微分方程的基础知识及解析解

1、微分方程的基础知识及解析解微分方程的基础知识与练习（一）微分方程基本概念： 首先通过一个具体的问题来给出微分方程的基本概念。（1）一条曲线通过点（ 1，2），且在该曲线上任一点 M（ x,y）处的切线 的斜率为 2x，求这条曲线的方程。解 设曲线方程为 y y（x）. 由导数的几何意义可知函数 y y（x）满足 ddyx 2x（ 1）dx同时还满足以下条件：x 1时， y 2（ 2）把（1）式两端积分，得y 2xdx 即 y x2 C（ 3）其中 C 是任意常数。把条件（ 2）代入（ 3）式，得C 1 ，由此解出 C 并代入（ 3）式，得到所求曲线方程：y x 2 1（4）（ 2）列车在水平直

2、线路上以20 m/ s 的速度行驶；当制动时列车获得加速度0.4m/ s2.问开始制动后多少时间列车才能停住， 以及列车在这段时间里行驶了 多少路程？解 设列车开始制动后 t 秒时行驶了 s 米。根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数 s s（t） 满足：d2s2 0.4 dt2（5）此外，还满足条件：t0 时， s 0, v ds 20 dt（6）（5） 式两端积分一次得：ds 0.4t C1dt 1v（7）再积分一次得s 0.2t 2 C1t C28）其中 C1, C2都是任意常数把条件“ t 0时v 20”和“ t 0时 s 0 ”分别代入（）式和（）式， 得C1 20, C 2 0把

3、 C1, C2的值代入（ 7）及（ 8）式得（9）10）v 0.4t 20,s 0.2t 2 20t在（9）式中令 v 0 ，得到列车从开始制动到完全停止所需的时间：200.450(s) 。再把 t 5代入（ 10）式，得到列车在制动阶段行驶的路程2s 0.2 50 2 20 50 500(m).上述两个例子中的关系式（ 1）和（ 5），（6）都含有未知函数的导数，它们 都是微分方程。1微分方程的概念一般地，凡含有 未知函数 、未知函数的导数 及自变量 的方程，叫做微分方 程。未知函数是一元函数的方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数的方程， 叫做偏微分方程。我们只研究常微分方程。微分方程中所

4、出现的未知函数的最 高阶导数的 阶数 ，叫做微分方程的阶。例如，方程（ 1）是一阶微分方程；方程（ 5）是二阶微分方程方程。又如，方 程y 4 4y 10y 12y 5y sin 2x 是四阶微分方程。般地， n 阶微分方程的形式是(n)其中 F 是个 n 2 变量的函数。这里必须指出，在方程（ 11）中， y（n）是必须出 现的，而x, y, y,., y（n 1）等变量则可以不出现。例如 n阶微分方程y （ n） 1 0中，除 y（n） 外，其他变量都没有出现。由前面的例子我们看到，在研究某些实际问题时，首先要建立微分方程， 然后找出满足微分方程的函数，就是说，找出这样的函数 ，把这函数代

5、入微分 方程能使该方程成为恒等式。这个函数就叫做该微分方程的解。例如，函数（ 3）和（ 4）都是微分方程（ 1）的解；函数（ 8）和（ 10）都是 微分方程（ 5）的解。如果微分方程的解中含有任意常数，且 任意常数的个数与微分方程的阶数 相同 ，这样的解叫做 微分方程的通解 。例如，函数（ 3）是方程（ 1）的解，它 含有一个任意常数，而方程（ 1）是一阶的，所以函数（ 3）是方程（ 1）的通解。 又如，函数（ 8）是方程的解，它含有两个任意常数，而方程（ 5）是二阶的， 所以函数（ 8）是方程（ 5）的通解。由于通解中含有任意常数， 所以它还不能完全确定地反映某一客观事物的规 律性，必须确定

6、这些常数的值。为此，要根据问题的实际情况提出确定这些常 数的条件。例如，例 1 中的条件（ 2），例 2 中的条件（ 6），便是这样的条件。设微分方程中的未知函数为 y y（x） ，如果微分方程是一阶的，通常用来确 定任意常数的条件是x x0 时， y y0 ，或写成 y |x x0 y0其中 x0， y0都是给定的值；如果微分方程是二阶的，通常用来确定任意常数的 条件是：x x0 时， y y0 ， y y1或写成 y|x x0 y0， y|x x0 y1 其中 x0， y0和 y1都是给定的值。上述条件叫做 初始条件 。确定了通解中的任意常数以后，就得到了 微分方程的特解 。例如（ 4）式

7、是 方程（ 1）满足条件（ 2）的特解；（10）式是方程（ 5）满足条件（ 6）的特解。求微分方程 y f（x,y）满足初始条件 y | xx0y 0 的特解这样一个问题，叫做一阶微分方程的 初值问题 ，记作y f (x,y), y |x x0 y0.13)二阶微分方程的初值问题是y f (x, y,y), y|x x0 y0,y |x x0 y13、 例题例 1 验证：函数x C1 coskt C2 sinkt14)是微分方程d 22x k 2x 0dt215)的解。求出所给函数14）的导数 dx dtkC1 sinkt kC2 coskt,d2xdt 22k C1 coskt22k C2s

