微积分基本知识

1、微积分基本知识第一章、 极限与连续一、数列的极限1数列 定义：按着正整数的顺序排列起来的无穷多个数x1, ,xn, 叫数列，记作 xn ，并吧每个数叫做数列的 项，第 n个数叫做 数列 的第 n 项或通项 界的概念：一个数列 xn ，若 M 0 ， s.t. 对 n N*，都有 xn M ，则称 xn 是有界的： 若不论 M 有多大，总 m N* ， s.t. xm M ，则称 xn 是无界的若 a xn b，则 a称为 xn的下界 ，b 称为 xn的上界xn 有界的充要条件： xn 既有上界，又有下界2数列极限的概念定义：设 xn 为一个数列， a为一个常数，若对0，总 N , s.t. 当

2、n N 时，有xn a 则称 a 是数列 xn 的极限 ，记作 lim xn a 或 xn a(n )n数列有极限时，称该数列为 收敛的，否则为 发散 的 几何意义：从第 N 1项开始， xn 的所有项全部落在点 a的 邻域 (a ,a ) 3 数列极限的性质唯一性 收敛必有界 保号性：极限大小关系 数列大小关系( n N 时)二、函数的极限1. 定义：两种情形 x x0：设 f (x) 在点 x0处的某去心邻域有定义， A为常数，若对0 ，0，s.t. 当0 x x0时，恒有 f(x) A 成立， 则称 f(x)在 x x0时有极限 A记作 lim f(x) A或 f (x) A(x x0)

3、x x0几何意义 ：对0，0 ， s.t. 当 0x x0时， f(x) 介于两直线 y A单侧极限 ：设 f (x) 在点 x0处的右侧某邻域有定义， A为常数，若对0，0，s.t. 当 0 x x0 时，恒有 f (x) A 成立，称 f(x) 在 x0 处有右极限 A ， 记作 lim f (x) A或 f(x0 ) Ax x0lim f (x) A的充要条件 为： f(x0) f (x0)=Ax x0垂直渐近线： 当 lim f(x) 时， x x0 为 f (x) 在 x0 处的渐近线x x0x：设函数 f(x) 在 x b 0上有定义， A为常数，若对0， X b, s.t当 x

4、X 时，有 f(x) A 成立，则称 f (x) 在 x时有极限 A，记作lim f(x) A 或 f (x) A(x )lim f(x) A的充要条件 为： lim f(x) lim f (x) Ax x x水平渐进线 ： 若 lim f(x) A或 lim f(x) A，则 y A是 f(x) 的水平渐近线 xx2. 函数极限的性质：唯一性 局部有界性 局部保号性(在当 0 x x0时成立)三、极限的运算法则1四则运算法则设 f(x)、 g(x)的极限存在 ，lim f(x) A,lim g(x) B则 lim f (x) g(x) A B lim f (x) g( x) AB lim f

5、 (x) A (当 B 0 时) g(x) B lim cf(x) cA ( c 为常数)lim f (x)k Ak (k 为正整数 )2复合运算法则设 y f (x)，若 lim (x) a，则 lim f (x) f (a)x x0x x0可以写成 lim f (x) flim (x) (换元法基础) x x0x x0四、极限存在准则及两个重要极限1极限存在准则夹逼准则 设有三个数列 xn ， yn ， zn ，满足ynxnzn，lim yn lim zn a则 lim xn an n n单调有界准则 有界数列必有极限 3重要极限 limx0sin xx1 lim 11或 lim 1 x

6、x e x0五、无穷大与无穷小1无穷小：在自变量 某个变化过程中 lim f(x)0，则称 f(x)为 x 在该变化过程中的无穷小 若 f(x) 0，则 f(x)为 x 在所有变化过程中的无穷小若 f (x) ，则 f(x) 不是无穷小性质：1. 有限个无穷小的代数和为无穷小2. 常量与无穷小的乘积为无穷小3. 有限个无穷小的乘积为无穷小4. 有极限的量与无穷小的乘积为无穷小5. 有界变量与无穷小的乘积为无穷小定理： lim f(x) A的充要条件 是 f (x) A (x)，其中 (x)为 x 在该变化中过程 中的无穷小无穷小的比较： (趋于 0 的速度的大小比较 )(x),(x) ，为同一

7、变化过程中 的无穷小x2cosx ； (12x) 1 x； ax 1 xlna若 limc( c 0常数)则是的同阶无穷小(当 c 1时为等价无穷小 )若 limk c( c 0常数)则是的 k 阶无穷小若 lim0则是的高阶无穷小常用等价无穷小： ( x 0) x sin x tanx arcsin x arctan x ln(1 x) ex 1；2无穷大：设函数 f (x) 在 x0的某去心邻域有定义。 若对于 M 0， 0 s.t. 当0 x x0时，恒有 f (x) M称 f (x)当 x x0时为无穷大，记作 lim f (x) x x0无穷大定理 ：lim f (x)无穷小lim

