初中数学经典题型

1、综合知识讲解 目录 第一章绪 论2. 1.1 初中数学的特点2. 1.2 怎么学习初中数学2. 1.3如何去听课5. 1.4几点建议6. 第二章应知应会知识点8. 2.1 代数篇 y x 10 y x2 4x 4 y x 2 x1 6x21x3 2x4 3 解得：1;2;3;4 yi 16y2 9y3 01 满足条件的点 P有四个，它们分别是 R(6,16) , F2( 1,9) , F3(2,0) , P4(3,1) 【例6】如图，抛物线L1 : yx 2x 3交x轴于A B两点，交y轴于M点.抛物线L1向 右平移2个单位后得到抛物线 L2， L2交x轴于C D两点. (1) 求抛物线L2对

2、应的函数表达式； (2) 抛物线L1或L2在x轴上方的部分是否存在点N,使以A, C, M, N为顶点的四边 形是平行四边形.若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由； (3) 若点P是抛物线L1上的一个动点(P不与点A B重合)，那么点P关于原点的对 称点Q是否在抛物线L2上，请说明理由 解析过程及每步分值 解专$*叽得一2一尬+却=0， T姑物域h向右平移2个単位得撫物线 , DC3,0)-1- 化拋朝缱乙为jf -Cx+DCj 3)* 即十丈十九 令 Jtf 得 7=3,二AR0屈). 物技厶足b向右平移2个单世得网的* 化直L* 上，且氛阿 A四边理ACTM为平行四边形 同理厶 上

3、啊点NWAGMM = AC. 几四边唇ACAfN*是平暂四边形 AN + 5* 耦点G的橫塑标化入L” 得刊口一工一2丈】+審老一，L t 代点Q不在上* 【例7】如图，在矩形ABCD中，AB 9 , AD 3、3，点P是边BC上的动点（点 P不与点B，点C重合），过点P作直线PQ / BD，交CD边于Q点，再把 PQC沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点，设CP的长度为x， PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y . （1）求CQP的度数； （2）当x取何值时，点R落在矩形ABCD的AB边上? （3）求y与x之间的函数关系式； 当x取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的 （备用图2） AD

4、 BC 又AB 9, AD 3 3 , C 90, CD 9 , BC 3.3 tan CDB匹乜, CD 3 CDB 30o Q PQ / BD , CQP CDB 30o （2）如图 1, 由轴对称的性质可知, RPQ CPQ RPQ CPQ , RP CP 由（1）知 CQP 30, RPQ CPQ 60, (图1) RPB 60o, RP 2BP QCP x, PR x , PB 3.3 在厶RPB中，根据题意得：2（3 .3 x) x , 解析过程及每步分值 解：（1）如图，Q四边形ABCD是矩形，AB CD, 解这个方程得：x 2、一 3 （3）当点R在矩形ABCD的内部或 AB边

5、上时, 0 x 2 ,3 , Sacpq 丄 CP CQ - xg 3x 2 2 Q RPQ 3 CPQ， 当 0 x 2、, 3 时，y 当R在矩形ABCD的外部时（如图 2）， 在 RtA PFB 中，Q RPB 60 PF 2BP 2(3.3 x) 又Q RP CP x, RF RP PF 3x 6 . 3， （图2） 在 Rt ERF 中, Q EFR PFB 30o, ER Sa erf 1ER FR x2 18x 18. 3 , 2 2 Q ySa rpq Sa erf， 当 2 ,3 x 3,3 时，y 、3x2 18x 18、. 3 . 综上所述，y与x之间的函数解析式是：y

6、f x2(0 x 2 3) 、3x2 18x 18.3(2.3 x 33) 矩形面积 9 3.327、3，当0 x 2、3时，函数y二1 x2随自变量的增大而 2 增大，所以y的最大值是6 . 3，而矩形面积的 的值 27 37 3 , 2727 而A3 6、3，所以，当0 x 2氏时，y的值不可能是矩形面积的 ； 27 当2、3 x 3 . 3时，根据题意，得： -3x218x 1 3 r.3，解这个方程，得 x 3.3因为 3.3 门 3 3， 所以x 3,3,2不合题意，舍去. 所以x 3 3.2 . 综上所述，当 x 33 .2时， PQR与矩形 ABCD重叠部分的面积等于矩形面积的

