弹塑性力学习题集

1、第二章应力面上的法向正应力和切向舅应力例1如图所示，试写出其边界条件。宀色=0 空=0 v =06 办/ = L/?r = 0x=o.F=0(2) A = u.解T| =/aH+wa2i-na)iT 丄-2迈V-2T =S + 52 + 2 =尹0；3+善 xO = _+Tj=/crB + p,(723 + n753=5X *，TX+77 X5 = -2-r- p = 4R对于Tim屈服条件：s-q比=2q n p = 2XJ/R例2如图所示的楔形体受水压力作用，水的容垂为丫，试写岀边界条件.解：在x=0上,/= -1 f m =0,X =y)? Y =0(q 畑(-1)+(5)0 = (tJ

2、.3 (-D+(Qv)t=0 0 = 0(aj-yy (%)”=()在斜边上 1= cosa, m = -sindot cosa 一 Tyx sina = 0Tcosd- Ov sina = 0(2)管段的两端是封闭的;应力状态为，u.= p/?/2g QpRlt ar=0 1=1=：8,=0A= |(Q -Q,)2+(Qz-2+(Q0-Q.)2+6(+ &)J=L AGj-G, = Gg = pR/对于Mises屈服条件s P = 2xst/R对于Trcscii屈服条件：p = 2tJR例.一种材料左二维主应力空间中进行试验，所得屈肥时的应力状态为2“ g2M3/,小假定此材料为各向同性.与

3、静水压力无关且拉压屈服应力相等.(1) 由上述条件推虧在円一巴空间中的各屈肥点应力.(2) 证明Mises屈展条件在g,-g2空间中的曲线通过5)中所有点.解：由于静水质力无关的条件得出压服在以下各点会发生：(Gp g, gJ = (3几 G 0)+ (-3/, -3/, -3r)= (0. -2/, -3/(gp a2 bj = (3匚 zf 0)+ (-/, t, w=(2/, 0, -6因此.根据这些点的数据.可以作出在空间中的屈服面.苒由于各向間性的条件.很容易右出0,-0：空间中的以下五个JS力 点也是屈服点A,： (Gp G,=3r, 0)B|: 2, q2 6)= (3f, 2r

4、, 0)B2：oj = (2f, 3f, 0)C1： (Qp c2, )=，0)C,： =G -3f, 0)Bj： (Op o, a3) = (3r, 2f, 0) B4： (ap o, 6)=.3f, 0) C3： (ap g, a3)= (-2r, z, 0) C4： (Op o, 6)=匕-2/, 0)讨论:设已知三杆桁架如图1.18所示，三根杆的戡面枳邮相咼并 有FU 杆件是由弹塑性线性强化材料所制成的。在节点。受 到竖向力P的作用，以队U表示节直D的水卩(向右为正)和o = Ee容易证明心屈服条件 氏+& y：6 =于=7r2通过以上所有屈嚴点平衡方程为：P = N、+ 2N2 co

5、s30 = (5 + 吊2)几何关系为：靳=叫斫=万y3? 3 V 3 =宁，6=乔=訐本构方程为：当 a 习所以5 6， 杆1最先到达蚪性状态，当5 = 6时宀=土 =名于是桁架开始出现塑庠变形的载荷为片=6（1+手）P,称为弹性极限载荷.弹塑性解：5込，65 ppx由基本方程可得P = E +（Js （1- ） + 2E& cos 30E供+知叙 当6 = 时，即& = 0丄=、时，4 h桁架全部进入塑性状态，对应的载荷为P2 = Exx +（7V （1-半）* 2as cos 30 =+6 （1 + 羽-半）塑性解：5 6, 6 0 p P2由基本方程可得& = 冋+(1 4在P由零逐渐

6、增加（单调加载）的 过程中，桁架变形可以分为三个不 同的阶段弹性阶段强塑牲阶段塑性阶段在弹塑性阶段,PPt1杆虽然进入塑性状态，但由于其余两杆仍处于弹性阶段，1杆的塑性变形受到限制, 整个桁架的变形仍限制在弹性变形的量级，这个阶 段可称为约束的塑性变形阶段.在塑性阶段，三杆都进入塑性状态，桁架的变形大于弹性变形量 级. 一般说来，所有的弹塑性结构在外力的作用 下，都会有这样三个变形的阶段.例 一薄壁圆管同时受拉扭和内压作用，有应力分量S，% g泊松比0 = 1.求：（1 ）当应力分量之间保持冬=2% = 3%比例从零开始加载，问冬多大时开始进入屈服？（2）开始屈服后，继续给以应力增量，满足=0

7、及 =2叫求对应的化及%值.分别对MisesOTresca两种屈服条件进行分析.Mises：屈服准则为 = / +尤- o池+ 3成-加=0叭=2% = 3$代入上式得到q = J即， 屈服后，増量本构关系为：de, =dA（2rxd=6A（2fQ由d冷=0得d后话空，又屈眼条件的徴分形式为（2oKoda 十2斥耳）day 十= 0将込=勿代入得dr 6=轨时达到屈服.d 叭化=-+mg - %)L叫斗(% =-7=+ d几a _a,)将亥式微分.得%=乎 + 2(%=0(q _ cr )dq + (as _ 込)cr += 0增量本构关系是由前述类似步骤可以求得答案结果,第五章弹塑性力学问题

