弹簧质量阻尼试验指导书

1、质量-弹簧-阻尼系统实验教学指导书北京理工大学 机械与车辆学院2016.3实验一：单自由度系统数学建模及仿真1 实验目的 （1）熟悉单自由度质量 - 弹簧-阻尼系统并进行数学建模；（2）了解 MATLAB 软件编程，学习编写系统的仿真代码；（3）进行单自由度系统的仿真动态响应分析。2 实验原理xcmk单自由度质量 -弹簧 -阻尼系统，如上图所示。由一个质量为 m 的滑块、一个刚度系数为 k 的弹簧和一个阻尼系数为 c的阻尼器组成。系统输入：作用在滑块上的力 f（t ）。系统输出：滑块的位移 x（t）建立力学平衡方程：? ?mx cx kx f变化为二阶系统标准形式：? ? 2fx 2 x x

2、m其中： 是固有频率， 是阻尼比。2m 2 km2.1 欠阻尼 (1)情况下，输入 f(t )和非零初始状态的响应：x(t) 2 e sin( 1 (t )d0 m 1 2 ?t arctan(2 )x(0) 2 sin( 1 t)2.2欠阻尼 (1)情况下，输入 f(t)=f0*cos(0*t) 和非零初始状态的的响应：f0m(202)2 (22 3 0f0)2 02)0k(202 )2 (2)2 02x(0)2 0f0( 212k12 ( 2x(t)x(0)x(0)e t cos( 1输出振幅和输入振幅的比值： A20cos( 0t arctan( 2 02 ) 02t)2 2 2 202

3、)022)2(2(2 )2)20202e tsin( 1 2t)m(1202)2 (2 )2 023 动力学仿真根据数学模型，使用龙格库塔方法ODE45 求解，任意输入下响应结果。仿真代码见附件4 实验4.1 固有频率和阻尼实验1)将实验台设置为单自由度质量-弹簧-阻尼系统。2)关闭电控箱开关。点击 setup 菜单，选择 Control Algorithm ，设置选择Continuous Time Control，Ts=0.0042 ，然后 OK。3）点击 Command 菜单，选择Trajectory ，选取step, 进入 set-up, 选取OpenLoop Step 设置（0）cou

4、nts, dwell time=3000ms,（1）rep,然后OK 。此步是为了使控制器得到一段时间的数据，并不会驱动电机运动。（4）点击Data 菜单，选择 Data Acquisition, 设置选取Encoder#1 ，然后OK 离开；从 Utility 菜单中选择 Zero Position 使编码器归零。（ 5）从Command 菜单中选择 Execute ，用手将质量块 1移动到 2.5cm 左右的 位置（注意不要使质量块碰触移动限位开关），点击 Run, 大约 1 秒后，放开手 使其自由震荡，在数据上传后点击 OK 。（6）点击Plotting 菜单，选择 Setup Plot

5、 ，选取Encoder #1 Position ；然后 点击Plotting 菜单，选择 Plot Data ，则将显示质量块 1的自由振动响应曲线。 （7）在得到的自由振动响应曲线图上，选择 n 个连续的振幅明显的振动周期， 计算出这段振动的时间 t，由n/t 即可得到系统的频率， 将Hz转化为 rad/sec 即为 系统的振动频率 。（ 8）在自由振动响应曲线图上，测量步骤 7 选取时间段内初始振动周期的振幅 X0以及末尾振动周期的振幅 Xn 。由对数衰减规律即可求得系统阻尼比。 （9）实验数据记录序号第1次实验第2次实验第3次实验实验测试频率实验测试阻尼比滑块质量 m弹簧刚度 k阻尼系数

6、 c频率理论值阻尼比理论值频率估计误差阻尼比估计误差10 ）在仿真代码基础上，计算出实验结果对应的理论结果。对比分析理论和实验结果的差异。完成实验报告。4.2 幅频特性实验（1）点击Command 菜单，选择 Trajectory ，选取Sinuscidal ，进入set-up, 选取Open LoopStep 设置Amplitude（0.5V）, Frequency（2Hz）,Repetition（8），然后OK。（ 2）从Utility 菜单中选择 Zero Position 使编码器归零。 从Command 菜单中选 择Execute ，点击 Run, 在数据上传后点击 OK。（ 3）然

7、后点击 Plotting 菜单，选择 Plot Data ，则将显示滑块的受迫振动响应曲 线。在响应曲线图上， 测量出振动振幅， 计算出振动的频率并于输入的正弦曲线 频率比较。（4）根据实验情况，改变输入的正弦曲线频率的大小，重复上述，纪录实验数 据。输入频率滑块实验幅值滑块仿真幅值0.1Hz0.2Hz5）在仿真代码基础上， 实现正弦激励代码， 计算出实验结果对应的理论结果对比分析理论和实验结果的差异。完成实验报告实验二：双自由度系统数学建模及仿真1 实验目的(1) 熟悉双自由度质量 - 弹簧-阻尼系统并进行数学建模；(2) 了解 MATLAB 软件编程，学习编写系统的仿真代码；(3) 进行双