7、7 27 第四章兴趣练习 4.1代数部分 2 1.已知：抛物线y ax bx c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C.其中点A在x 轴的负半轴上，点 C在y轴的负半轴上，线段OA、OC的长(OAOC)是方程 2 x 5x 4 0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x 1 . (2) 求A、B、C三点的坐标； )求此抛物线的解析式； (3)若点D是线段AB上的一个动点(与点 A、B不重合)，过点D作DE / BC交AC 于点E,连结CD ,设BD的长为m, CDE的面积为S,求S与m的函数关系式， 并写出自变量 m的取值范围.S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时 D点坐标；若不存在，请说明理

8、由. 1 2 2.已知，如图1,过点E 0, 1作平行于x轴的直线I ,抛物线y X2上的两点A B的 4 横坐标分别为 1和4,直线AB交y轴于点F，过点A B分别作直线I的垂线，垂足分 别为点C、D，连接CF、DF . (1) 求点A、B、F的坐标； (2) 求证：CF DF ； 1 2 (3) 点P是抛物线y x2对称轴右侧图象上的一动点，过点 P作PQ丄PO交x轴 4 于点Q，是否存在点P使得 OPQ与厶CDF相似？若存在，请求出所有符合条件 的点P的坐标；若不存在，请说明理由. 3.已知矩形纸片 OABC的长为4,宽为3，以长0A所在的直线为x轴，0为坐标原点建 立平面直角坐标系；点

9、P是0A边上的动点(与点0、A不重合)，现将 P0C沿PC翻折 得到 PEC，再在AB边上选取适当的点 。，将厶PAD沿PD翻折，得到 PFD，使得 直线PE、PF重合. 若点E落在BC边上，如图，求点 P、C、D的坐标，并求过此三点的抛物线的函 数关系式； 若点E落在矩形纸片 0ABC的内部，如图，设0P x, AD y,当x为何值时，y 取得最大值？ 在(1)的情况下，过点P、C、D三点的抛物线上是否存在点 0,使厶PDQ是以PD 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标. 0 PA x0 PAx 图 y x 在平面直角坐标系 xoy中是否存在点 P，与A、B、C三

10、点构成一个平行四边形？ 若存在，请写出点 P的坐标；若不存在，请说明理由； 连结CA与抛物线的对称轴交于点 D，在抛物线上是否存在点 M，使得直线CM把 四边形DE0C分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线 说明理由. 4x 图 4.如图，已知抛物线 3交x轴于A、 b两点，交y轴于点c，?抛物线的对称 轴交x轴于点E，点 B的坐标为( 1，0). (1 )求抛物线的对称轴及点 A的坐标; 第33页共68页 5.如图， 已知抛物线y ax bx 3 (0)与x轴交于点 A (1, 0)和点B (- 3, 0), 与y轴交于点C. (1) 求抛物线的解析式； (2) 设抛物线的对称轴与 X轴交

11、于点M，问在对称轴上是否存在点 卩，使厶CMP为等腰三 角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. (3) 如图，若点 E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE,求四边形BOCE面积的 最大值，并求此时 E点的坐标. 第45页共68页 二、动态几何 6.如图，在梯形 ABCD中，DC / AB, A 90 AD 6厘米，DC 4厘米，BC的 坡度i 3：4,动点P从A出发以2厘米/秒的速度沿 AB方向向点B运动，动点Q从点B出 发以3厘米/秒的速度沿B C D方向向点D运动，两个动点同时出发，当其中一个动 点到达终点时，另一个动点也随之停止设动点运动的时间为t秒

12、. (1) 求边BC的长； (2 )当t为何值时，PC与BQ相互平分； (3)连结PQ,设厶PBQ的面积为y,探求y与t的函数关系式，求t为何值时，y有最大 值？最大值是多少? 7.已知：直线y 1x 1与y轴交于A,与x轴交于D，抛物线y 1x2 bx c与直线交 于A、E两点，与X轴交于B、C两点，且B点坐标为 (1, 0). 求抛物线的解析式； 动点P在X轴上移动，当 PAE是直角三角形时，求点 P的坐标. (3)在抛物线的对称轴上找一点 M，使| AM MC |的值最大，求出点 M的坐标. 2 8.已知：抛物线y ax bx c a 0的对称轴为x 交于点C,其中A 3,0、C 0,

