恒成立能成立问题总结详细

1、恒成立问题的类型和能成立问题及方法处理函数与不等式的恒成立、能成立、恰成立问题是高中数学中的一个重点、难点问题。 这类问题在各类考试以及高考中都屡见不鲜。感觉题型变化无常，没有一个固定的思想 方法去处理，一直困扰着学生，感到不知如何下手。在此为了更好的准确地把握快速解 决这类问题，本文通过举例说明这类问题的一些常规处理。一、函数法一)构造一次函数利用一次函数的图象或单调性来解决对于一次函数 f (x) kx b(k 0),x m,n 有：f (x) 0恒成立f (x) 0恒成立k0f(m) 0k0f (n) 0f(m) 0; f(n) 0;f(m) 0 f(n) 0例 1 若不等式 2x 1

2、mx2 m对满足 2 m 2的所有 m都成立，求x的范 围。2解析：将不等式化为： m(x2 1) (2x 1) 0 ，构造一次型函数： g(m) (x2 1)m (2x 1)原命题等价于对满足 2 m 2的 m，使 g(m) 0 恒成立。2g( 2)02(x21)(2x 1)0由函数图象是一条线段，知应 g( 2)02(x1)(2x 1)0g(2) 02(x2 1) (2x 1) 017 13 17 13解得 17x 13，所以 x的范围是 x ( 17 ,13)。2 2 2 2学习参考小结：解题的关键是将看来是解关于x的不等式问题转化为以 m为变量， x 为参数的一次函数恒成立问题，再利用

3、一次函数的图象或单调性解题。练习 :(1) 若不等式 ax 1 0对 x 1,2 恒成立，求实数 a 的取值范围。2)对于 0 p 4 的一切实数，不等式 x2 px 4x p 3 恒成立，求 x的取值范围。(答案：或)(二)构造二次函数利用二次函数的图像与性质及二次方程根的分布来解决。对于二次函数 f (x) ax2 bx c 0(a 0) 有：1)f (x) 0在x R 上恒成立 a 0且0；f (x) 0在x R 上恒成立 a 0且 03)当 a 0 时，若f (x) 0在 , 上恒成立2a 或2ba或 2af ( ) 0若 f (x) 0在 , 上恒成立f( ) 0f( ) 04)当

4、a 0时，若 f (x) 0在 , 上恒成立学习参考若 f (x) 0在 , 上恒成立f( ) 0f( ) 0bb2a 或 2a f ( ) 0 0b2af ( ) 0例 2 若关于 x的 二次 不等式： ax2 (a 1)x a 1 0 的解集为 R ，求 a的取值范围解：由题意知，要使原不等式的解集为 R ，即对一切实数 x原不等式都成立。只须a0a0(a 1)2 4a(a 1) 0a03a2 2a 1 0a0 a 的取值范围是11aa 1或 a33说明：1、本题若无“二次不等式” 的条件，还应考虑 a 0的情况，但对本题讲 a 0 时式子不恒成立。 2、只有定义在 R上的恒二次不等式才能

5、实施判别式法；否则，易造成 失解。练习：1、 已知函数 ymx2 6mx m 8 的定义域为 R，求实数 m 的取值范围。答案 0 m 1 )2 、已知函数 f (x) x2 2kx 2在( 1, )时 f(x) k恒成立，求实数 k 的 取值范围。(答案 3 k 1)提示：构造一个新函数 F(x) f(x) k 是解题的关 键，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。(三)、利用函数的最值 分离参数法或值域法若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围 为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边即 分离参变量 ， 则可将恒成立

6、问题转化成函数的最值问题求解。 注意参数的端点值能否取到需检验 。类型一 ： “ a f (x) ”型恒成立)学习参考1) x D,f (x) m恒成立f(x)min m；2) x D, f (x) m恒成立m f (x)max；、(能成立、有解) ：1) x D, f (x) m能成立m f (x)在D内有解f (x)max m；2)x D, f (x) m 能成立m f (x)在 D内有解m f ( x) min ；、(恰成立)(1)不等式 f x A在区间 D 上恰成立不等式 f x A的解集为 D ；(2)不等式 f x B在区间 D上恰成立不等式 f x B 的解集为 D.四、(方程

