哈工大倒立摆试验报告

1、哈工大倒立摆实验报告研究生自动控制专业实验地点： A区主楼 518房间平面二级倒立摆系统实验报告主编：钱玉恒，杨亚非哈工大航天学院控制科学实验室平面二级倒立摆控制系统实验报告一、实验内容1、熟悉平面二级倒立摆控制系统的结构和原理；2、了解平面二级倒立摆物理模型建模与控制器设计；3、掌握 LQR控制器仿真与实验；二、实验设备1、平面二级倒立摆控制系统一套 平面二级倒立摆控制系统包括平面二级倒立摆控制器、 平面二级倒 立摆本体实验装置等组成。在平面二级倒立摆本体上有起动 / 停止电源 开关，螺旋浆起动 / 停止开关。2、平面二级倒立摆控制系统计算机部分 平面二级倒立摆控制系统计算机部分主要有计算机

2、、 SV-400 控制 卡等；三、实验步骤1、系统实验的线路连接 平面二级倒立摆本体与计算机全部采用标准线连接， 电源部分有标 准电源线，在试验前，实验装置的线路已经连接完毕。2、启动实验装置 通电之前，请详细检察电源等连线是否正确， 确认无误后， 可接平 面二级倒立摆本体电源，随后起动计算机和控制器。3、系统实验的参数调试 根据仿真的数据及控制规则进行参数调试， 直到获得较理想参数为四、实验要求1、学生上机前要求学生在实际上机调试之前， 必须用自己的计算机， 对系统的仿真全 部做完，并且经过老师的检查许可后，才能申请上机调试。 2、学生上机要求上机的同学要按照要求进行实验， 不得有违反操作规

3、程的现象， 严 格遵守实验室的有关规定。五、实验结果与分析 经过实际调试，实验结果如下： 当 LQR控制参数为：Kx14.142 ，Ka15.722 ，Kb74.93Kx,29.49 ，Ka,196.29 ，Kb,34.83x a b系统的时间运行曲线如图 1、图 2 所示。图 1 第一组参数 X方向实际运动曲线图 2 第二组参数 Y方向实际运动曲线从图 1、图 2 中可以看出，X 方向控制较好，但Y 方向控制的波动幅度比较大，为此，需要进一步调整LQR控制参数。经过多次试验，得到如下一组比较好的控制参数：Kx 14.142 ，Ka15.892 ， Kb77.71Kx, 30.018 ，Ka,

4、193.73 ， Kb,33.355该组参数下，系统的实际运行曲线如下图 3、图 4 所示。 从图 3、图 4 可以看出，在该组参数的作用下，系统的控制性能得 到较大的改善，尤其是 Y 方向上的控制效果。对比实际 LQR控制器参数和仿真参数，可以发现，实际结果和仿真 结果存在较大差别。 有些仿真结果比较好的控制参数， 代入到实际系统 中运行时， 系统却是发散的。 这说明 LQR控制器的仿真设计只能作为理 论上的参考，而在实际应用时还需要根据实际系统的运行情况进行不断 的调试。另外，当LQR控制器 K矩阵参数有较小的变化时， 都有可能导致实际系统又稳定变为不稳定，这说明 LQR控制器的鲁棒性不好

5、。图 3 第二组参数 X方向实际运行曲线图 4 第二组参数 Y方向运行曲线六、系统建模思考题1、写出系统方程式，并进行系统模型线性化处理，写出推理过程？由拉各朗日方程：L q,q T q,q V q,q式中 L 为拉各朗日算子q为系统的广义坐标 拉各朗日方程由广义坐标 qi和 L表示为： d L L dt qi qi 式中 i 系统变量标号 i=1,2,3, ；q q= 1 ， 2 ， 3 称为广义变量；系统沿该广义坐标方向上的广义外力；1 2 1 2 2 2T mvm( x y z )22T 系统的动能， V 是系统的势能。则对于平面二级倒立摆 系统，其广义坐标为： x,y, 1, 1, 2

6、, 2 ； 系统的总动能为： T TM Tm1 Tm2 Tm3TM 支座的动能； Tm1摆杆 1的动能； Tm2 摆 杆 2 的动能； Tm3 质量块的动能；如果令：x1摆杆 1 中心点 X坐标； y1摆杆 1 中心点 Y坐标； z1摆 杆 1 中心点 Z 坐标；x2摆杆 2中心点 X坐标； y2摆杆 2中心点 Y坐标； z2摆 杆 2 中心点 Z 坐标；x3 质量块中心点 X 坐标； y3 质量块中心点 Y坐标； z3 质 量块中心点 Z 坐标；2Tm2121212m1x1m1 y1m1z12 1 12 1 12 1 11M xx22x12Myy1 2 1 2 1 2 1 22m2x2 2m

7、2y2 2m2z2 2J2( 221又有：x1x2x31 2 1 2 1 2 Tm3 2 m3x3 2m3y3 2m3z3x32 l 1Siny12l2Siny2z3l1Siny3z3y3z31l1Sin 12 1 11 l1Cos 12 1 11 l2Cos 22 2 212 l 2Cos 2l1Sinl1Cos系统的总势能为V：由于在广义坐标T-V，可以得到因此可以建立以下方程：Vm1112m1z1g1 m2z2g m3z3gVm2 Vm32 上外力为 0，由拉各朗日算子 Ld dtL1L10dLL0dt22dLL0dt11dLL0dt22上式可以计算出 1, 1, 2 ,2 设用以下形式

