异面直线所成角直线与平面所成角二面角专题复习与提高

1、空间角专题复习知识梳理一、异面直线所成的角及求法(1) 定义： 在空间任意取一点，过该点分别作两异面直线的平行线所成的锐角或 直角称为两异面直线所成的角(2) 取值范围：若 是异面直线 a和 b所成的角，则其取值范围是 (0， 2 ，当 2 时，称异面直线 a 和 b 垂直，记为 a b.(3) 求法： 平移法：将两异面直线中的一条或两条平移至某特殊点后，构造三角 形，通过解该三角形而求其大小；二、直线与平面所成的角及求法(1) 定义： 设 l 和 分别表示直线与平面若 l或 l? ，则称直线 l 和平面所成的角为 0；若 l ，则称 l 与 所成的角为 ；若 l 与 相交，则 l 2与 l

2、在 内的射影所成的锐角为直线 l 与平面 所成的角(2) 取值范围： 设 是直线 l 与平面 所成的角，则 的取值范围是 0, 2(3) 求法：定义法：探寻直线 l在平面 内的射影， (通常由垂直法找射影 )构造直 线 l 与平面 所成角对应的直角三角形， 通过解该直角三角形而求得直线与平面 所成的角三、二面角及求法(1) 定义： 在二面角的棱上任取一点，分别在二面角的两个面内作棱的垂线，则 这两垂线所成的角称为该二面角的平面角， 且定义平面角的大小为该二面角的大 小(2) 取值范围： 规定二面角的取值范围为 0， (3) 求法： 定义法：分别在二面角的两个面内作棱的垂线，则这两垂线所成的角

3、称为该二面角的平面角1 / 11练习提升1如图， E、F 分别是三棱锥 PABC 的棱 AP 、BC 的中点， PC10，AB6，EF7，则异面直线 AB 与 PC 所成的角为 ( )A 30B45C60D90答案： CABCDA1B1C1D1 中，ABBC4，CC12，则直线 BC1 和平面DBB1D1 所成的角的正弦值为 ()3A. 2B. 52C. 10C. 5D. 10D. 10答案： C2. 已知长方体3.如图，在边长为1 的菱形 ABCD 中， ABC60，将菱形沿对角线 AC 折起，使折起后 BD1，则二面角 BAC D 的余弦值为1A.31B.1222C.2323D. 23答案

4、： A()DD 1B1B 所成角的大小是4在正方体 ABCDA1B1C1D1中，B1C 与对角面A 15B30C45D60答案： B5如图， ABCD A1B1C1D1 是长方体， AA1 a， BAB1 B1A1C130，则AB 与 A1C1所成的角为 ， AA1与 B1C所成的角为 答案： 300， 4506. 在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，(1)直线 A1B与平面 ABCD 所成的角是 ；(2)直线 A1B 与平面 ABC 1D 1 所成的角是 ；(3)直线 A1B与平面 AB1C1D 所成的角是 答案 (1)45 (2)30 (3)907设直线与平面所成角的大小范围为集合P

5、，二面角的平面角大小范围为集合线所成角的大小范围为集合R，则 P、Q、R 的关系为 ()Q，异面直2 / 11A RP? QB R? P? QA 60 答案 CB30D15CP? R? QDR? P Q答案： B8设 ABC 和 DBC 所在两平面互相垂直，且 AB BC BDa， CBA CBD 120 ， 则 AD 与平面 BCD 所成角的大小为 ( )A 30B45C 60D 75解析：作AOCB交 CB的延长线于 O，连接 OD，则 OD即为 AD在平面 BCD内的射 影，ADO 即为 AD 与平面 BCD 所成的角AOOD 2/ 11a，ADO45.答案： B 9. 如图， AB是圆

