 a,b ，有 a b2ab ( 当且仅当 a=b 时取“=”号)a2,b2 0 2ab(2) 对非负实数 a,b ，有 a b 2 ab 0 ，即 a b ab 02(3) 对负实数 a,b ，有a b -2 ab 0(4) 对实数 a,b，有 a a -b b a -b22(5) 对非负实数 a,b ，有a2 b2 2ab 0(6)22对实数 a,b ，有 a bab22ab2(7)2对实数 a,b,c ，有 ab22 ca b c23(8)2对实数 a,b,c ，有 a2b2c2ab bc ac(9)2对非负数 a,b ，有

3、aabb23a b 24(10)a对实数 a,b,c ，有b3c3 abc均值不等式的证明：方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳） 、拉格朗日乘数 法、琴生不等式 法、排序不等式法、柯西不等式法等等用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。引理：设 A 0， B 0，则 A B n An nAn-1 B注：引理的正确性较明显，条件A0， B 0 可以弱化为 A 0，A+B0（ 用数学归纳法 ） 。原题等价于：a1 a2nana1a2 an当 n=2 时易证；假设当 n=k 时命题成立，即a1 a2kkaka1a2ak那么当 n=k+1 时，不妨设 ak 1 是 a 1 , a 2 ,a k 1中最大者，则 kak 1a1 a2ak 1设 s a1 a2akk1a1 a 2k1s ka k 1 - sk k k 1k1k1 s ka1a2x1x2xn1 x1 x2 xn nkk 1 ka k 1 - sk k 1用归纳假设下面介绍个好理解的方法琴生不等式法用引理a k 1琴生不等式： 上凸函数 f x ,x1,x2,xn是函数f x在区间 (a,b)内的任意n个点，x1 x2 xnf x1 fx2 fxn则有： fnn设 f x ln x ， f x 为上凸增函数 所以，

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