8、f(x)为无穷小下：趋于某点，去心邻域不为 0)lim f (x)为无穷大 无穷大的乘积为无穷大， 其和、差、商不确定六、连续函数1定义设函数 y f(x)在 x0某邻域有定义，若对0，0 s.t. 当0 x x0时，恒有： f(x) f (x0)也可记作 lim f(x) f (x0) 或 lim y 0x x0x 0f(x0) f (x0) (或 f (x0 ) f(x0) )为左(或右)连续2函数的间断点第一类间断点：左右极限存在左右极限相等，该处无定义左右极限不等可去间断点跳跃间断点第二类间断点：无穷间断点，震荡间断点等3. 连续函数的运算若函数 f (x) 与 g(x) 都在 x处连

9、续，则函数f (x) f(x) g(x) ， f(x)g(x)，( g(x) 0)g(x)定理： y fg(x) ， g(x0) u0 ，若 g(x) 在 x0 处连续， f (g) 在 u0处连续，则y fg(x)在 x0处连续4闭区间连续 函数的性质 最值定理： f (x) 在 a,b 上连续， 则 x1,x2 ，对一切 x a,b有f (x1) f (x) f (x2) 介值定理： f(x)在a,b上连续，对于 f (a)与 f (b)之间的任何数 u，至少 一点s.t. f( ) u第二章、导数、导数的概念定义：设函数 yf (x) 在点 x0 的某邻域有定义，如果极限lim f (x

10、0 x) f(x0)x0存在，则称函数 y f (x) 在点x0可导，极限值为函数 y f (x) 在点 x0 处的 导数 ，记为 f (x0)单侧导数：设函数 y f(x)在点 x0处的左侧 (x0 , x0 有定义，若极限lim f (x0 x) f (x0)x0存在，则称此极限为函数xy f(x) 在点 x0 处的 左导数， 记为 f (x0) ，类似有 右导数 f (x0)导函数：函数 y f (x) 在某区间上可导，则 f (x x) f (x) f (x) limx 0 x性质：函数 y f(x)在点 x0处可导的充要条件 f(x0) f (x0)可导 连续导数的几何意义： 函数点

11、处的切线斜率 二、求导法则 1函数的和、差、积、商的求导法则定理：若 u u(x),v v(x)都在 x 处可导，则函数 u(x) v(x)在 x 处也可导，且u(x) v(x) u (x) v (x)定理：若 u u(x),v v(x)都在 x 处可导，则函数 u(x)v(x)在 x 处也可导，且u(x)v(x) uv uv推论：若 u1, ,un都在 x 处可导， 则函数 u1u2 un在 x 处也可导，且u1u2 un u1u2 un u1u2 unu1u2 un定理：若 u u(x),v v(x) 都在 x 处可导 ，则函数 u(x) 在 x 处也可导，且 v(x)u(x) uv uv

12、v(x)v22反函数的求导法则 定理：设函数 x g (y)在I y上单调可导 ，它的值域为 Ix，而 g(y) 0 ，则其反函数y g 1(x) f (x)在区间 Ix 上可导，并且有f (x)1g(x)4 复合函数的求导法则定理：若函数 u (x)在 x0可导，函数 y f(u)在点 u0(x0)可导，则复合函数y f( (x) 在 x0 处可导 f ( (x) f ( (x) (x)三、高阶导数或ddxy ddyu ddux(连锁规则)定义：若函数 y f (x) 的导数 yf (x )仍可导，则 y f (x)导数为 y f(x) 的二阶导数， 记作 y, f(x),d 2y， 类似的

13、，有 n阶导数 y(n), f (n)(x),d nydx dx四、隐函数求导 对于 Fx,y(x) 0 ,或F x, y(x) Gx,y(x) ，若求 dydx 求导法：方程两侧对 x 求导 微分法：方程两侧求微分公式法： dyFx ，将方程化成 Fx,y=0，将 F 看成关于 x,y 的二元函数，分dx Fy别对 x,y 求偏导 Fx, Fy五、参数方程所确定的函数求导 x(t)， dydy dt dy /dx(t)yty(t) dxdt dx dt / dt(t)xt导数公式基本函数：C 0(x )1x(ax) ax ln a(loga x)1xlna(sin x)cosx(cos x)