6、的直径， PA垂直于圆所在的平面， C是圆上一点 (不同于 A、B)且 PA AC，()则二面角 PBC A 的大小为10如图，已知四棱锥 P ABCD 的底面是正方形， PA平面 ABCD ，且 PA AD，则平面PAB 与平面 PCD 所成的二面角的度数为 ()A 90B60D30C45解析： ABCD ，面PAB 与平面 PCD的交线 l 必为过P 点与 AB 平行的直线PA平面 ABCD，PAAB， PACD，又 CDAD，DC 平面PAD，DC PD ，PAl， PDl，即APD 为所求二面角的平面角，APD45.答案： C 11把正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角，对于

7、下列结论：ACBD；ADC 是正三角形； AB 与CD 成 60角；AB与平面 BCD 成 60角则 其中正确结论的个数是 ( )A1个B2 个C3 个D4个解析： 取 BD 的中点 O，则 BD OC，BD OA，得 BD 平面AOC，1BD AC ，正确； cosADCcos45cos452，ADC 60， AD DC ，ADC 是正三角形，正确； AB 与 CD 成 60角，正确； AB 与平面 BCD 成角ABO 45，错误答案： C 12如图所示的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，过顶点 B、D、C1作截面，则二面角 BDC1 C 的平面角的余弦值是 解析： 取 C1D 的中点

8、O，连接 BO、CO， BOC 是二面角 BDC1C 的平面角 设正方体的棱长为 1，则 CO 22， BDC 1 为正三角形，6OB 2 ，且 BC 1，cosBOCOB2OC2BC22OBOC3.3.答案： 33 13如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中， AB BC AA1， ABC 90，点 E、F 分别是棱AB、BB1的中点则直线 EF 和 BC1所成的角是 ()A 45B60C90D 1204 / 11解析： 取 B1C1 的中点 G， A1B1的中点 H，连结 FG、BG、HG、EH，则 FGBC1，且EFG 或其补角就是所求的角，利用余弦定理可求得1 cosEFG 2，故所求

9、角为 60.答案： B14如图，将 Rt ABC沿斜边上的高 AD 折成120的二面角 C ADC，若直角边 AB4 3，AC4 6，则二面角 ABCD 的正切值为 ( )A. 2C.42解析： CDCAD平面BCD，AD4 2，在BCD 中，由余弦定理求得 BC 4 3，再由面积公式 SBCD1 1 AD 2BCDE2BDCDsin60 知 DE 4，tanAED DE 2.答案： A点评： 考查二面角的知识， 余弦定理及三角形的边角计算 如何作出二面角的平面角是ABDPB45D75解决此类问题的关键15在矩形 ABCD 中，AB3，AD 4，PA平面 的度数是 ( )A 30C60 解析：

10、 如右图所示，过 A作 AEBD ，垂足为 E，连结 PE，则 PEBD (三垂线定理 )，故PEA 为二面角 PBDA 的平面角在 Rt BAD 中，ABAD 12AE .BD 5 .在 Rt PAE 中，PA 3 tanPEA AE 3 ，PEA 30.5 / 11答案： A16正四棱锥 P ABCD 的两个侧面 PAB 与 PCD 互相垂直，则相邻两个侧面所成二面角的平面角为 ( )A 60B90C120 D 150PDCPBC，DEPC解析： 如图，作 BEPC，连结 DE.DEB 就是二面角 D PCB 的平面角，O 为 DB 的中点，OEB21DEB ，又面PAB面PCD ，1PO

11、2AB，在 RtPOC 中， OC 22AB，所以 PC 23AB.22 ABtanOEB 26 AB63，OEB3，DEB 23.答案： C17. 如图，在四棱锥V ABCD 中，底面 ABCD 是边长为2 的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为 5的等腰三角形，则二面角 VABC 的度数是6 / 11答案 6018如图，直角梯形 ABCD 中， AB CD ， DAB 2，点 M、N 分别在 AB，CD 上，且MNAB，MC CB，BC2，MB4，现将梯形 ABCD 沿 MN 折起，使平面 AMND 与平面MNCB 垂直 (如图 )(1) 求证： AB平面 DNC ；3(2) 当 DN 2时，