8、表示：1 x,y, 1, 1, 2, 2,x,y, 1, 1, 2, 2,x,y1f2 x,y, 1, 1, 2,2f3 x,y, 1, 1, 2,2 f4 x,y, 1, 1, 2,2,x,y, 1, 1, 2, 2,x,y2,x,y, 1, 1, 2, 2,x,y2,x,y, 1, 1, 2, 2,x, y由上式我们分别对数展开并线性化：1, 1, 2 , 2在平衡位置进行泰勒级ki01fi x，ki02fi y，ki03ki041，fi1，ki05fi2，ki06fiffifiki10fiki07fiki08fiki092，x，y，11，ki11fiki12fiki13fiki14fi2

9、，2，x，y式中 i为变量标号，i=1,2,3,4由平衡位置初始条件x,y,1, 1, 2 ,2 , x1,y1, 11, 2 , 2, x1 ,y1都等于0，kij (i 1,2,3,4; j 01 14) 取极限：kijx 0,y0, 10, 1 0, 2 0, 2 0,x 0,y 0, 10, 1 0, 2 0, 2 0,x0,y 0于是有：1 k103 1 k105 2k113x2 k3031 k305 2k313x1 k2041 k206 2k214yk404 1k406 2其中参数计算公式如下k103 k2045(2m1 m2 2m3)g(4m1 3m2 12m3 )l1k105

10、k2069m2g(4m1 3m2 12m3 )l3(2m1 m2 4m3)2(4m1 3m2 12m3 )l1k303k40410(3m1 m2 3m3)g(4m1 3m2 12m3 )l 2k305k40614( 2m1 m2 2m3)g(4m1 3m2 12m3 )l 219m1gk313k414(4m1 3m2 12m3 )l 2k113 k214从上式可以看出，在近似线性化后，可以对 制,令:X，Y 方向分别进行控设:则有:u1 x， u2yx,1, 2 ,x, 1,y, 1, 2,y, 1, 2XxAxX xBxuxYxXyYyCxXAyXyByuyCyXx0001000100001

11、0020000010XxXxuxx000000x1x10k103k105000k11320k303k305000k313100000Yx010000 X x001000y00010001000010020000010XyXyuyy000000y1y10k204k206000k21420k404k406000k414100000Yy010000 X y001000从式中可以看出，对于平面两级倒立摆，在经过近似线性化后， X 方向和 Y 方向已经解耦， 这样，系统由一个两输入、 十二输出的系统转 化为两个独立的的相对简单的系统， 每个系统只含有一个输入， 六个输 出 ，降低了控制的难度。实际参数分

12、别为：m1=0.06(kg) ；m2=0.13(kg) ；m3=0.27(kg) ；l 1=0.2(m) ；l 2=0.55(m) ； g=9.8 ；Mx, My 在中间运算过程中消去，因此不用测量，由于配重块跟随摆 杆转动， X，Y 方向的转动惯量可以稍作调整： k103=50.2235 ， k105=-14.7272 ， k113=-5.1248k1j=0，j03，05，13k303=-50.8908 ， k305=49.4875 ，k214=5.19294k3j=0，j03，05，13k204=50.2235 ， k206=-14.7272 ， k113=-5.12485.1248x5.

13、19294x5.1248y5.19294yk2j=0，j04，k404=-50.8908k414=5.19294k4j=0，j04，1 50.2235 1 14.7272 22 50.8908 1 49.4875 21 50.2235 1 14.7272 22 50.8908 1 49.4875 206，14， k406=49.4875 ，06，14得系统的状态方程表示式：x00010001000010020000010X x 2Xxux000000x11050.2235- 14.7272000- 5.124820- 50.890849.48750005.1929410100000Yx0 1

14、0 0 0 0 X x001000y00010001000010020000010XyXyuyy000000y1y1050.2235- 14.7272000- 5.124820- 50.890849.48750005.19294100000(3-4-4) Yy 010000 X y001000七、LQR试验思考题1、根据系统模型， 采用 LQR法设计一个状态控制器， 用程序进行仿真？ 经过多次仿真尝试，取矩阵取矩阵 Qxx =diag (550 450 100 1 1 1)Rxx=0.5 阶跃输入( x=0.1 )得到增益矩阵为：K=33.1662 146.0310 285.3456 32.5

15、116 49.3370 50.2349系统仿真结果如图 5。11图 5 LQR 控制器仿真结果系统超调26%，调整时间 ts 2s ，控制指标达到要求。2、比较 LQR和 LQY控制器的区别，用图分析参数变化？分析仿真与实 际控制之间的差异，为什么？利用 LQY法设计控制器，取矩阵 Qxy =diag (500 400 100) Rxy =0.5 阶跃输入( x=0.1 )，得到增益矩阵如下：K=31.6228 137.1161 268.0454 30.7955 46.3695 47.1462仿真结果如图 6。12图 6 LQY 控制器仿真结果系统超调25%，调整时间 ts 2s ，控制指标和 LQR法设计的控制器并无太大差别。另外，仔细观察 LQR和 LQY控制器的仿真曲线，大致可得出如下结 论：LQY 控制