微积分综合练习题及参考答案,

1、欢迎阅读综合练习题1 (函数、极限与连续部分)1 填空题(1)函数f (x)二1In(x -2)的定义域是答案：x 2且x = 3.函数f (x)x2的定义域是.答案：(-2,-叭(-1,2(3) 函数 f (x 2) = x2 4x 7，贝U f (x) =. 答案：f (x) = x2 3.3 -(4) 若函数 f (xxSin7i k.x 0在X = 0处连续，则k二x _0.答案：k = 1(5) 函数彳仪-“二乂 - 2x，则 f(x)=.答案：f (x) = x -1(6)函数J _2x3的间断点是x十1.答案：X = -1欢迎阅读1(7) lim xsin =. 答案：1x(8)

2、 若 limSin4x=2，则 k 二.答案：k=2I sin kx2.单项选择题-xx(1) 设函数y二乞一，则该函数是().2A.奇函数 B.偶函数C.非奇非偶函数 D .既奇又偶函数答案：B(2) 下列函数中为奇函数是().A . xsinx-x eC . In (x 、1 x2)D . x x2答案：C(3) 函数y =xIn(x 5)的定义域为().x十4A . x 5 B . x = -4 C . x 乜-5 且 x = 0 D . x -5 且 x 一 一4 答案：D(4) 设 f (x 1) = x2 -1，则 f (x)二()A. x(x 1)B . x2欢迎阅读C. x(x

3、2)D .(x+2)(x1)答案：C(5)当k=(）时，函数1（X）= *d +2,x厂0在x = 0处连续.k，x = 0A. 0B.1C.2D3答案：D(6)当k=(）时，函数1（x）=丿x2 +1,X鼻0，在x = 0处连续-k,x = 0A. 0B.1C2D .-1答案：B一 j/函数住）.上32的间断点是（）A. x=1,x=2B. x=3j.C. x=1,x=2, x=3D.无间断点答案：A3 .计算题1)解:(2)m- m2 K | Kx2 -3x 2-42x -3x 2. (x 2)(x -1)2 lim x2 -4 x 2 (x _2)(x2)x -1x 2lim 异2一9x

4、 3 x2 _2x _3欢迎阅读解：x-91= lim(x3)(x 3)r x3 (x -3)(x 1) xx 363lim 2x 3 x _2x _33 x 14-2(3)lirxx2 -6x 814 x2 -5x 4m4H X-6x 85x 4=佃(x-4)(x-2)x w (x -4)(x -1)JimDx x -13综合练习题2 （导数与微分部分）1 填空题（1）曲线f （xH x 1在（1,2）点的切斜率是答案:A. 2B. 1C. -1D. -2欢迎阅读答案：12(2) 曲线f(x)=ex在(0,1)点的切线方程是 答案：y =x 1(3) 已知 f (x) =x3 3x，贝U f

5、 (3) =.答案：f (x) =3x23xln3f (3) =27 (1 In 3)已知 f (x) = In x，则 f (x) =11f (x)， f (x) = -2xx(5) 若 f (x) = xe，则 f (0)二答案：f (x) = -2e-xe2.单项选择题).(1) 若 f(x) =ecosx，则 f (0)=(因 f (x) = (ecosx) =(e)cosx e(cosx)所以 f (0) = -e (cosO sin 0) = -1答案：C(2)设 y = lg2 x，贝U dy 三( ).1A.dxB2x答案：Bxln10 dxC . ln10dxx.1dxx(3

6、)设y二f(x)是可微函数,df (cos2x)=).2 f (cos2x)dx.f (cos2x)sin 2xd2x.2 f (cos2x)sin 2xdxD-f (cos2x) sin 2xd2x答案:(4) 若 f (x)二sinx a3,其中a是常数，则f ”(x)二(cosxA . cosx 3a2B . sin x 6a C . -sinxD答案：C欢迎阅读1欢迎阅读3 .计算题(1) 设 y =x2ex，求 y .1 1 1解： y = 2xe=ex(2x_1)x(2) 设 y = sin 4x cos3 x，求 y .解: y =4cos4x 3cos2x(_sin x)(3)

7、设 y 二 e e 2，求 y .解:xC 严12y -e- 22j(x+1 x(4)设 y =x x In cosx，求 y .解:3 113 1y - x2 +(_sin x) - x2 tanx2cosx2综合练习题3 (导数应用部分)1.填空题(1)函数y =3(x -1)2的单调增加区间是1 、答案：(1:)(2) 函数f (x ax2 1在区间(0,，：)内单调增加，贝U a应满足答案：a 02.单项选择题f zi | I(1) 函数y =(x 1)2在区间(-2,2)是()A.单调增加B .单调减少C.先增后减D .先减后增答案：D(2) 满足方程f (x) =0的点一定是函数y

