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文档简介
1、圆中的动态问题【方法点拨】圆中的动态问题实际是圆的分类讨论问题,做这种题型重要的是如何将动点转化为固定的点,从而将题型变为分类讨论【典型例题】题型一:圆中的折叠问题例题一 (2012江西南昌12分)已知,纸片O O的半径为2,如图1,沿弦AB折叠操作.(1) 折叠后的 Ab所在圆的圆心为 0时,求0A的长度; 如图2,当折叠后的Ab经过圆心为o时,求Aob的长度; 如图3,当弦AB=2时,求圆心 0到弦AB的距离;(2) 在图1中,再将纸片O 0沿弦CD折叠操作.如图4,当ab /cd,折叠后的Ab与Cd所在圆外切于点 p时,设点o到弦ab. cd的距离之和为d,求d的值;如图5,当AB与CD
2、不平行,折叠后的 Ab与Cd所在圆外切于点P时,设点M为AB的中点,点N为CD的中点,试探究四边形 OMPN的形状,并证明你的结论.【答案】解:(1)折叠后的 Ab所在圆O与O O是等圆, O A=OA=2。当Ab经过圆o时,折叠后的Ab所在圆o在o o 上,如图2所示,连接OA.OA.O B, OB, 00。 00 A, 00 B为等边三角形,/ AO B=/ AO O+ / BO 0=60+60 =120。 Aob的长度120241803。如图3所示,连接OA, OB,/ 0A=0B=AB=2, AOB为等边三角形。(2)如图4,当折叠后的Ab与Cd所在圆外切于点 p时,过点O作EF丄AB
3、交AB 于点H、交AEB 于点E,交CD 于点G、交CFD于点F,即点E、H、P、O、G、F在直径EF上。/ AB / CD , EF 垂直平分AB 和 CD。根据垂径定理及折叠,可知PH = 1pe , PG= - PF。2 2B又 EF=4,.点 O 到 AB .CD的距离之和d为:111d=PH+PG= PE+ PF=222(PE+PF) =2。如图5,当AB与CD不平行时,四边形是OMPN平行四边形。证明如下:设o, o为Apb和Cpd所在圆的圆心,点O与点O关于AB对称,点0于点0关于CD对称, 点M为的00中点,点 N为00的中点。折叠后的Apb与Cpd所在圆外切,连心线0 0必过
4、切点P。折叠后的Apb与Cpd所在圆与o o是等圆,11 0P=0P=2, PM= 00=N , PN= 00 OM ,22四边形OMPN是平行四边形。【考点】翻折变换(折叠问题)相切两圆的性质,等边三角形的判定和性质,平行四边形的判定,垂径定理,弧长的计 算,解直角三角形,三角形中位线定理。【分析】(1)折叠后的Ab所在圆o与o o是等圆,可得oa的长度。 如图2,过点0作0E丄AB交O 0于点E,连接OA. OB . AE、BE,可得 OAE、 OBE为等边三角 形,从而得到 Aob的圆心角,再根据弧长公式计算即可。 如图3,连接O A. O B,过点0作O E丄AB于点E,可得 AO B
5、为等边三角形,根据三角函数的知识 可求折叠后求 Aob所在圆的圆心 o到弦ab的距离。(2)如图4, AEB与CFD所在圆外切于点 P时,过点0作EF丄AB交AEB于于点E,交CFD于点F,根 据垂径定理及折叠,可求点 0到AB. CD的距离之和。由三角形中位线定理,根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得证。变式一 如图是一圆形纸片,(1)若Bd= Cd求证:bdc必经过圆心oBAB是直径,BC是弦,将纸片沿弦 BC折叠后,劣弧BC与AB交于点D,得到BDC .(2)若 AB= 8, BD- 2CD 求 BC的长.1 变式二 如图, ABC内接于O O , AD丄BC , 0E丄BC
6、, OE= 2 BC .(1)求/ BAC的度数;(2)将厶ACD沿AC折叠为 ACF ,将厶ABD沿AB折叠为 ABG ,延长FC和GB相交于点H ;求证:四边形AFHG 是正方形;(3)若 BD=6 , CD=4,求 AD 的长.题型二:圆中的旋转问题例题二(2011湖南常德,25.10分)已知 ABC分别以AC和BC为直径作半圆Oi、02 , P是AB的中点。(1) 如图8,若厶ABC是等腰三角形,且 AC=BC在AC、?C上分别取点 E、F,使 AO1EBO2F,则有结论PO1EFO2P.四边形PO1CO2是菱形。请给出结论的证明;(2) 如图9,若(1)中厶ABC是任意三角形,其它条
