圆锥曲线的标准方程

1、圆锥曲线的标准方程一、基础题1求适合条件的椭圆的标准方程1）长轴长是短轴长的 2 倍，且过点 2， 6 ；2）在 x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为2 如（ 1）题中由 x2 a2分析： 当方程有两种形式时， 应分别求解，2 y b261 求出 a 2 148 ，2b2 37 ，2在得方程 x148 372y2 1后，不能依此写出另一方程2y1482 x 371解：（1）设椭圆的标准方程为2x2a2 y b221 或 y2a22 x b21由已知 a 2b 又过点 2， 6 ，因此有 2 2a2由、，得14862 b2 b262 a2 37 或 a 21或22b252，b2

2、13故所求的方程为148 372y2 1 或2y2522x1132）设方程为2x2a2by22 1由已知， c 3 ， b3，所以 a2 18 故所求方程为2x182y2 19 说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是22 x22 y22 1或 y22 a 2 b2a2若不能确定，应设方程2 x b2选标准，定参数”关键在于焦点的位置是否确定，2 根据下列条件，求双曲线的标准方程1）过点 P3，145 ，16 ，5 且焦点在坐标轴上32) c26 ，经过点（ 5，2），焦点在 x 轴上（ 3）与双曲线 x162y 1 有相同焦点，且经过4点 3 2，22解：（ 1）设双曲线方程为 xm2y 1，

3、 P 、Q 两点在双曲线上， n9 225m 16 n256 259m n1解得1m 16n9所求双曲线方程为x216说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的2）焦点在 x 轴上，c 6 ，设所求双曲线方程为：2y1 （其中 066）双曲线经过点（5，2）， 256 41，5或30（舍去），所求双曲线方程是x53）2 设所求 双曲 线方程 为： x161016 ，双曲线过点 3 2，2 ， 18164或14 （舍），所求双曲线方程为2 x 122 y2 1 8说明：与双曲线2x162y 1 有公共焦点的双曲线系方程为42x162y1 后，便有了以上巧妙4的设法3求与双曲线

4、 x y16 91 共渐近线且过 A 2 3，点的双曲线方程及离心率2解法一： 双曲线 x y16 91的渐近线方程为：1）设所求双曲线方程为2x2a2 y b21，34 ，b34 a A 2 3， 3 在双曲线上122 a9b2由，得方程组无解22）设双曲线方程为 y 2a22 x b21， b 4a3 A 2 3， 3 在双曲线上，12b2由得9，b2 4 ，42所求双曲线方程为： y941且离心率22xy16 922解法二： 设与双曲线 x y 1 共渐近线的双曲线方程为：16 9点 A 2 3， 3 在双曲线上，12161 ，所求双曲线方程为：422 xy16 911 ，即42 y94

5、x2说明：11）不难证明与双曲线161共渐近线的双曲线方程2 x 16般地，在已知渐近线方程或与已知双曲线有相同渐近线的条件下，利用双曲线系方程22 xya2b24顶点在原点，焦点在 y 轴上，且过点 P（4，2）的抛物线方程是（）2 2 2 2 1（A） x2 8y（B） x24y（C） x22y（D） x2 y28，则抛物线方程为5抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y 轴垂直的弦长等于、解答题622求以曲线 2x2 y24x1020 和 y2x2 的交点与原点的连线为渐近线，且实轴长为12 的双曲线的标准方程222x2 y2 4x100x3x32解：，或2渐近线方程为 y 2x

6、y2 2x 2y2y3当焦点在 x 轴上时，由b 2 且a6，得b4a322所求双曲线方程为xy13616当焦点在 y 轴上时，由a2，且a6，得b9b322所求双曲线方程为yx136 81说明：（ 1）“定量”与“定位”是求双曲线标准方程的两个过程，解题过程中应准确把握（ 2）为避免上述的“定位”讨论，我们可以用有相同渐近线的双曲线系方程去解，请读者自行完成7 已知双曲线的渐近线方程为3x 2y 0 ，两条准线间的距离为16 13 ，求双曲线标准方程13解： 双曲线渐近线方程为 y2x，3x2设双曲线方程为40，b29 ， 准线方 程为 ：a24 1313 ，8 131316 13 ，130

7、，a2b24 ， 准线 方程为： y9 13 ，13 ，18 131316 13 ，136481 ，所求双曲线方程为：x2162y361或 9y2 81x264 2568中心在原点，一个焦点为 F 1，0的双曲线，其实轴长与虚轴长之比为m，求双曲线标准方程9解：解： 设双曲线的标准方程为2x2m2m12y12m12x2a2 y b2b21，2a2b1为所求双曲线的标准方程求中心在原点，对称轴为坐标轴经过点设所求双曲线方程为：x22 y2 1 k kP 1，0 ，则19kk1，k8，所求双曲线方程为c2 1，解得b22mm2 112m1且离心率为 2 的双曲线标准方程 321，2x2 18说明：

8、( 1 )离心率 e 2 是双曲线的等轴双曲线的充要条件，证明如下：设等轴双曲线x 2 y2 m2 m 0 ，则 a22 2 2 2 b m ， c ab22m2 ，c2m ， e c2m 2am反之，如果一个双曲线的离心率 e2c2 ， c2a ， c 22a2，a2 2 2 2 a b 2a ， ab2， a b双曲线是等轴双曲线（ 2 ）还可以证明等轴双曲线的其他性质：两条渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距 离是它到两个焦点的距离的比例中项等10 椭圆的一个顶点为 A 2，0 ，其长轴长是短轴长的 2 倍，求椭圆的标准方程 分析： 题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置1；2

9、2 解：（ 1）当 A 2，0 为长轴端点时， a 2 ， b 1，椭圆的标准方程为： x y4122（2）当 A 2，0 为短轴端点时， b 2， a 4，椭圆的标准方程为： x y 1；4 16 说明： 椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖 的，因而要考虑两种情况11已知中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆与直线 x y 10 交于 A 、B 两点， M为 AB 中点， OM 的斜率为 0.25，椭圆的短轴长为2x2a2，求椭圆的方程解：由题意，设椭圆方程为y1kOM2x2a2y2xMyMxM1 ，得x1 x222axa22a124 ， a2a2x 0

10、 ，4，yMxM11 a22 x2y2 1y1 为所求4 说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法； （ 2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系 数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题2 2 212已知 ABC 的三个顶点是圆 x2 y2 9x 0与抛物线 y 2px p 0 的交点，且ABC的垂心恰好是抛物线的焦点，求抛物线的方程 （答案： y2 4x ）13已知直角 OAB的直角顶点 O为原点， A、B在抛物线 y2 2px p 0 上，原点在直线 AB 上的射影为 D 2, 1 ，求抛物线的方程（答案： y 2 5 x ）214已知抛物线 y2 2px p 0 与直线 y x 1相交于 A、 B两点，以弦长 AB为直径的圆 恰好过原点，求此抛物线的方程2 （答案： y2 x