平面向量典型例的题目

1、实用标准文案精彩文档平面向量经典例题:1. 已知向量a= （1,2） ，b= （2,0），若向量入a+ b与向量c= （1， 2）共线，则实数 入等于（）A. 21B- 3C. 1答案C解析入 a+ b=（入，2 入）+ （2,0） = （2 +入，2 入），：入 a+ b 与 c 共线，二一2（2 +入）2 = 0,二入=1.2.（文）已知向量 a= （3，1），b= （0,1） ，c= （k,3），若 a+ 2b 与 c 垂直，则 k =（3.60A. 1C. 3B .3D. 1答案C解析a+ 2b= （ 3，1） + （0,2） = （.3，3），：a+ 2b 与 c 垂直，二（a+ 2

2、b） c = 3k+3 3= 0，二 k= 3.（理）已知a= （1,2），b= （3， 1），且a+ b与a入b互相垂直，则实数 入的值为（11B- 611答案C解析a+ b= （4,1） , ab= （1 3入，2+入），丁 a+ b与a-入b垂直,（a + b） （a入 b） = 4（1 3入）+ 1x（2 +入）=6 11 入=0，二入=善.设非零向量a、b、c满足| a| = | b| = | c|， a+ b=c，则向量a、b间的夹角为（A. 150B. 120 C. 60D. 30答案B解析如图，在？ ABCDKT|a| = |b| = |c|，c= a+ b， ABD为正三角形

3、，二/ BAD=，二a，b= 120，故选 B.（理）向量a，b满足|a| = 1，|a b| =，a与b的夹角为60，则|b| =（1D.5答案A解析I a b| = 2，二1 al + 丨 b 2a b= 4,丁 I a| = 1,a, b= 60设I bl = X,则 1 + X2 x=4,1x0,二 x= 24. 若AB- BO aB = 0,则厶ABC必定是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形答案B解析 Ab- 站 AB= Ab-( ek Ab = Ab- AC= 0，二 AbiAcABIACABC为直角三角形.5. 若向量 a= (1,1) , b= (

4、1 , 1), c = ( 2,4)，则用 a , b 表示 c 为()B. a 3bD. 3a+ b答案B解析设c =a+b ,则(一2,4)=(入+卩，入一卩)，X + 口= 2X = 1、，二疋,.c= a 3b ,故选 B入一口= 4卩=一 3C. 3a b在平行四边形ABC肿AC与 BD交于O E是线段OD勺中点，AE的延长线与 CD交于点F ,若AC= a ,BD= b,则AF等于（）1 1 Aa + t b421 1 Ca + 4b答案B解析 v E为OD勺中点，二E3E= 3ED.| AB | EBDF/AB - - | df = PDEf，2 1B.3a+ 3b1 2D.ga

5、 + 3b1IDF = 3IAB,2 21 CH = 31 AB = 31 CD ,A. a+ 3bTTTT 2 T2 TT2 112 1AF= AC CF= ACCD= a+ 3（ OD- OC = a+ 3（b 护）=弄+ 3b.6. 若厶ABC勺三边长分别为 AB= 7 , BC= 5 , CA= 6,则AB BC勺值为（）A. 19B. 14C. 18D. 19答案D解析72 + 52 6219一t ttt19据已知得 cosb 2x 7x5 =35，故AB- BC= I ABx I BC x（ cosB） = 7X 5X-35= 19.7.若向量a= (X 1,2) , b= (4,

6、 y)相互垂直,_则9X+ 3y的最小值为()A. 12B. 2 3C. 3 2D. 6答案Dc . 1解析a b= 4( x 1) + 2y= 0，: 2x+ y= 2，: 9x+ 3y= 3x+ 3y 2 3+y = 6,等号在 x = y = 1 时成立.8.若A, B, C是直线丨上不同的三个点，若 0不在丨上，存在实数x使得x20打xO聊BC= 0，实数x为( )D.A. 1B. 0C. 一答案A解析x2OAbxO阱OC OB= 0，二x2O刖(x 1)0阱0C= 0，由向量共线的充要条件及 A B、C共线2-知，1 x x = 1，二 x = 0 或一1，当 x = 0 时，BC=

