天津大学最优化历年试题

1、精选20032008工程与科学计算历届试题类型1.直解法例1.用列主元素Gauss消去解下列线性方程组(结果保留5位小数)0.7290X,0.8100X20.9000x30.68670.83381.00001.0000%1.0000x21.0000x31.3310%1.2100x21.1000x3例2.设线性方程组Ax b,其中A求Cond (A),并分析线性方程组是否病态2.迭代法例1.设线性方程组Axb为22x1111 x22， 022X32写出求解线性方程组的Jacobi迭代格式，并确定当取何值时Jacobi迭代格式收敛.例2.写出求解线性方程组 Axb的Seidel迭代格式，并判断所写

2、格式的收敛性，其中Axb为3为2X362x2X382x1X22X353.插值例 1.已知.10010, 12111, . 14412,(1) 试用二次插值多项式计算.115的近似值(数据保留至小数点后第5 位)(2) 估计所得结果的截断误差(数据保留至小数点后第5位)例2.由下列插值条件X12467f (X)41011求4次Newton插值多项式，并写出插值余项.4. RungeKutta 格式例写出标准Runge Kutta方法解初值问题y xy 2y2 sinxy(0) 1,y(0) 1的计算格式5代数精度 例1.数值求积公式形如1xf(x)dx S(x)Aof(O) Ai f (1) A

3、2 f (0) Asf (1)试确定其中参数 A1,A2,A3,A4,使其代数精度尽量高，并确定代数精度例2.验证数值求积公式f(x)dxA)f(1 ；) Af(1) Af(1 ,：)是Gauss型求积公式.6. Romberg 方法1 j例 对积分 . 1 x2dx ,用Romberg方法计算积分的近似值，误差不超过10 并将结果填(1 )设(x)为a,b上关于权函数(x)的n次正交多项式，以(x)的零点为节点建立Lagrange 插值基函数li(x),b证明：(x)h(x)dxa2(x)li(x) dx, i1,2, ,n证明：设n次正交多项式(x)的零点为X1,X2,L Xn，则以这n个

4、零点为节点建立的2li(x)是2n-2次多项式.故Lagrange插值基函数li(x), i 1,2L ,n是n-1次多项式,2当f (x)取h(x)和li(x)时Gauss型求积公式(x)f (x)dxAk f(Xk)k 1等号成立，即b(x)li(x)dxnAkli (xk) A(x)l：(x)dxAJi2(xQ Ak 1则有b(x)li(x)dxa2(x)li(x) dx, i1,2, ,nb的精确解，x是(2)对线性方程组 Ax b，若A是n阶非奇异阵，b 0, x*是AxAx b的近似解。记r b Ax|x xjllrll证明：打 Cond需Ax A( x x)证明：由于x*是Ax

5、b的精确解，贝U Ax b， r b Ax Ax又A是n阶非奇异阵，贝U x x A 1r故卜1|阳WhA1 Ab|r|COndA b(3)初值问题 y ax b, y(0)0有解 y(x) ax2 bx ,若 xn格式解得的y(x)在x Xn处的近似值，证明：y(Xn) yn卡ahXn . 证明：记 f (x, y) ax b, f (xn, yn)fn ,且 y(0) 0 , x. nhyn 1yn hf (xn, yn)则有ynyn 1 hfn 1( yn 2hfn 2) hfn 1nh , yn 是用 EulerEuler格式为h(axo b)h(ax1 b)h(axn 1 b)hb

6、ah2hb 2ah2 hb(n 1)ah2hb豊 1ah212 1nhb 2 axn ahx bxny(Xn) yn iax2 bxn Gax： bxn 号 ahXn)今 ahxnyo hfo hf1hfn 1(4)设A Cn n为非奇异阵，试证：线性方程组Ax b的数值解可用Seidel迭代方法求证明：因为A为非奇异矩阵，故 Ax b与ATAx ATb是同解方程组，而 A A正定，则Seidel格式收敛，即用 Seidel方法一定能求得 Ax b的解.(5)试导出求解初值问题y f(x, y), a x b y(a) y。的梯形格式，并证明用梯形格式解初值问题y y 0所得数值解为yy(0)

7、 1证明将y f (x, y)在Xn，Xni上积分，得y(Xni) y(Xn)xn 1xf (x,y(x)dx.将右端的积分用梯形公式计算其近似值，并用yn, yn 1分别代替y(Xn), y(Xn 1),yn 1yn 2f(Xn,yn) f(Xn1,yn1)f(x, y)y代入梯形公式yn 1yn月(ynYn 1),则有ynyn 1Yn)得ynyn 1yn因为 Y01,yn(6)设 fC4Xo,X2 ,hX22X。X1Xoh，证明f (X1)!f(Xo)2f(xJ 匕)hj12(4)(),(Xo,X2)证明：f (x)的一次Lagrange插值多项式及余项形式为(XX1)( Xx2)(xxo

8、)(xx1)(xXo)( Xxjf(x) f(Xo)12f(X1) o f(X2)o 1 (XoX1)(Xo X2)(X1Xo)(X1X2)(X2Xo)(X2 X1)f ；)(X Xo )(x X1)(X X2),(Xo,X2)其二阶导数为f (x)f (Xo)f (Xi)f (X2)(XoXi)(XoX2)(XiXo)(XiX2)(X2Xo )(X2Xi)f( 2)- 、-、2f(4)( i)I! 屮(X3!(X xo)(x Xi )(x X2)Xo)(XXi)(XX2),4!注意到hX2Xo2xoh，有f (Xi)f (Xo-fy2hf(I)()-oI!22f(4)( i)f (Xi)f (X2)4!(h2) f ()3!f (Xi )f(xo) 2f(Xi)f%)i2(4)(),(7)证明求积公式20 f(x)dx5f(13)89f(1)If(13)是稳定的.(8)设初值问题y f (x, y) y(a) y。b中的证明：格式h甘yn i yn -(Ki4Ki f (Xn,yn)2Kn f (Xn -h, yn33&)餌)(x xo)(x xi)( x