13、2 . (1 )求这条抛物线的函数表达式. (2) 已知在对称轴上存在一点 P,使得 PBC的周长最小.请求出点 P的坐标. (3) 若点D是线段OC上的一个动点(不与点0、点C重合).过点D作DE / PC交x轴 于点E.连接PD、PE .设CD的长为m , PDE的面积为S .求S与m之间的函数关 系式.试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由. 9.如图1,已知抛物线经过坐标原点 O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为(2,4);矩形 ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且 AD 2 , AB 3 . (1) 求该抛物线所对应的函数关系式； (

14、2) 将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图 1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行 移动，同时一动点 P也以相同的速度 从点A出发向B匀速移动.设它们运动的时间为t秒 (0 t 0） 常见的非负数有： a2 （a为一切实数） I a I a （a 0） 性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为 0。 3 倒数：定义及表示法 性质：A.a 丰 1/a （土 1） ;B.1/a 中，a 丰 O;C.O v av 1 时 1/a 1;a 1 时，1/a v 1;D.积为 1。 4 相反数： 定义及表示法 性质：A.a丰0时，-a;B.a 与-a在数轴上的位置；C.和为0,商 为-1。 29.

15、 数轴：定义（“三要素”） 作用：A.直观地比较实数的大小；B.明确体现绝对值意义；C.建立点与实数 的一一对应关系。 .奇数、偶数、质数、合数（正整数一自然数） 定义及表示： 奇数：2n-1 偶数：2n （ n为自然数） 绝对值：定义（两种）： 代数定义：_a（a 0） I a | = J L-a（a 0,符号“II”是“非负数”的标志 ；数a的绝对值只有一个； 处理任何类型的题目，只要其中有“II”出现，其关键一步是去掉“II”符 号。 二、实数的运算 1. 运算法则（加、减、乘、除、乘方、开方） 2. 运算定律（五个一加法乘法交换律、结合律；乘法对加法的 分配律） 3. 运算顺序：A.高

16、级运算到低级运算；B.（同级运算）从“左” 1 至右”（如5十丄X 5） ；C.（有括号时）由“小”到“中”到“大”。 5 三、应用举例（略） 附：典型例题 (1) 已知：a、b、x在数轴上的位置如下图，求证：Ix-a I + I x-b I =b-a. a xb (2) 已知：a-b=-2且ab 0与“平方根”的区别）; 算术平方根与绝对值 I. 联系：都是非负数， a2 = I a I II. 区别：|a I中，a为一切实数；. a中，a为非负数。 8. 同类二次根式、最简二次根式、分母有理化 化为最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 满足条件：被开方数的因数是整数，

17、因式是整式；被开方数中不含有开得尽方的因 数或因式。 把分母中的根号划去叫做分母有理化。 9. 指数 尹 aa=an（an 幂，乘方运算） n个 a0时，an 0；av 0时，an 0 （n是偶数），an v 0 （n是奇数） 零指数：a =1 （a工0） 负整指数： a P=1/ ap （a工0,p是正整数） 、运算定律、性质、法则 1分式的加、减、乘、除、乘方、开方法则 (1) 分式的性质 基本性质: 符号法则: b bm / = (0) a am b b b a a a 繁分式：定义；化简方法（两种） 3整式运算法则（去括号、添括号法则） 4. 幕的运算性质：am an = am n ;

18、am十an = am n ;（am）n = amn ； n n n na、na （ab） =a b ;（） bb 技巧：（b） p（a）p a b 5. 乘法法则：单X单；单X多；多X多。 6乘法公式：（正、逆用）（a b）2 a2 2ab b2 （a+b） （a-b ） =a2 b2 （a b） （a2ab b2） =a3 b3 7.除法法则：单十单；多十单。 乘、除法法则；分母有理 ；b b 10. 根式运算法则：加法法则（合并同类二次根式） 化: A. 1 ；Bb少;C.1. a a a m a n、b 11科学记数法：a 10n （1 a+c=b+c 2. a=b - ac=bc （c