7、有解)方程 m f (x) 在某个区间上有解，只需求出 f (x)在区间上的值域 A使m A。例 3：设 f (x) lg1 2x a4 x,3,其中 a R ，如果 x ( .1)时，f (x) 恒有意义，求 a解：如果 x ( .1) 时，的取值范围。f(x)恒有意义 不等式 1 2x a4x 0对 x ( ,1)恒1 2xx 2x成立 a x (2 x 2 2x) ， x ( .1)恒成立。4x 2 1令t 2 x， g(t) (t t2)，又 x ( .1)，则 t ( , )2 11 a g(t)对t ( , )恒成立，又 g(t) 在t , )上为减函数， 22133g(t)max

8、 g( ) ， a244例 4：若关于 x的不等式 x2 ax a 3 的解集不是空集，则实数 a 的取值范围。解： 设 f(x) x2 ax a . 则关于 x 的不等 式 x2 ax a 3的解集 不是空 集学习参考f (x) 3在 R上能成立f (x)min3,即 f ( x) min4a a243，解得 a 6或 a 2例 5 不等式 kx2 k 2 0 有解，求 k 的取值范围。2 2 2 解：不等式 kx2 k 2 0 有解k(x2 1) 2 能成立 k 2 能成立x2 1 k ( 22 )max 2， 所以 k ( ,2) 。x1例 6(2008 年上海)已知函数 f(x)2x2

9、1|x|若不等式 2t f(2t)+m f(t)0 对于 t1, 2恒 成立，求实数 m 的取值范围解：本题可通过变量分离来解决11 当t 1,2 时， 2t(22t2t ) m(2t t) 0即 m(22t 1) (24t 1) ， 22t 1 0， m(22t 1)2tt 1,2 ， (22t 1) 17, 5故 m 的取值范围是 5, )例 7( 1990 年全国)设f (x) lg1x 2x 3x(n 1)x nx an，其中a 为实数，任意给定的自然数，且n 2，如果 f (x) 当 x ( ，1时有意义，求 a 的取值范围解：本题即为对于 x ( ，1，有 1x 2x(n 1)x

10、nxa 0恒成立这里有三种元素交织在一起，结构复杂，难以下手，若考虑到求 a 的范围，可先将 a1 2 n 1分离出来，得 a ( )x ( )x ( )x(n 2) ，对于 x ( ，1恒成立n n n1 x 2 x n 1 x构造函数 g(x) ( )x ( )x ()x ，则问题转化为求函数 g(x) 在n n nkxx ( ，1 上 的 值 域 ， 由 于 函 数 u(x) ( )x (k 1，2， ，n 1) 在 n学习参考x ( ， 1 上是单调增函数，1则 g(x)在( ，1 上为单调增函数于是有 g( x)的最大值为 g(1)1(n 1)，21从而可得 a(n 1) 2如何在区

11、间 D上求函数 f(x) 的最大值或者最小值问题 , 我们可以通过习题的实际 , 采 取合理有效的方法进行求解 , 通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的 配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数f (x )的最值类型二：“ f x g(x) ”型1) x D, f (x) g(x)恒成立f (x)的图象恒在 g(x)的图象的上方f(x)min g(x)max(x D)恒成立h(x) f(x) g(x) 0恒成立。例 8 已知 f(x)= lg(x+1) ， g(x)=lg(2x+t) ，若当 x0,1 时， f(x) g(x) 恒成立， 求实数 t 的取值范围

12、 .解 f(x) g(x) 在 x 0,1 恒 成 立 ， 即 在 x 0,1 恒 成 立在 0,1 上的最大值小于或等于零x0,1 ，F(x) 0，即 F(x) 在0,1 上单调递减， F(0) 是最大值 .f(x) F(0)=1 - t 0，即 t 1.类型三：“ f x1 g(x2) ”型 (恒成立和能成立交叉)学习参考1) x1 D, x2 E, f (x1) g(x2)成立f (x1)min g(x2)f(x1) min g(x2)f (x1) min g(x) min ；例 9 已知两个函数 f (x) 8x2 16x k,g(x) 2x3 5x2 4x，其中 k 为实数。( 1)