7、 0，与条件矛盾，二 x= 1.9.(文)已知P是边长为2的正 ABCi BC上的动点，则AP- (AB+ ACC()A.最大值为8B.最小值为2C.是定值6D.与P的位置有关答案C解析以BC的中点O为原点，直线BC为x轴建立如图坐标系，则B 1,0) , C1,0) , A(0，心,ABAC= (-1,- . 3) + (1，3) = (0， 2 3)，设 P(x, 0) , 1 x 2| Ab | AC = 4,v d 为 BC边的中点， 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1二 AD= 2(A科 AC，二 I AD = /I AB + I AC + 2AB AC = ：(I AB + I

8、 AC 2) ：(4 2) = -1 AD -22.10.如图，一直线EF与平行四边形 ABC的两边AB AD分别AKe=入AC则入的值为(交于E F两点，且交其对角线于 K,其中AE= 3AB AF=AD1A.51D.21C.3答案A解析如图，取CD的三等分点M N,BC的中点Q则EF/DG/ BM/ NQ 易知 AK= 5AC入=5.)11.已知向量 a= (2,3) , b= ( - 1,2),若na+4b与a- 2b共线，则m的值为(1A.2B. 2C. 2答案12.13.解析由条件知na+ 4b= (2 m 4,3 计 8),a 2b= (4， 1),(2m 4) ( 1) (3耐

9、8) X 4= 0,二 m= 2,故选 C.在厶 ABC中, C= 90 ,且 CA= CB= 3,点 M满足 BM= 2MA 则 CM CB?于(A. 2C. 4答案解析CM CB= (CA AM CB 1 1 -=(C外 3AB CB= CA- C肝 3AB- CB=3| AB | CB cos45= 1X 3 2 X 3X #= 3.B. 3D. 6fi在正三角形 ABC中，D是BC上的点，AB= 3, BD= 1，则AB AD=15答案-14.解析 由条件知，|aB = | AC = I BC = 3, =争 |a|1, | b| = 4,二 ab= |a| - | b| - cos

10、a, b= 1x 4x cos2 = 2,2丁 (2 a+ 入 b)丄a, a (2 a + 入 b) = 2| a| +入 a b= 2 2 入=0，:入=1.16.已知：|OA = 1, I OB =3, OA- OB= 0，点 C 在/ AOB内，且/ AO= 30,设 OC= mO+nOBm n r+ )，则 m答案3解析 设 mOA? OF nOB= 0E 则 0C= OH OET/AO= 30,.| 0C COS30 = |0F = nh OA = m| OC sin30 = | OE = n| OB = “J3n,两式相除得:m = | Oos30 =1 3n |(in30 ta

11、n303.17.(文)设 i、j是平面直角坐标系（坐标原点为O内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，且 OA=2i + j ,答案5OB= 4i + 3j，则 OAE的面积等于解析由条件知，I1, j2 = 1, i j = 0, OAOB= ( 2i + j ) - (4i + 3j) = 8 + 3 = 5,又OA OB=| OA I OB cos OA二 cos OA OBOB = 5cos OA OB,5，二 sin OA OB =窄,件是1 TT二 SaoaB= OA I OB-sin（理）三角形ABC中, a, b,0.答案1TTTT解析若 A 为锐角，则 sin A+cos

12、A1,tsin A+ cosA= g,二 A为钝角，t ABBG0, BABO0,“ B为锐角，由/ B为锐角得不出 ABC为锐角三角形；由正弦定理詰盲航得，sin30 sinCsin，二C= 60或120,t c - sin B=色3，3320,及 A B C (0 ,n ), A+ B+ C=n 知 A B、C均为锐角，： ABC为锐角三角形.18. 已知平面向量 a= (1，x)，b= (2x + 3, x) (1) 若a丄b,求x的值.(2) 若 a/b，求 |a b|.解析若a丄b，则 a b= (1，x) (2x + 3， x) = 1x (2x + 3) + x( x) = 0，

13、整理得x 2x 3 = 0，解得x = 1或x= 3.(2)若 a/b，则有 1 X ( x) x(2x + 3) = 0,_则 x(2x + 4) = 0,解得 x = 0 或 x= 2，当 x = 0 时，a= (1,0) ，b= (3,0)，: |a b| = |(1,0) (3,0)| = |( 2,0)1 = 2 羽 3 羽厂n sin A+ sin A+ cosA= sin A+cosA= . 3sin( A+石),+ 02 = 2，当 x = 2 时，a= (1， 2)，b= ( 1,2)，: la b| = |(1， 2) ( 1,2)| = |(2， 4)1 = 22+ 4