19、 丰0） 三、解法 37 一元一次方程的解法：去分母t去括号t移项t合并同类项t 系数化成1t解。 38 元一次方程组的解法：基本思想：“消元”方法：代入法 加减法 四、一元二次方程 1.定义及一般形式：ax2 bx c 0（ a 0） 2解法：直接开平方法（注意特征） 配方法（注意步骤一推倒求根公式） 2 公式法：x1,2 4ac 0) b b 4ac 八 2 (b 2a 因式分解法（特征：左边 =0） 3.根的判别式： b2 4ac 4.根与系数顶的关系: b x1x2, x x2 c a a 逆定理：若x1x 2 m,x1 x2n，则以 X1,X2为根的一元二次方程是 x mx n 0。

20、 5常用等式：x2 2 2 x2 (x1 x2)2x1 x2 (X1 2 2 X2)(X1 X2)4X1X2 五、可化为一元二次方程的方程 1分式方程 定义 去分母 基本思想：分式方程整式方程 3x 6 2x 2 基本解法：去分母法换元法（如，3-6 竺上 7） x 1 x 2 验根及方法 2 无理方程 定义 基本思想： 乘方 无理方程有理方程 基本解法：乘方法（注意技巧！!）换元法（例，2JX2 9 17 x2 验根及 方法 39 简单的二元二次方程组 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组都可用代入法解。 六、列方程（组）解应用题 概述 列方程（组）解应用题是中学数学联系

21、实际的一个重要方面。其具体步骤是： 审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相 等关系是什么。 设元（未知数）。直接未知数间接未知数（往往二者兼用）。一般来说，未知数 越多，方程越易列，但越难解。 用含未知数的代数式表示相关的量。 寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。 一般地，未知数个数与方程个数是相同的。 解方程及检验。 答案。 综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方 程），在由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。在这个过程中，列 列方程是解应用题的关键。 方程起着承前

22、启后的作用。因此， 常用的相等关系 1 行程问题（匀速运动） 相遇乙B发）: 基本关系：s=vt 相遇问题（同时出 s甲 + s乙 =Sab ； t甲 t 乙 追及问题 （同时出发） S甲Sac 紅；t甲（AB） t乙（CB） 相遇处） 若甲出发t 上甲，贝U 小时后，乙才出发, （相遇处） 而后在B处追 s甲s乙；t甲 tt乙 水中航行：V顺 船速 水速；逆 船速 水速 (1) 配料问题：溶质=溶液X浓度 溶液=溶质+溶剂 3增长率问题：an ai（1 r）n 1 40 工程问题：基本关系：工作量 =工作效率x工作时间（常把工作量看着单位“1”。 41 几何问题：常用勾股定理，几何体的面积、

23、体积公式，相似形及有关比例性质等。 注意语言与解析式的互化 如,“多”、“少”、“增加了”、“增加为（到） ”、“同时”、“扩大为（到） ”、“扩大了”、 又如，一个三位数，百位数字为a，十位数字为b,个位数字为c,则这个三位数为： 100a+10b+c，而不是 abc。 注意从语言叙述中写出相等关系。 如，x比y大3,贝U x-y=3或x=y+3或x-3=y。又如，x与y的差为3，贝U x-y=3。注 意单位换算 如，“小时” “分钟”的换算;s、v、t单位的一致等。 七、应用举例（略） 第六章 一元一次不等式（组） 重点一元一次不等式的性质、解法 内容提要 1. 定义：a b、av b、a b、a b、axv b、ax b、axw b、ax* b（a 丰 0）。 3. 一元一次不等式组： 4. 不等式的性质： ab - a+cb+c ab - acbc（c0） ab - acbc（cb,bc t ac ab,cd ta+cb+d. 5. 一元一次不等式的解、解一元一次不等式 6. 元一次不等式组的解、解一元一次不等式组（在数轴上表示解集） 7. 应用举例（略） 第七章 相似形 重点相似三角形的判定和性质 内容提要 一、本章的两套定理 第一套（比例的有关性质） 割等。 广反比性质: ad bc （比例基本定理） 0,k0,k0,