13、对任意 x 3,3 ，都有 f (x) g( x)成立，求 k 的取值范围；(2)存在 x3,3 ，使 f (x) g( x)成立，求 k 的取值范围；( 3)对任意 x1,x23,3 ，都有 f (x1) g(x2) ，求 k的取值范围。解析：(1)设 h(x) g(x) f(x) 2x3 3x2 12x k问题转化为 x 3,3 时， h(x) 0恒成立，故 h(x)min 0。令 h(x) 6x2 6x 12 0，得 x1或x 2。由 h( 1) 7 k,h(2) 20 k,h( 3) k 45,h(3) k 9，故 h( x) min 45 k 由 k 45 0 k 45 。(2)据

14、题意：存在 x 3,3 ，使 f(x) g(x) 成立 h(x) g(x) f(x) 0 在 x 3,3 有解，故 h( x )max 0 ，由( 1)知 h(x)max k 7，于是得 k 7。( 3)分析：它与( 1)问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别。对任意x1,x23,3 ，都有 f (x1) g(x2) 成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，x1,x2的取值在 3,3 上具有任意性，因而要使原不等式恒成立的充要条件是：f (x)max g(x)min,x3,3 ， 2 2由 g(x) 6x2 10x 4 0，得 x 1或x，易得 g(x)min g( 3) 21，3又 f

15、 (x) 8(x 1)2 8 k，x 3,3 .故 f (x)max f (3) 120 k ，令 120 k 21 k 141。学习参考(a R).1a例10：(2010山东)已知函数 f (x) lnx ax 1 x1( )当a时，讨论 f(x) 的单调性；2)设 g(x)f (x1) g(x2) ，21x2 2bx 4.当 a时，若对任意 x14求实数 b 取值范围 .(0, 2) ，存在 x2 1,2 ，使解析：()当a 0时，函数 f (x)在(0,1)单调递减，1a时 x1 x2 ，2(0,) 单调递减；1当 0 a 时，函数2h(x) 0 恒成立，此时(1, ) 单调递增；f (

16、 x)在(0,1) 单调递减，f (x) 0 ，函数 f (x) 在(1,1 1) 单调递增， a1( 1, ) 单调递减 . a1)当 a 时， f (x) 在( 0， 1)上是减函数，在1，2)上是增函数，所以对任意x1 (0, 2) ，有 f (x1) f (1) -122又已知存在x2 1,2 ，使 f(x1) g(x2) ，所以12 g(x2) ，x2 1,2 ，()又 g(x) (x b)2 4 b2,x 1,2当 b 1时， g(x)min g(1) 5 2b 0 与()矛盾；当 b 1,2 时， g(x)min g(1) 4 b2 0 也与()矛盾； 1 17当 b 2 时，

17、g(x)min g(2) 8 4b ,b .2817 综上，实数 b的取值范围是 17, ).8例 11 已知函数 ，若对任意 x1 ，x2-2,2 ，都有 f(x 1) g(x 2) ，求 c的范围 .解 因为对任意的 x1，x2-2,2 ，都有 f(x 1) g(x 2)成立， f(x) max 0 得 x3 或 x-1 ；f (x) 0 得-1 x 3.f(x) 在 -2,-1 为增函数，在 -1,2 为减函数 .f( -1)=3 ， f(2)=-6 ，f(x) max=3. . c -24.类型四： “ f (x1) f x f (x2) ”型例 12：已知函数，若对任意 xR，都有

18、f(x 1) f(x) f(x 2) 成立，则|x 1-x 2| 的最小值为 .解 对任意 xR，不等式 f(x 1) f(x) f(x 2) 恒成立，f(x 1) ，f(x 2) 分别是 f(x) 的最小值和最大值 .对于函数 y=sinx ，取得最大值和最小值的两点之间最小距离是 ，即半个周期 .又函数 的周期为 4，|x 1-x2| 的最小值为 2.类型五：例 13 (2005 湖北)在 y=2 x， y=log 2 x， y=x 2， y=cosx 这四个函数中，当 0x1x20”型例 14 已知函数 f(x) 定义域为 -1,1 ，f(1)=1 ，若 m，n-1,1 ，m+n0 时，