8、in ktk (C1 coskt C2sinkt)把ddt2x及x的表达式代入方程（15）得22k 2 (C1 cos kt C2sinkt)+k2(C1coskt C2 sin kt) 014）是微函数（ 14）及其导数代入方程（ 15）后成为一个恒等式，因此函数（分方程（ 15）的解。用程序来实现： syms k t C1 C2; x=C1*cos(k*t)+C2*sin(k*t); diff(x,t,2)+k2*x ans = k2*(C1*cos(k*t) + C2*sin(k*t) - C1*k2*cos(k*t) - C2*k2*sin(k*t) simple(ans)(二)微分方

9、程的解 一、几个会用到的函数：1、 solve 函数：Matlab 中 solve 函数主要是用来求解 线性方程组的解析解或者精确解 。solve 函数的语法定义主要有以下四种：solve( eq )solve( eq , var )solve( eq1 ,eq2 , eq, n)g = solve( eq1 , eq2 , eq, n, var1 , var2 , va, rn)eq 代表字符串形式的方程， var 代表的是变量。例 1 ：解方程 ax2 bx c 0程序是： syms a b c x;solve(a*x2+b*x+c) ( 也 可 写 成 solve(a*x2+b*x+c=

10、0) ) 当没有指定变量的时候， matlab 默认求解的是关于 x 的解，求解的结果为： ans =-(b + (b2 - 4*a*c)(1/2)/(2*a)-(b - (b2 - 4*a*c)(1/2)/(2*a)d当指定变量为 b 的时候：solve(a*x2+b*x+c,b)求解的结果为：ans = -(a*x2 + c)/xs = -(a*x2 + c)/x例 2 ：对于方程组 x y 1 的情况x 11y 5S=solve(x+y=1,x-11*y=5);S.xS.y S=S.x,S.y( 这里或者写成 x=S.x y=S.y) 如果解得是一个方程组，而且 采用了形如 a,b=so

11、lve(a+b=1, 2a-b=4ab) 的格式，那么，在 MATLAB R2014a 中没问题，可以保证输出的 a，b 就等于相应的解，但是在 R2012b 等早先版本 中不能保证输出的顺序就是你声明变量时的顺序。所以最好采用 g=solve(a+b=1, 2a-b=4ab) 这种单输出格式， 这样输出的是一个结构体， g.a 和 g.b 就是对应的解。S = 4/3, -1/3一、 微分方程的解析解 格式： dsolve( 方程 1 ,方 程 2, 方程 n, 初始条件 ,自 变量 ) 记号 : 在表达微分方程时，用字母 D 表示求微分， D2y、D3y 等表示求高阶 微分 .任何 D 后

12、所跟的字母为因变量， 自变量可以指定或由系统规则选定为确省，默认自变量 是 t 例如，微分方程 d 2y 0 应表达为： D2y=0.dx2dx求解本问题的 Matlab 程序为：syms x y%line1y=dsolve(Dy+2*x*y=x*exp(-x2),x)%line2diff(y,x)+2*x*y-x*exp(-x2)%line3simplify(diff(y,x)+2*x*y-x*exp(-x2)%line4例 1：求解微分方程 dy 2xy xe x ，并加以验证说明：(1) 行 line1 是用命令定义 x,y 为符号变量这里可以不写， 但为确保正确性， 建议写上；(2)

13、行 line2 是用命令求出的微分方程的解： 1/2*exp(-x2)*x2+exp(-x2)*C1(3) 行 line3 使用所求得的解这里是将解代入原微分方程，结果应该为0，但这里给出：-x3*exp(-x2)-2*x*exp(-x2)*C1+2*x*(1/2*exp(-x2)*x2+exp(-x2)*C1)(4) 行 line4 用 simplify() (simple() )函数对上式进行化简， 结果为 0， 表 明 y y(x) 的确是微分方程的解例 2：先求微分方程 xy y ex 0 的通解，再求在初始条件 y(1) 2e 下的特 解，并画出特解函数的图形求解本问题的 Matla

14、b 程序为：syms x yy=dsolve(x*Dy+y-exp(x)=0, x)结果 y =(exp(x)+C1)/x求特解两个方法1.y=dsolve(x*Dy+y-exp(x)=0,y(1)=2*exp(1), x)结果 y =(exp(x)+exp(1)/x2. C1= solve(2*exp(1)=exp(1)+C1,C1)结果 C1 =exp(1)y =(exp(x)+exp(-x2)结果 (exp(x)+exp(1)/xezplot(y)dx例 3 ：求微分方程组 dt5x ydydtx 3y在初始条件 x|t 0 1,y|t 0 0下的特解，并画出解函数的图形 求解本问题的 Matlab 程序为： syms x y ta=dsolve(Dx+5*x+y=exp(t),Dy-x-3*y=0,x(0)=1,y(0)=0,t);x=a.xy=a.y simple(x);simple(y);ezplot(x,y,0,1.3);axis auto % 坐标刻度选默认值 例 4 先求微分方程的通解，再求微分方程的