7、件不变,则(1)中的两个结论还成立吗?若成立,请给出证明;(3) 如图10,若PC是O 01的切线,求证: AB2 BC2 3AC2精选11111o;ACAP12AB2AC2BD23AC2BD2AD2BD2BD2/ AC = BC P O2 = O1C= P O1= O2C 二四边形 P。1。2 是菱形(2)结论 P01EA PO2F成立,结论不成立 AC= CD精选(1 )T BC是0 02直径,则 02是BC的中点又 P是AB的中点.,二P 02是厶ABC的中位线 P 02 = 2 AC又 AC是O 01 直径 P 02= 01C= 2 AC同理 P 01= 02C = 2 BC证明:在(
8、1)中已证P02= 2 AC,又01E= 2 AC/ ACP=Z D又/ PAC=Z BAD APSA BAD又P是AB的中点AD AB 2在 Rt BCD中,BC2 CD2AC2 BD2在 Rt ABD中, P02= 01E同理可得 P01= 02F/ P02 ABC的 中位线 P02/ AC/ P02B=Z ACBA01E = Z P02B+Z B02F/ BC是0 02的直径,则/ D= 90,又PC是O 01的切线,则/ ACP= 90/ P 01A+ / AB2 BC23AC2同理/ P 01A=Z ACB/ P02B=Z P 01A即/ P 01E =Z F 02 P、 E01P
9、P02F;(3)延长AC交O 02于点D,连接BD.AB2 4AC2/ A01E = Z B02F评析:要证一个四边形是菱形,可证它的四条边相等,也可证明它是有一组邻边相等的平行四边形或对角线互相垂直的平行四边形;要证两三角形全等,可通过 SSS SAS ASA或AAS来加以判断;当待证式中出现多个平方的形式时,应 首先考虑勾股定理及等量代换.变式一阅读下列材料,然后解答问题。经过正四边形(即正方形)各顶点的圆叫作这个正四边形的外接圆。圆心是正四边形的对称中心,这个正四边形叫作这个圆的内接正四边形。如图(十三),已知正四边形 ABCD的外接圆O 0,0 O的面积为0,正四边形ABCD的面积为S
10、2,以圆心0为顶 点作/ M0N ,使/ MON=90 ,将/ M0N绕点0旋转,0M、0N分别与O 0相交于点E、F,分别与正四边形 ABCD 的边相交于点G、H。设0E、0F、EF及正四边形ABCD的边围成的图形(图中阴影部分)的面积为 S(1) 当0M经过点A时(如图),贝U S、0、S2之间的关系为:S= (用含0、S2的代数式表示)(2)当0M丄AB时(如图),点G为垂足,则(1 )中的结论仍然成立吗?请说明理由。(3) 当Z M0N旋转到任意位置时(如图,)则(1 )中的结论仍然成立吗?请说明理由.精选【答案】解:(1)_24(2)成立。理由:连 0B,可证图中的两个阴影部分的面积
11、之和等于图的阴影部分的面积(3)成立。过点 0分别作AB BC的垂线交 AB BC于点P Q,交圆于点X、Y,可证直角三角形 0P(全等于直角三角形 0QH可说明两阴影部分面积之和等于图的阴影部分面积.变式二(2012 ?杭州)如图,AE切O 0于点E, AT交O 0于点M , N,线段0E交AT于点C, 0B丄AT于点B,已知 Z EAT=30 AE=3需,MN=2 AE(1 )求/ C0B的度数;(2)求00的半径R;(3)点F在O 0 上( 是劣弧),且EF=5,把 0BC经过平移、旋转和相似变换后,使它的两个顶点分别与点E, F重合.在EF的同一侧,这样的三角形共有多少个?你能在其中找