8、自由度系统的仿真动态响应分析。2 实验原理2.1 数学建模双自由度质量 -弹簧-阻尼系统，如上图所示。由两个质量为 m 1和m 2的滑块、 两个刚度系数为 k1和k 2的弹簧和两个阻尼系数为 c1和c2的阻尼器组成。系统输 入：作用在滑块上的力 f(t )。系统输出：滑块的位移 x1(t)和x2(t)。 建立力学平衡方程：? ?m1 x1 c1 x1? ? m2 x2 c2 x2?c1 x2?c1 x2k1x1 k1x2?c1 x1 k1x2f (t)k2x2k1x1 02.2固有频率将动力学方程写成矩阵形式：m1?0x1c1 c1?x1k1k1x11x10 f(t)x200? m2?x2c1

9、 (c1 c2 )?x2k1 (k1k2)得到系统的质量矩阵 M 和刚度矩阵 K解行列式可得固有频率方程： |K 2M | 0可计算出固有频率方程：2 k1k1k2k1k2 24k121,2 0.5 112 m( 12 ) 1 m1 m2m1 m2 m1m2两个振动模态，两个固有频率：高模和低模。2.3 解耦通过数学变换将微分方程变化为以下形式：? ?2y1 2 1 1 y1 1 y1 1 f(t)? ?2y2 2 2 2 y2 2 y2 2 f(t)注意： y1 和 y2 不是 滑块的位移。滑块的位移 x1(t)和 x2(t)是 y1 和 y2 的函数。3 动力学仿真根据数学模型，使用龙格库

10、塔方法 ODE45 求解，任意输入下响应结果。 仿真代码见附件4 实验4.1 固有频率分析(1) 将实验台设置为双自由度质量 -弹簧 -阻尼系统，第一个滑块没有阻尼器可 以不接，认为第一个阻尼为零。( 2)闭合控制器开关，点击 setup 菜单，选择 Control Algorithm ，设置选择 Continuous Time Control ，Ts=0.0042, 然后OK 。点击 Command 菜单，选 择Trajectory ，选取step, 进入set-up, 选取Open Loop Step 设置(0)counts, dwell time=3000ms, (1)rep,然后 OK

11、 。此步是为了使控制器得到一段时间的 数据，并不会驱动电机运动。2）点击 Data 菜单，选择 Data Acquisition, 设置分别选取 Encoder#1Encoder#2 ，然后 OK 离开；从 Utility 菜单中选择 Zero Position 使编码器归零。 （ 4）从Command 菜单中选择 Execute ，用手将质量块 1移动到 2.5cm 左右的 位置（注意不要使质量块碰触移动限位开关），点击 Run, 大约 1 秒后，放开手 使其自由振荡，在数据上传后点击 OK 。（5）点击Plotting 菜单，选择 Setup Plot ，分别选取 Encoder #1 P

12、osition ， Encoder #2Position ；然后点击 Plotting 菜单，选择 Plot Data ，则将显示质量块 1 ，2 的自 由振动响应曲线。（6）实验数据纪录： 实验条件：滑块质量 m 1和m 2 ，弹簧刚度 k 1和k2，阻尼系数 c1和c2。 实验数据：时间 -滑块1位移数据；时间 -滑块 2位移数据。问题1 ：两个滑块位移的频率测量值是高模和低模频率么？ 问题2 ：实际的机械系统是多自由度的，如何通过实验法测试系统固有频率？（7）实验报告。关键点是理论和实验结果对比分析。4.2 幅频特性实验（1）点击Command 菜单，选择 Trajectory ，选取S

13、inuscidal, 进入set-up, 选 取Open Loop Step 设置 （200counts）Amplitude,Frequency（2Hz）,Repetition （8 ），然后 OK 。（ 2）从Utility 菜单中选择 Zero Position 使编码器归零。 从Command 菜单中选 择Execute ，点击 Run, 在数据上传后点击 OK。3）然后点击 Plotting 菜单，选择 Plot Data ，则将显示质量块 1 ，2的受迫振 动响应曲线。在响应曲线图上，即可测量出振动振幅。问题1 ：单自由度和双自由度系统的幅频特性有何差异？ 问题 2 ：高模贡献分析。

14、实验三： PID 控制1 实验目的（1）学习 PID 闭环控制结构和系统闭环传递函数计算；（ 2） PID控制器参数设计；（3）控制性能分析。2 实验原理上图给出闭环控制系统原理框图。单自由度质量 - 弹簧-阻尼系统结构下，断开弹簧和阻尼，仅仅保留滑块质量 m 。?mx f电控箱可以看做比例增益 khw 。其中：u 是控制器输出。 PID 控制：?kpe ki edt kd e u其中： e 是比较器输出，参考输入与实际输出的偏差值。erx根据全部上式，可得闭环结构微分方程：? mx? ?khwkd x khwkp x khwki x? ?khwkd rkhwkp r khwkirx(s)r(