14、2 = 2 5.119. 已知向量 a= (sin x， 1)，b= ( 3cosx，刃，函数 f(x) = (a+ b) a- 2.(1) 求函数f(x)的最小正周期T;n(2) 将函数f(x)的图象向左平移-6上个单位后，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的3 倍,得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的解析式及其对称中心坐标.1解析(1)f(x)= (a+ b) a 2 = a + a b 2 = sinx +1+3sin xcosx+一21 cos2x 3. c 13 . c 1n、=+ -ysin2 x 2=-sin2x cos2x= sin(2 x百),2n:周期T=n .nn

15、 nn.(2)向左平移 百个单位得，y = sin2( x+百)百=sin(2 x+百)，横坐标伸长为原来的 3倍得，2 n 人 2 n/口 一 t 、 . r 3k n ng(x) = sin( 3X + g)，令十6 = kn 得对称中心为(一 -4, 0) , k 乙20. (文)三角形的三个内角AB、C所对边的长分别为a、b、c,设向量m= (c a,b a),n=(a+ b,c)，若 mil n.(1) 求角B的大小；(2) 若sin A+ sin C的取值范围.c a b a解析(1)由m/ n知 =,1cosB= 2，得 B=a+ b c即得b2= a2 + c2 ac,据余弦定

16、理知n(2)sin A+ sin C= sin A+ sin( A+ B = sin A+ sin( A+3)n2 n2 n-B= ，A+ C= -，A (0，)，n 厂/ n 5 n .n、厂.1.-A+ 石 * (6，)，sin( A+ 6) (2， 1，二sin A+ sin C的取值范围为(，.3(理)在钝角三角形 ABC中, 且 m/ n.TT2B)的值域.当角B为钝角时,C为锐角，则.nTBn2 n n2咋n 2 n? tb，5 nn 7 n二2B 6 B 6 6，- sin(2 B-6) ( 2,1 12)，二 y(2，32)-当角B为锐角时，角C为钝角，则- noB2n 2 n

17、亍可Bnn? 0B6，n , n n62旷6百，二 sin(2 B- 6) ( 2,1 12)，ye (2,a、b、c 分别是角 A B C 的对边，m= (2 b c, cosC), n= (a, cos A ,(1)求角A的大小;(2)求函数 y= 2sin 2b+ cos( 33解析(1)由 m/n 得(2 b c)cos A acosC= 0, 由正弦定理得 2sin bcosa sin ocosA sin AcosC= 0,/ sin( A+ 0 = sin B,二 2sin BcosA sin B= 0,n B、A (0 , n )，二 sin B0,二 A=.11J3n(2) y

18、= 1 cos2 B+ qcos2 B+亍sin2 B= 1 cos2B+-2sin2 B= sin(2 Bg) + 1,综上，所求函数的值域为(*, 3).“J3sin2 x) , x R.21. 设函数 f(x) = a b,其中向量 a= (2cos x, 1) , b= (cosx,(1)若 f(x) = 1 .3且 x -3, -3，求 x；、.n 、. 若函数y= 2sin2 x的图象按向量c= ( m n)(| mi2)平移后得到函数y= f (x)的图象，求实数 m n的值.解析(1)依题设，f (x) = 2cos 2x3sin2 x=1 + 2sin(2 x+ ).n由 1

19、 + 2sin(2 x+_6)= 1 3，得 sin(2 x + g)=-nnnn 5 nn nn*/ 一 W xW ，二一W 2x+W，二 2x +=，即 x=.3x32 x 66634(2)函数y= 2sin2 x的图象按向量c= ( m n)平移后得到函数 y= 2sin2( x m) + n的图象，即函数 y =nnnf(x)的图象由 得 f(x) = 2sin2( x+ 仁)+ 1.T|m 空，二 m=立，n= 1.22. 已知向量 0P= (2cosx + 1，cos2x sin x + 1)，0Q= (cos x， 1)，f(x) = OP OQ(1) 求函数f(x)的最小正周期；n(2) 当x 0，y时，求函数f (x)的最大值及取得最大值时的x值.解析(1) T OP= (2cos x + 1，cos2x sin x + 1)，OQ= (cosx， 1)，二 f (x) = OP OQ= (2cos x + 1)cosx (cos2 x sin x + 1)=2cos2x + cosx cos2x+ sin x 1 = cosx+ sin x = 0,二 9 + 4k9，二 0乔00产 200B B 164/. 4FA F2B,9综上所述，RA- F2B的取值范围是(4，眾.924.在平面直角坐标系内，已知两点A 1,0)