12、出另一个顶点在O0上的三角形吗?请在图中画出这个三角形,并求出这个三角形 与厶0BC的周长之比.考点:切线的性质;含30度角的直角三角形;勾股定理;垂径定理;平移的性质;旋转的性质;相似三角形的判定与 性质。专题:计算题。分析:(1)由AE与圆0相切,根据切线的性质得到 AE与CE垂直,又0B与AT垂直,可得出两直角相等,再由 一对对顶角相等,利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形AEC与三角形0BC相似,根据相似三角形的对应角相等可得出所求的角与 ZA相等,由Z A的度数即可求出所求角的度数;(2)在直角三角形 AEC中,由AE及tanA的值,利用锐角三角函数定义求出CE的长,再由0B
13、垂直于MN ,由垂径定理得到 B为MN的中点,根据 MN的长求出MB的长,在直角三角形 OBM中,由半径 OM=R,及 MB的长,利用勾股定理表示出 0B的长,在直角三角形 OBC中,由表示出 0B及cos30的值,利用锐角三角函数定义表示出 0C,用0E - OC=EC列出关于R的方程,求出方程的解得到半径R的值;(3) 把厶OBC经过平移、旋转和相似变换后,使它的两个顶点分别与点E,F重合.在EF的同一侧,这样的三角形共有6个,如图所示,每小图 2个,顶点在圆上的三角形,延长E0与圆交于点D,连接DF,由第二问求出半径,的长直径 ED的长,根据ED为直径,利用直径所对的圆周角为直角,得到三
14、角形EFD为直角三角形,由/ FDE为30利用锐角三角函数定义求出DF的长,表示出三角形角形OBC的三边表示出三角形 BOC的周长,即可求出两三角形的周长之比. 解答:解:(1) / AE切O O于点E, AE 丄CE,又 OB 丄 AT, / AEC= / CBO=9O 又 / BCO= / ACE , AEC OBC,又/ A=30 / COB= / A=30(2) / AE=3 . 1,在 Rt AEC 中,EFD的周长,再由第二问求出的三/ A=30 FCtanA=tan30 =,AH即 EC=AEtan30 3,/ OB丄MN , B 为 MN 的中点,又 MN=2伍, MB=gMN
15、=,连接 OM ,在厶 MOB 中,OM=R , MB= ,2 -22,又 OC+EC=OM=R , R=-+3,整理得:R2+18R - 115=0,即(R+23) (R- 5) =0 ,解得:R= - 23 (舍去)或 R=5,则 R=5;(3)在EF同一侧, COB经过平移、旋转和相似变换后,这样的三角形有 如图,每小图2个,顶点在圆上的三角形,如图所示:6个,0B= -二=L :,cos/ BOC-COS30 =-=; BO=OC 22在厶 COB 中,/ BOC=30 OC, OC=OB=3延长EO交圆O于点D,连接DF,如图所示,/ EF=5,直径 ED=10,可得出 / FDE=
16、30 FD=5 二则 e EFD=5+10+5m15+5 .:,由(2)可得 & cob=3+,30 直角三角形的性质,平移及 CEFD : & COB= (15+53): () =5 : 1.点评:此题考查了切线的性质,垂径定理,勾股定理,相似三角形的判定与性质,含 旋转的性质,以及锐角三角函数定义,熟练掌握定理及性质是解本题的关键.题型三:圆中的动点例题三 (2012江苏南京10分)如图,A、B为O O上的两个定点,P是O O上的动点(P不与A、B重合),我们称/ APB 为O O上关于A、B的滑动角。(1)已知/ APB是eO上关于点A、B的滑动角。 若AB为O O的直径,则/ APB=
17、 若O O半径为1, AB= 2,求/ APB的度数(2) 已知。2为e O1外一点,以。2为圆心作一个圆与 e O1相交于A、B两点,/ APB为e O1上关于点A、B的滑动角,直线FA、PB分别交eO2于点M、N (点M与点A、点N与点B均不重合),连接AN,试探索/ APB与/ MAN、/ ANB 之间的数量关系。【答案】解:(1)90。如图,连接AB、OA、OB .在厶 AOB 中,T OA=OB=1. AB= 2 ,二 OA2+OB2=AB2。/ AOB=901当点F在优弧 AB上时(如图1) , / APB= / AOB=452当点F在劣弧AB上时(如图2),1/ AFB=( 36