8、二f(x)的( ).A.极值点B.最值点 C .驻点D.间断点答案：C(3) 下列结论中()不正确.A . f (x)在x =x0处连续，则一定在x0处可微.欢迎阅读欢迎阅读B f (x)在x =x0处不连续，则一定在x0处不可导.C 可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D.函数的极值点一定发生在不可导点上.答案：B(4) 下列函数在指定区间(-：,=)上单调增加的是()A sinxB ex C . x2D . 3_x答案：B3应用题(以几何应用为主)(1) 欲做一个底为正方形，容积为108m3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为xm,高为hm,容器的表面积为ym2。怎样做法

9、所用材料最省即容器如 何设计可使表面积最小。由已知2 21082432所以y = x 4xh = x 4x 2 x :xx432令y2x- : =0，解得唯一驻点x=6。xx = 6是函数的极小值点也是最小值点。故当因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以108x = 6m， h = = 3 m 时用料最省.62(2) 用钢板焊接一个容积为4m3底为正方形的开口水箱，已知钢板的费用为10元/ m，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费用最低？最低总费用是多少？解：设水箱的底边长为x m,高为h m,表面积为S m2,且有h二:x所以 S(x) = x2 +4xh = x2 +16,x

10、令 S (x) =0 ,得 x =2.因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以当x = 2 m, h =1 m时水箱的表面积最小此时的费用为 S(2) 1040 =160 (元)(3) 欲做一个底为正方形，容积为 32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为xm,高为hm,所用材料(容器的表面积)为 ym2。由已知所以y=x2 4xh 二 x2令y =2x 20，解得唯一驻点x=4。x因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以 x=4是函数的极小值点也是最小值点。故当32 x=4m, h =2 m时用料最省.4请结合作业和复习指导中的题目进行复习。综合练习题4 (一元

11、函数积分部分)欢迎阅读1 填空题(1) 若f(x)的一个原函数为In X2，则f(x)=.答案：2x(2) 若 f(x)dx 二 sin2x c，贝U f (x).答案：2cos2x(3) 若 fcosxdx =答案：sin x cx2(4) de 二.2答案：e c(5) (sin x) dx =.答案：sin x c(6) 若 f(x)dx 二 F(x) c，则 f(2x-3)dx 二1答案： F(2x-3) c2(7) 若 f (x)dx = F (x) c，贝U xf (1 - x2)dx =I答案：- 1 F(1 -x2) c21 2(8) Jsi nxcos2x-x +x)dx=.

12、2答案：-3d e 2(9) 一 . ln( x 1)dx 二dx答案：00(10)e xdx =1答案：122.单项选择题(1)下列等式成立的是().A. d f (x)dx 二 f (x)B. f (x)dx 二 f (x)-JC. f (x)dx 二 f (x) dxD. df(x)二 f(x)答案：C(2)以下等式成立的是()欢迎阅读欢迎阅读1A.In xdx 二 d(-)BxC. dx =d xD,x答案：D(3) xf (x)dx =()sin xdx 二 d(cosx)3xdx 二d3xIn 3A. xf (x) - f (x) c B.xf (x) c1 2C.丄x2f (x)

13、 cD.(x 1)f (x) c2答案：A(4)下列定积分中积分值为0的是().x-xdxx_x1 e e-2:3j2C. (x cosx)dxD. (x sin x)dx-n-兀答案：A-.=.=i -a(5)设f(x)是连续的奇函数，则定积分f(x)dx二()孔a0a0A. 0B.& f(x)dx C .0 f (x)dx D. 2 a f (x)dx答案：A(6)下列无穷积分收敛的是()-beA. 亦xdx答案：DB.:IL： J 1，xdx-_2xD.0 e dx3 .计算题(1)(2x-1)10dx解：(2x-1)10dx= (2x -1)10d(2x -1)1(21)11 c2 2

14、2.1 sindxx.1sin彳彳彳解：2xdx - - sin d cos c(2)xx x x欢迎阅读欢迎阅读(3)dx =2 e xd x =2e x cn2ex(4 ex)2dx解:ln 2ex(4 - ex)2dxln2(4 ex)2d(4 ex)=1(4 ex)3110 = (216_125)=30 3 3In 2e 1 5In x dx解:5I nx)d(1 +51 nxrCI +51 nx)2 =丄(36 1)三1 10exdxJn解:10xexdx 二 xe1-.0exdx=ex-eJI.02xsinxdxJI解:xsinxdx-xcosxcosxdx 二 sin x0 0综合练习题5 (积分应用部分)1 填空题(1)已知曲线y二f(x)在任意点x处切线的斜率为-，且曲线过(4,5)，贝U该曲线的方程 由定积分的几何意义知,a2 -x2dx =0答案:(3) 微分方程y = y, y(0) =1的特解为答案:微分方程八3y = 0的通解为答案：y = ceAx(5) 微分方程(y )34xy二y7sinx的阶数为答案：42.单项选择题(1)在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点(1,4 )的曲线为( ) 2 2A. y = x + 3 B . y = x + 4C. y = x22 D . y