14、 sin x(cot x)2 csc x(sec x) secxtanx导数运算法则 :(u v) u v(csc x)(arcsin x)(arccos x )(arctanx)(arccot x)(Cu)csc x cot x11 x211 x211 x2Cu(uv) uv uvu( )vuvuv2v(u v)(n) u(n)v(n)(n)(uv)nCnkuk0(n k )v(k)高阶导数Cf (axb)(n)Can f (n)(ax b)n (m)(x )mnAnmxnm,(n N* )若m n, 则 01 (n)1)n xnn!1x(ax)(n)xna ln a(loga x)(n)(

15、 1)n(sin x)(n) sin(x n )(cos x)( n)cos(x1 (n 1)! xn lna n2)1. o(xn 1) o(x)xn2. lixm0 f(xx) xf0(x0) f (x0) ，需补充条件 f(x) 在 x0处可导或该极限存在第三章、微分一、微分的概念定 义 ： 设 函 数 y f(x) 在 某 区 间 I 上 有 定 义 ， x0,x0 x I ， 若 y f (x0 x) f (x0) 可表示为y A x o( x) (其中 A与 x无关)，则称 A x为 y 在x0处 的微分，记作 dy A x dy与 y 的区别：当 y 为自变量时， dy y当 y

16、 为因变量时， dy y ， y dy o( x) ， dy 为 y 的线性主部 定理：对于一元函数 y f (x) ， 可导 可微 性质：一阶微分形式不变性，对于高阶微分 dny f (n)(x)(dx)n二、微分的几何意义“以直代曲” 三、微分中值定理中值定理条件结论Rollea,b 上连续,(a,b)上可导, f (a) f (b)至少存在一点 ，使得f ( ) 0Lagrangea,b 上连续 , (a,b) 上 可导f (b) f (a) f ( ) baCauchy a,b 上连续 , (a,b) 上可导， g(x) 0f(b) f (a) f ( ) g(b) g(a) g( )

17、有限增量定理： y f (x x) x (0 1) L, Hospital 法则：0 型 未 定 式 定 值 法 ： f (x),g(x) 在 x0 的 某 去 心 邻 域 有 定 义 ， 且 00lim f(x) lim g(x) 0， f(x),g(x)在 x0的某去心邻域可导，且 g(x) 0 x x0x x0lim f (x) x x0 g(x)lim f(x) A，则有 lim f(x)0类似x x0 g(x)x x0 g(x)， 0 ，1 ， 00， 四、函数的单调性与极值1. 单调性：定理：设函数 y f (x)在a,b 上连续，在 (a,b)上可导，则导数符号原函数单调性f (

18、x) 0f (x) 02. 极值定义：设函数 y f(x)在点 x0某邻域有定义，若对该邻域一切 x 都有f (x0) f(x)则 f (x0)是函数 f (x) 的一个极大值 ，点x0为函数 f(x) 的一个极大值点 。(极小值类似)函数取得极值的一阶充分条件函数 y f(x)在点 x0去心邻域可导 ，且在 x0处可导或导数不存在， 则：当 xx0 时，f (x)0，xx0时，f (x)0 ，则f(x0) 是极大值当 xx0 时，f (x)0，xx0时，f (x)0，则f(x0) 是极小值无论x x0 还是 xx0 ，总有f (x)0 (或f (x)0)，则 f(x0) 不是极值函数取得极值

19、的二阶充分条件函数 y f(x)在点 x0处具有二阶导数，且 f(x0) 0， f(x0) 0，则若 f(x0) 0，则 f (x0)是极小值若 f (x0) 0，则 f (x0 )是极大值 第四章、不定积分 一、不定积分的概念和性质1. 原函数与不定积分 原函数：设 f(x)在I 上有定义，若对 x I ，都有F(x) f(x) 或 dF(x) f (x)dx则称 F(x)为 f(x)在I 上的一个原函数原函数存在定理：若函数 f(x)在I 上连续，则在 I 上 可导函数 F (x) ，s.t. 对 x I ，都有 F(x) f (x)。即连续函数一定有原函数不定积分：设 F(x)使 f (

20、 x)的一个原函数， C为任意常数，称 F(x) C为 f(x)的不 定积分，记作f(x)dx F(x) C 几何意义：积分曲线族2. 不定积分的性质： 积分运算与微分运算为互逆运算 f (x) g(x)dx f (x)dx g(x)dx kf ( x)dx k f(x)dx k 0二、换元积分法1. 第一类换元积分法定理：设 f (u)有原函数，且 u (x)具有连续导数 ，则 f (x) (x)有原函数f (x) (x)dx f(u)du2. 第二类换元积分法定理：设 f(x)连续， x (t )具有连续导数，且 (t) 0，则f(x)dx f (t) (t)dt ，其中 t1(x)三、分