18、0/ AOB) =135囲1At之间,如图B之间,如图/ AFB= / MAN + / ANB 180第三种情况:点 F在O O2外,且点之间,如图5,M在点F与点A之间,点/ AFB+ / ANB+ / MAN=180 ,B在点F与点N2第四种情况:点 P在O O2内,如图6,Z APB= Z MAN+ Z ANB。【考点】圆周角定理,勾股定理逆定理,三角形内角和定理和外角性质。【分析】(1 根据直径所对的圆周角等于90即可得Z APB=90。根据勾股定理的逆定理可得z aob=90 ,再分点p在优弧Ab上;点p在劣弧Ab上两种情况讨论即可。(2)根据点P在O Oi上的位置分为四种情况得到Z
19、 APB与Z MAN、Z ANB之间的数量关系。变式一 如图12-1所示,在 ABC中,AB AC 2 , Z A 90o, O为BC的中点,动点 E在BA边上自由移动,动点F在AC边上自由移动.(1)动点E, F的位置若不能,请说明理由.点E, F的移动过程中, AOEF是否能成为Z EOF 45的等腰三角形?若能, 请指出 OEF为等腰三角形时精选当 Z EOF45时,设BE x , CF y,求y与x之间的函数解析式,写出 x的取值范围.在满足(2)(3)明你的结论.中的条件时,若以 O为圆心的圆与 AB相切(如图12-2),试探究直线 EF与eO的位置关系,并证图 12-1解:如图,(
20、图 12- 1)C(1 )点E, F移动的过程中, AOEF能成为 EOF 45的等腰三角形此时点 E, F的位置分别是: E是BA的中点,F与A重合. BE CF . 2 .E与A重合,F是AC的中点(2)在 OEB和 FOC 中,EOB FOC 135, EOB OEB 135, FOC OEB .又 t Bv BE x, CF y , OB OCC , OEBFOCBE BOCO CF1 - 22 22-2 , y -(1 x 2).2 x(3) EF与eO相切.BECOOEOFBE OE 即聖 BO BO OF OE OF又 BEOF 45 BEOsOEF . / BEOOEF 二点O
21、到AB和EF的距离相等./ AB与e O相切,点O到EF的距离等于eO的半径.二EF与eO相切.变式如图,在O O上位于直径 AB的异侧有定点 C和动点P, AC=2AB,点P在半圆弧AB上运动(不与 A B两点重 合),过点C作直线PB的垂线CD交PB于D点.(1) 如图 1,求证: PCD ABC(2) 当点P运动到什么位置时, PCDA ABC?请在图2中画出 PCD并说明理由;(3) 如图3,当点P运动到CPLAB时,求/ BCD的度数.【课后练习】1、( 2012?湘潭)如图,在O O上位于直径 AB的异侧有定点 C和动点P, AC=AB,点P在半圆弧AB上运动(不与 A、 B两点重
22、合),过点C作直线PB的垂线CD交PB于D点.图1图2(1) 如图 1,求证: PCDABC ;(2) 当点P运动到什么位置时, PCDABC ?请在图2中画出 PCD并说明理由;(3) 如图3,当点P运动到CP丄AB时,求/ BCD的度数.考点:圆周角定理;全等三角形的性质;垂径定理;相似三角形的判定。专题:几何综合题。分析:(1 )由AB是OO的直径,根据直径对的圆周角是直角,即可得/ ACB=90。,又由PD丄CD,可得/D= / ACB ,又由在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,即可得/ A= / P,根据有两角对应相等的三角形相似,即可判定: PCDABC ;(2 )由厶PCDABC,可知当PC=AB时, PCD ABC,利用相似比等于 1的相似三角形全等即可求得;(3)由/ ACB=90 AC=AB,可求得/ ABC的度数,然后利用相似,即可得 / PCD的度数,又由垂径定理,求得= ,然后利用圆周角定理求得/ ACP的度数,继而求得答案.解答:(1)证明:/ AB是O O的直径,/ ACB=90 / Z A 与/P 是 f对的圆周角, / A= / P,PCDs ABC ;(2) 解:当PC是O O的直径时, PCDA ABC ,理由:/ AB , PC是O O的半径,
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