平行四边形有关常用辅助线

1、PART A 知识讲解 六类与平行四边形有关的常见辅助线，供借鉴： 第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。 例1如左下图 1，在平行四边形 ABCD中，点 E,F 在对角线 AC上，且 AE CF ,请 你以 F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已 有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）连结 BF BF DE证明：连结 DB,DF ,设DB, AC 交于点 O四边形 ABCD 为平行四边形 AO OC , DO OB AE FC AO AE OC FC 即 OE OF四边形 EBFD 为平行四边形 BF DEDFOEC图1图2第二类：平

2、移对角线，把平行四边形转化为梯形。例 2 如右图 2，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，如果 AC 12 ， BD 10， AB m，那么 m 的取值范围是（）A1 m 11 B2 m 22 C10 m 12 D 5 m 6解：将线段 DB 沿 DC 方向平移，使得 DB CE ,DC BE ,则有四边形 CDBE 为平 行四边形 ,在 ACE 中, AC 12,CE BD 10, AE 2AB 2m12 10 2m 12 10，即 2 2m 22 解得 1 m 11 故选 A 第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。例 3 已

3、知：如左下图 3 ，四边形 ABCD 为平行四边形求证：2 2 2 2 2 2AC 2BD 2AB2BC2CD 2DA2证明：过 A,D分别作 AE BC 于点 E， DF BC的延长线于点 F AC 2 AE2 CE2 AB2 BE2 (BC BE)2 AB2 BC2 2BE BCBD2 DF 2 BF2 (CD2 CF2) (BC CF)2 CD2 BC2 2BC CF 则 AC 2 BD 2 AB 2 BC 2 CD 2 DA 2 2BC CF 2BC BE四边形 ABCD 为平行四边形 AB CD 且 AB CD , AD BC ABC DCF AEB DFC 900 ABE DCF

4、BE CF2 2 2 2 2 2 AC 2 BD 2 AB 2 BC 2 CD 2 DA 2DFFA CDF KAF CE DF 1 2 1 3 900 2 3 900 CPB 900 , 则 KPB 900第四类：延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。例 4：已知：如右上图 4，在正方形 ABCD 中， E,F 分别是 CD 、DA 的中点， BE与CF 交于 P 点，求证： AP AB 证明：延长 CF 交 BA 的延长线于点 K 四边形 ABCD 为正方形 AB CD 且 AB CD , CD AD , BAD BCD D 900 1 K 又 D DAK 900 , DF A

5、F11 AK CD AB CE CD,DF AD2 , 2 BCD D 900 BCE CDF AP AB 第五类：延长一边上一点与一顶点连线，把平行四边形转化为平行线型相似三角形。例 5 如左下图 5 ，在平行四边形 ABCD 中，点 E 为边 CD 上任一点，请你在该图基础 上，适当添加辅助线找出两对相似三角形。解：延长 AE 与 BC 的延长线相交于 F ，则有 AED FEC , FAB FEC , AED FABFD第六类：把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线1例 6 已知：如右上图 6，在平行四边形 ABCD 中， AN BN ,BE 1 BC ,NE3 交 BD 于 F

6、，求 BF : BD 解：连结 AC 交 BD 于点 O,连结 ON四边形ABCD 为平行四边形 OAOC,OBOD1 ON BC 且 ON BE2ANBN11 BCBF22 ONFOBE11 BC BE :ON 2:3BF 23FO 3BF2 BF : BD 1:5BO5综上所述，平行四边形中常添加辅助线是：连对角线，平移对角线，延长一边中点与 顶点连线等，这样可将平行四边形转化为三角形（或特殊三角形） 、矩形（梯形）等图形， 为证明解决问题创造条件。PART B 综合演练一、一般多边行1、如图，四边形 ABCD 中， E、F、G、H 是四边形各边的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形。

7、2、某风筝厂准备购进甲、乙两种规格相同但颜色不同的布料生产形状如图所示的风筝，点E 、F 、G、 H 分别是四边形 ABCD 的中点，其阴影部分用的甲布料，其余部分用乙布料 （裁剪两种布料时，均不计余料） ，若生产这批风筝需要甲布料 30 匹，那么需要乙布料 多少匹？3、提出问题：如图所示，在四边形 ABCD 中，P 是 AD 边上任意一点， PBC 与 ABC 和 DBC 的面积之间有什么关系？ 探究问题：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的，特殊的情形入手：1（ 1）当 AP= AD 时（如图） ：2AP= 1 AD ， ABP 和 ABD 的高相等， S ABP2 ABPS ABD

8、。2 ABD PD=AD AP= 1 AD， CDP 和 CDA 的高相等，2S CDP2 S CDA 。S PBCS四边形 ABCDS ABP S CDP S四边形 ABCD11S ABD S CDA2 ABD 2 CDA S四边形 ABCD112 S四边形 ABCDSD BC2 S四边形 ABCDS ABC 1 1 S DBC S ABC2 DBC 2 ABC12）当 AP= AD 时，313）当 AP= AD6时，4）一般地，当AP=系，写出求解过程；问题解决：AP=探求 S PBC与S ABC与S DBC 之间的关系，写出求解过程；S PBC 与S ABC 和S DBC 之间的关系式为

9、1AD（ n表示正整数）时，探求 S PBC与S ABC和S DBC之间的关m ADm01nS PBC与S ABC和S DBC 之间的关系为二、多边形1、如图，如果直线 m是多边形 ABCDE 的对称轴， 其中 A=130 那么 BCD 的度数等于（ ），B=110D、70A、40B、 50C、602、一个零件的形状如图所示，按规定A 应等于 90 ，B、C 应分别为 21 和32 ，检验工人量得 BDC= 148 ，就断定这个零件不合格，这是为什么呢？3、王师傅有两块板材边角料，其中一块是边长为60cm 的正方形板子，另一块是上底为30 cm ，下底为 120 cm ，高为 60 cm的直角

10、梯形板子（如图） ，王师傅想将这两块板 子裁剪成两块全等的矩形板材，他将两块板子叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别 与正方形的两个顶点重合， 两块板子的重叠部分为五边形 ABCFE 围成的区域 （如图）， 由于受材料纹理的限制，要求裁出的矩形要以点 B 为一个顶点。（ 1）求 BC 的长。（ 2）利用图求出矩形顶点 B 所对的顶点到 BC 边的距离 x （ cm）为多少时，矩形的 面积 y2 cm2 ）最大？最大面积是多少？3）若想使裁出的矩形为正方形，试求出面积最大的正方形的边长。三、平行四边形 （矩形、菱形、正方形与其相同）1、如图，已知 ABC 是等边三角形， D 、 E 分别在 BC

11、、AC 上，且 CD=CE ，连结 DE 并 延长至点 F，使 EF=AE ，连结 AF 、 BE 和 CF 。（ 1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“”表示，并加以证明；（ 2）判断四边形 ABDF 是怎样的四边形，并说明理由；（ 3）若 AB=6 ，BD=2DC ，求四边形 ABEF 的面积。12、如图，在矩形 ABCD 中，E、F 分别是 AD、BC 的中点，点 G、H 在 DC 边上，且 GH= DC 。2 若 AB=10 ， BC=12 ，则图中阴影部分的面积为 。3、如图， E、F 分别是平行四边形 ABCD 对角线 BD 所在直线上两点， DE=BF ，请你以 F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并