12、求二面角 DBCN 的大小MB? 平面 MAB.解：(1)证明： MBNC，MB?平面 DNC ，NC? 平面 DNC，MB平面DNC.同理 MA 平面DNC ，又 MA MBM，且 MA、平面MAB平面NCD? AB 平面 DNC. AB? 平面 MAB(2)过 N 作 NHBC 交 BC 延长线于 H ， 平面AMND 平面MNCB，DNMN， DN 平面MBCN ，从而 DH BC， DHN 为二面角 DBC N 的平面角由 MB4，BC2，MCB90知MBC 60，CN 4 2cos60 3，NH3sin60332由条件知：DN tanNHDNH3，3，NHD 30.19.如图，已知在

13、四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA平 面 ABCD ，PAAD1，AB2，E、F 分别是 AB、PD 的中点(1)求证： AF平面 PEC ；7 / 11(2)求 PC 与平面 ABCD 所成的角的正切值；(3) 求二面角 P ECD 的正切值解： (1)证明：如图，取 PC 的中点 O ，连接 OF、OE，则 FO DC ，且 FO 12DC ，FOAE，又 E 是 AB 的中点， 且 AB DC ，FOAE.四边形AEOF 是平行四边形，AFOE.又 OE? 平面 PEC，AF?平面 PEC ，AF平面PEC.(2)如图，连接 AC，PA平面 ABCD，PCA 是直线

14、 PC 与平面 ABCD 所成的角 在 Rt PAC 中，PAtanPCAAC 1 即直线 PC 与平面 ABCD 所成的角的正切值为 5 5(3)如图，作 AM CE，交 CE 的延长线于 M.连接 PM ，由三垂线定理得 PM CE， PMA 是二面角 P ECD 的平面角 / 11 ， 5 5 ，由AME CBE 可得AM 22，PA tanPMA AM 2.面角 PECD 的正切值为 2.20. 如图所示，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形， BCD60，E是 CD的中点， PA底面 ABCD，PA 3.(1)证明：平面 PBE平面 PAB；(2)求二面角 AB

15、EP 的大小(1)证明 如图所示 ,连接 BD,由 ABCD 是菱形且 BCD 60 知， BCD 是等边三角形因为 E 是 CD 的中点，所以 BECD. 又 AB CD ， 所以 BE AB.又因为 PA 平面 ABCD ，BE? 平面 ABCD ， 所以 PA BE. 而 PA AB A， 因此 BE 平面 PAB. 又 BE? 平面 PBE ， 所以平面 PBE 平面 PAB.(2)解 由(1)知， BE 平面 PAB，PB? 平面 PAB，所以 PB BE.又 ABBE，所以 PBA 是二面角 ABE P 的平面角在 RtPAB中， tanPBAAPAB 3，则 PBA60. 故二面

16、角 ABEP 的大小是 60.9 / 1121已知平面 外两点 A、B 到平面 的距离分别为 1和 2，A、B 两点在 内的射影之间距 离为 3，求直线 AB 和平面 所成的角解 (1)如图(1)，当 A、 B位于平面 同侧时，由点 A、B 分别向平面 作垂线，垂足分别为A1、B1，则 AA11，BB12，B1A1 3.过点 A作 AHBB1于 H，则 AB和 所成角即 为HAB.2 1 3而 tan BAH .BAH 30.(2)如图 (2)，当 A、B 位于平面 异侧时，经A、 B分别作 AA1于 A1，BB1于 B1，ABC，则 A1B1为 AB 在平面 上的射影，BCB1或ACA1为 AB与平面 所成角33BCB1ACA1，ABBA1BC1AC2，B1C2CA1，而 B1CCA1 3，B1C233.tanBCB1BB1BC223 3，3 BCB1 60， AB与 所成角为 60.综合 (1)、 (2)可知： AB 与平面 所成角为 30或 60.22. 如图，在三棱锥 P ABC 中，PA底面 ABC，BCA 90，点 D 、E 分别在棱 PB、PC 上，且 DE BC.(1)求证：BC 平面 PAC.(2)是