21、部积分法uvdx uv uvdx四、有理函数的积分1. 简单有理函数的积分将真分式 P(x) 分解为 部分分式 之和Q(x)对于 Q(x)(xa)k形式：应分解成k 个部分分式 A1xaA2Ak(x a)2(x a)k对 于 Q(x) (x2 px q)l应分解成l个部分分式C1x D1C2x D2Cl x Dl2 , 2 2 2 lx px q (x px q) (x px q)求 4 种积分1 1 Cx D Cx D dx ，k dx，2dx ，2 l dxx a (x a) x px q (x px q)其中，对于2 Cx D p 4q p2 l dx ，可令 t x ， a (x2 p

22、x q)l2 4则2Cx(xl dx 2 1 px q) (t a2 l dt ，再利用 递推法2. 三角函数有理式的积分sin x万能变换： tan x2u，cosx2u1 u21 u21 u2， dx22 du1 u2其他方法：形式换元f (sin x,cos x) f ( sin x,cos x)t cosxf (sin x,cos x) f (sin x, cosx)t sinxf (sinx,cosx) f( sinx, cosx)t tanx二、 tann xdx 与 cotn xdx n N对于 tann xdx令 t tanx对于 cotn xdx令 t cotx、 secn

23、xdx 与 cscn xdx n 为偶数 对于 secn xdx令 t tanx对于 cscn xdx令 t cotx四、 sinm xcosn xdx当 n,m 至少有一个为 奇数 时，可利用 sin2 x cos2 x 1 将其转化当 n,m 均为偶数时，利用 2 倍角转化五、a1 sinx b1 cosx1 1 dx asinx bcosxA(asin x令分CB(acosxbsin x)解出 A,B原函数为 Ax Bln| asinx bcosx|分母积分表kdx kx Cxndx1 n 1 x n11)1dxxln x CaxdxCln asin xdxcosxcos xdxsin

24、xtan xdx ln cosxcot xdxln sinsecxdxln secxtanxcscxdx ln cscx cotx2sec xtanxcsc2 xdxcotxsecx tan xdx secx Ccscx cot xdx cotx1 dx arcsin x1 x212 dx arctan x C1 x2x2a2dx 1 arctan xa2 dx axaxaC1 ln2a1x dx arcsin a2 x2a1dx22 xaln第五章、定积分、定积分的定义定义：设函数 f (x) 在a,b 上有界，在 a,b任意插入n-1个分点a x0 x1xn 1 xn把a,b分成 n 个小

25、区间， xi 1,xi( i 1,2, ,n). 记xixi xi 1，在第 i 个区间上任取一点 i ，用 f ( i ) 乘上区间长度 xi ，即 f ( i ) xi ，并作和f ( i ) xi .i1记 max x1, x2, , xn ，无论怎么分割，无论怎么取 i，若 0 时，nbf ( i) xi 趋于同一极限，则称此极限为 f(x) 在a,b上的定积分.记作 f (x)dxaf (x)dxnlim0 f ( i ) xi 0i1可积定理：函数 f (x) 在a,b 上连续函数 f (x) 在 a,b上有界，且仅有有限个第一类间断点函数 f (x) 在 a,b上单调有界二、定积

26、分的性质 b kf (x)dxabk f(x)dxab a f (x) g(x)dxbf (x)dxaba g(x)dx区间可加性bf (x)dxacf (x)dxabf (x)dxcb Cdx (b ab f(x)dx aa)C单调性 : 若a,b上 f(x) g(x) 则ba f (x)dx估值性质：设 M ，m 分别为bf(x)dxaba g(x)dxf(x) 在 a,b 上的最大值与最小值，则bm(b a) f(x)dx M (b a)a 定积分中值定理：若 f (x)在a,b上连续，则在区间 a,b上至少存在一点 , s.t.f (x)dxf ( )(b a)1b f (x)在a,

27、b上的平均值为f (x)dxb a aa a a 若 f (x) 为奇函数，f (x)dx 0 ；若为偶函数f (x)dx 2 f (x)dx 2 f (sin x)dx 2 f (cosx) dxxf (sin x)dxf (sin x)dxf(x) 为周期函数，af(x)dx0 f (x)dxT2T f (x)dx2nTf (x)dxTn 0 f(x)dx三、微积分学基本定理1. 变上限函数x(x) f (t)dt x a,ba定理：若 f ( x)在a,b上连续，则变上限函数 可导， (x) f (x)2. 原函数存在定理若 f (x)在a, b上连续，则函数 (x)是 f (x)在a,b上的一个原函数3. Newton-Leibniz 公式(微积分基本定理) f (x)在a,b上连续， F(x)是 f (x) 在 a, b