8、的提法根据问題的对称性，位移应只是啲函数w=wz)体积应变是 cu Ev , 8w dw8 = + +=dr dy dz dz代入平衡微分方程(入+ 2G)今+ pg=O(1-fvX1-2v)2(l-v)pg(z + A) +B代表刚度位移，应由位移边界条件确定应力是g尸o产-丄 pg(z+&) 。产-PSz+A)TA/=Tyz=Tzr=应用边界条件求待定常数L=m=O. n=1 X=F = O Z = g边界条件是：Qz|z.O=Q解得：A=qpg习题5-1用逆解法求解圆柱体的扭转问题根据材料力学的方法，在E!拄体扭转时，截面上发生与半 径垂宜且与点到岡心的距离成正比例的剪应力r = aGr

9、这里a农示单位长度的扭转角.将r向ox和oy轴方向分解,rci = -r sm 0 = -aGr sin 6r.v = rcos = aG 厂 cos。*很设其余的应力分就全为璋，则其中cos& sine仝将应力代入上面，应力满足例柱侧面上的边界条件.r.v = ctGy r.v = zG.vcr = j = cr = r =0v y z,上面的解在体力为笔时,是满足平衡徴分方程的. 现在校核是否満足边界条件.考察圖柱的两端，在二丄处，/ = 0, m = 0, n = l 边界条件变为：Xv = Tzx人=rzy2v=0根棚赵设条件，作用于z=L“i而上的外力x ,r .z僮力上零效干扭矩,

10、 而其口体分布悄况足不淸楚的,因此,对胞力分凤r.x.ra.也只能从放松的总义上要求它们满足这一琳的边界条件, 即：如果他心也i力等效于扭矩K ,则应力分fitr” = 一 aGv. r. = aGxc就足W1柱体扭装时的解=.=7. =rv=0级实上琳而上仇主矢投形为：Jf rzxdxdy = -oGj ydxdy = 0rz)dxdy = aGxdxdy = 0瑞面上的主矩为:M = j| Cvr.v- ytzl )(lxdy = aC| (x2 + y2 )dxdy = aGIftM第六章弹塑性平面问题例61设一简支梁的中部上.下两表面，在2d 范围内对称地作用均布載荷q.(如图&7所示

11、几 如此梁的厚度为1个单位，不计体力， 试求其应力分量。W：首先将载荷展开为富里叶级数.的情况下.I:部边界(v = -r)和下部边界(円)的裁荷分别表示为图6.7局部受均布戦荷简支粱SJ、饥+匕sin斗+ & cos宁 rl一二八.”怎二-I1XX)rcr G +sin+ 26,cos注总我荷实际作川区域为q” =血=0.(-/x-a. 9 a xI)7ft = = -f (nVxd)(1)式中衣示整个梁的均匀分布戟荷.代仃)中的全部系数均可用富里叶系数的公式求出。1 2加.b* =jg(x)sin 罕 dx由图6.7可知.所示孜荷对称干y轴.是x的偶函数.故式(1)的展开式只含Eq,G很余

12、弦项.其中& G. 梟申dx -务0 号而系数石可山我荷展开式qS) = f“cos罕 罕.并在区间T运用迪常求冨里叶系数的办法.两边乘以cos积分.有(l(x)cosdx =coscosdr = / I0 (加工町/ (】=/I)由此可得将“代入上式可須Ek = G =f cosdx = 一 sin n(5)I I wl山片常数5.G的存仏 该问题可理解为上、下分别作用均布载荷6G。号再加上后而的三角级数所表示的戟荷.于是.可以分别计口毎一部分我荷所产生的应力.然后再叠加.对于上、下斗作用览汶荷-答相应的应力分H为6 =, 2d . nn ，n=_Lsin a nn I6 = 5=0.諒 c

13、 2q . n/r inj = -sin a.H/T Illl j为任迪整数所以可换成n于是紂；, *曲)cos罕dx 同理也可得G_这些戟荷所产生的应力分Sb可依据应力函数农达式求得即sh(卩)=sh/3、ch(0) = ch/3 则町得chaj + ajshajashajDk = f -_shani + antchavt乞YMaj + a,加j 云 shlant2antD = 2勺 。討力丿 ” a; sh2aj + 2aj所以式(7)中的常数可全部确定力分凰再加上式7 力.即得梁总的应力分fit计弊式，如工的表达式为6 =号普心嵐f) 3心+吟gws _ af,ysh aiy tshaM ycosanx将式(9)代入式.即得相应的应6 -竺中由均布荻荷而产生的应如果在该梁上的分布我尙q 作用范国不斯缩小即随務这短段的 缩小达到极限怖况.就紂到梁受两个 郴向集中斥力的悄形.这种情况下的 网力 6沿x方向的分布曲线伽图b所 示.由该图可见.随x的堆大而迅速衰减. 这一计只实例.可