15、s)3 ms对应的传递函数：(khwkd )s2 (khwkp)s (khwki ) (khwkd ) s2 (khwkp)s (khwki ) PID 设计PID 控制器中设置积分因子ki为零，则为 PD 控制。传递函数变为：x(s)khwkdkhwkpsmr(s)m2khwkdkhwkpssm闭环特征方程是分母：=4 Hzk hw k pkhw k d=0=0.2=1=2.02 khwkp设计频率 =4Hz ，三种阻尼（欠阻尼=0.2 ，临界 =1.0 ，过阻尼 =2.0 ）的控制器设计。khwkd2m量m=2.6kg （2）实验标定 khw 值：根据估计出的 k hw值，设置控制器 ki

16、=0 和kd=0，调整kp来 估计系统系统频率 =4Hz 。注意： k p不能大于 0.08 。（ 3）闭合控制器开关；点击 Data 菜单，选择 Data Acquisition, 设置选取 Encoder#1 和Commanded Position information；点击 Command 菜单，选择Trajectory ，选取step ，设置（0）counts,dwell time=3000ms,（1）rep。（4）点击setup 菜单，选择 Control Algorithm ，设置选择 Continuous Time Control ，Ts=0.0042, 选取PID ，进入Se

17、tup Algorithm ，输入kp的值（ k i=0和 k d=0 ）（输入的值不能大于 k p =0.08 ），然后OK 。移动质量块 1到-0.5cm 的位 置（规定，朝电机方向为负）选择 Implement Algorithm ，然后Ok 。 注意：从此步开始的每一步， 要进行下一步之前， 都要与运动装置保持一定的安 全距离；选择 Implement Algorithm 后，控制器将会立即加载，若出现不稳定 的或者很大的控制信号时， 运动装置可能反应很剧烈； 若加载后， 系统看上去稳 定，要先用一轻质不尖锐的物体轻轻碰触质量块以验证其稳定性。（5）点击Command 菜单，进入 Ex

18、ecute ，用手将质量块移动到 2cm 左右的位 置，点击 Run, 移动质量块大约到 3cm 位置，然后释放（不要拿着质量块多于一 秒，以免电机过热而断开控制）。（ 6）点击Plotting 菜单，选择Setup Plot ，选取Encoder #1 ；然后点击 Plotting 菜单，选择 Plot Data ，则将显示质量块 1的时间响应曲线。 试想一下，若将比例增益系数 kp 增加一倍，则系统的响应频率将有什么变化？4.2 阻尼1）确定k d的值（不能大于 0.04 ），使得k hw k d=50N/（m/s） ，重复步骤4，除 了输入 kd 的值和 k i=0和k p=0（2）先用

19、尺子检查系统的稳定性，然后用手来回的移动质量块来感受系数k d带来的粘性阻尼的影响 （注意不要极度的迫使质量块运动， 以免电机过热而断开控 制）。（3）增大的 k d值（kd= abs(0.001*sampling) ) warning( numerical integration failed ); break ; endVAR = VarOdeArray(m, : );% ?2?3 ? ? ? ?State=VAR; %3? ? ? D? ?DD? ? ? sss(k,3)=VAR(1);% responsesss(k,4)=VAR(2);% velocityend plot(sss(:,

20、1),sss(:,2), r ,sss(:,1),sss(:,3), k ,sss(:,1),sss(:,4), b );% mdlDerivatives1function dx=mdlDerivatives1(T,x)global SK SC SM SF;% y(1)=x;% y(2)=xd; dx=zeros(2,1);%sloshing dynamicsdx(1)=x(2);dx(2)=SF/SM-SK/SM*x(1)-SC/SM*x(2);附件 2: 实验 2 仿真代码% exp 2clcclearglobal SK1 SK2 SC1 SC2 SM1 SM2 SF;sampling=1

21、/1000;SK1=200;SK2=200;SC1=0;SC2=0;SM1=2.6;SM2=2.6;State=zeros(1,4);State(1)=1.0;State(3)=0.0;sss=zeros(1,1);for k=1:fix(5/sampling) t=k*sampling; sss(k,1)=t; %timeSF=0; sss(k,2)=SF;TimeOdeArray,VarOdeArray = ode45( mdlDerivatives2, t t+sampling,State); m,n=size(TimeOdeArray);TimeAtEndOfArray = TimeO

22、deArray(m,1);if( abs(TimeAtEndOfArray - (t+sampling) ) = abs(0.001*sampling) ) warning( numerical integration failed ); break ; endVAR = VarOdeArray(m, : );% ?2?3 ? ? ? ?State=VAR; %3? ? D? ?DD? ? ? sss(k,3)=VAR(1);% response1sss(k,4)=VAR(2);% velocity1sss(k,5)=VAR(3);% response2sss(k,6)=VAR(4);% velocity2endplot(sss(:,1),sss(:,2), r ,sss(:,1),sss(:,3),k ,sss(:,1),sss(:,5)-sss(:,3),b);% mdlDerivatives2function dx=mdlDerivatives2(T,x) global SK1 SK2 SC1 SC2 SM1 SM2 SF; % x(1)=x1;% x(2)=x1d;% x(3)=x2;%