19、都有解得 t -2 或 t=0 或 t 2.评注 形如不等式“0”或“0”恒成立，实际上是函数的单调性的另一种表现形式，在解题时要注意此种类型不等式所蕴涵的重要信息 . 类型七：“ |f(x 1) f(x 2)| t(t 为常数 ) ”型例 15 已知函数 f(x)=-x 4+2x3，则对任意 t 1，t 2- ,2(t 1t 2) 都有|f(x 1)-f(x 2)| 恒成立，当且仅当 t 1=，t 2=时取等号 .解 因为 |f(x 1)-f(x 2)| |f(x) max-f(x) min| 恒成立，由， x- ,2 ，易求得 ，.|f(x 1)-f(x 2)| 2.类型八：“ |f(x

20、1)-f(x 2)| |x 1-x 2| ”型例 16 已知函数 f(x)=x 3+ax+b，对于 x1,x 2(0,)(x 1x2) 时总有 |f(x 1)-f(x 2)| |x 1-x 2| 成立，求实数 a 的范围 .解 由 f(x)=x 3+ax+b ，2得 f (x)=3x 2+a，当 x(0,) 时， af (x) 1+a.学习参考|f(x 1)-f(x 2)| 0) 型的不等式恒成立问题 .(四)数形结合法 数学家华罗庚曾说过： “数缺形时少直观，形缺数时难入微” ，这充分说明了数形结合 思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不 等式有着密切的联

21、系 , 对一些不能把数放在一侧的，可以利用构造对应两个函数的图 象法求解。1 ) f (x) g(x) 函数 f (x)图象恒在函数 g(x) 图象上方；2) f (x) g(x) 函数 f ( x)图象恒在函数 g(x) 图象下上方。1例 17 已知 a 0,a 1, f (x) x2 ax,当x ( 1,1)时,有f (x)恒成立 ，求实数 a2 的取值范围。解析：由 f (x) x2 ax 1，得 x2 1 a x ，构造出两个函数并在同一直角坐22标系中作出它们的图 象，如果两 个函数 分别在 x 1和x 1处相交，则由2 1 2 1 1 x 1 x12a及( 1)2a 1得到 a分别

22、等于 2和 0.5 ，并作出函数 y 2x及y ( )x2 2 21的图象，所以，要想使函数 x2ax在区间 x ( 1,1)中恒成立， 只须 y 2x 在区21间 x ( 1,1) 对应的图象在 y x2在区间 x ( 1,1) 对应图象的上面即可。当2学习参考1a 1时 , 只有 a 2 才 能 保 证 ， 而 0 a 1时，只有 a才 可 以 ， 所 以21a 12,1) (1,2 。24例 18 设 f (x)x2 4x , g(x) x 1 a, 若恒有 f (x) g(x)成立, 求实数 a分析：在同一直角坐标系中作出 f (x) 及 g(x) 的图象如图所示， f (x) 的图象

23、是半圆 (x 2)2 y2 4(y 0)g(x) 的图象是平行的直线系 4x 3y 3 3a 0 。-2要使 f(x) g(x) 恒成立，-4-4的取值范围则圆心 ( 2,0) 到直线 4x 3y 3 3a 0的距离满足d 8 3 3a 255舍去 )解得 a5或a 53练习：若对任意 x R, 不等式 x ax 恒成立，求实数 a的取值范围。 1 a 1练习：1、已知二次函数满足 f (0) 1 ，而且 f (x 1) f (x) 2 x ，请解决下列问题(1) 求二次函数的解析式。 f (x) x2 x 1(2)若 f (x)2xm 在区间1,1上恒成立 ，求 m 的取值范围。( , 1)

24、(3)若 f (x)2xm 在区间1,1上恒成立 ，求 m 的取值范围。1,5(4)若 f (x)2xm 在区间1,1上有解 ，求 m 的取值范围。 (,5)2、已知函数 f x x2 a(x 0,a R) ，若 f x 在区间 2, 是增函数，求实数 a 的取值 x范围。 答案： a 16123、已知函数 f (x) ln x ax2 2x(a 0) 存在单调递减区间，求 a 的取值范围。2学习参考答案： ( 1,0) (0, )4、已知函数 f (x)的值域0,4( x 2,2) ，函数 g(x) ax 1,x 2,2， x1 2,2, x0 2, 2使得 g(x0) f (x1)成立，则实数 a的取值范围是 。55答： ( , , ) 。22225、已知函数 f ( x)=x2,( x 2, 2) ， g(x) a2 sin(2x) 3a,x 0, ，62x1 2,2 ， 总 x0