强大导数知识点各种题型归纳方法总结

1、导数的基础知识参考材料.A 10b13三?导数的物理意义c-16D.19导数的定义：1.(1).函数y = f (x)在x =x处的导数:f (X。)=y|xm=怛口x %x) - f (x) 函数八f(x)的导数:f (x) = y = 1巩f (x 冈- f (x)2利用定义求导数的步骤求函数的增量：.沖二f(X。 Ax) - f(x。)：求平均变化率：竺二f(x。：x)- f (X0) lxlx取极限得导数：f (x。)二lim y3 Ax(下面内容必记)导数的运算:(1) 基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式 ：mm i C，O(C 为常数):(xn)= nxn，；(丄)、(x)一

2、 nx；(n xm) =(x = m x_xn(sinx)=cosx ；(cosx) - -sin x (ex)=ex(ax)=ax|na(a 0,且a = 1)；1 1(ln x)；(log a x)(a 0,且 a =1)xxln a法则1：f(x) _g(x) = f (x) _g(x) ； (口诀：和与差的导数等于导数的和与差).法则2：f(x) g(x) f (x) g(x) f (x) g(x)(口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号)法则3：f 阳(X)嵌)二 2(X) g(X)(g(x)=0) g(x)g(x)(口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中

3、间是负号)(2)复合函数y二f (g(x)的导数求法：换元，令u =g(x)，则y = f(u)分别求导再相乘y=g(x) 】f (u)】回代u=g(x)题型一、导数定义的理解题型二：导数运算1、已知 f x = x2 2x - sin 二，贝U f 0 二S二f t在t “0时的导数t ,1. 求瞬时速度：物体在时刻t0时的瞬时速度 V就是物体运动规律即有 V。2. V= s/(t)表示即时速度。a=v/(t)表示加速度。四. 导数的几何意义:函数f x在X0处导数的几何意义，曲线y = f x在点Px0,fx处切线的斜率是k =x0。于是相应的切线方程是：y - y = f X0 x -x

4、 。题型三.用导数求曲线的切线注意两种情况：(1 )曲线y二f x在点PXo,fXo处切线：性质：k切线=f Xo 。相应的切线方程是：y -y。二 f X。x -x。(2)曲线y = f x过点P Xo,y。处切线：先设切点，切点为Q(a,b),则斜率k= f(a),切点Q(a,b)在曲线 y=f x上，切点Q(a,b)在切线y-yo =a x-x。上，切点Q(a,b)坐标代入方程得关于 a,b的方程组，解方 程组来确定切点，最后求斜率k= f(a)，确定切线方程。例题在曲线y=x3+3x2+6x-10的切线中，求斜率最小的切线方程；解析：(1)k =y|x2。=3x02 6x0 6=3(x

5、0 1)2 3 当 xo=-1 时，k 有最小值 3，此时P的坐标为(-1，-14)故所求切线的方程为3x-y-1仁0五. 函数的单调性：设函数y = f(x)在某个区间内可导，(1) f(x)0= f(x)该区间内为增函数;(2) f(x) ： 0= f(x)该区间内为减函数;注意：当f(x)在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正(或负)时，f (x)在这个区间上仍是递增(或递减)的。(3) f (x)在该区间内单调递增 =f(x)-0在该区间内恒成立;(4) f (x)在该区间内单调递减=f (x) 0在该区间内恒成立； 题型一、利用导数证明(或判断)函数f(x)在某一区间上单调性：步骤

6、：(1)求导数 y=f(x)(2) 判断导函数，二f(X)在区间上的符号(3) 下结论 f(x) 0= f (x)该区间内为增函数； f (x) ： 0= f (x)该区间内为减函数；题型二、利用导数求单调区间求函数y = f(x)单调区间的步骤为：(1)分析y = f (x)的定义域；(2)求导数 y = f (x)(3) 解不等式f(x)0,解集在定义域内的部分为增区间(4) 解不等式f(x) ：0,解集在定义域内的部分为减区间 题型三、利用单调性求参数的取值(转化为恒成立问题)思路一 .(1) f(x)在该区间内单调递增 =f(x)_0在该区间内恒成立；(2) f (x)在该区间内单调递

7、减 二f(x)0在该区间内恒成立；思路二先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或减区间的子集。注意：若函数f (x)在(a, c)上为减函数，在(c, b)上为增函数，则x=c两侧使函数(x)变号，即x=c为函 数的一个极值点，所以f (c) =0In x例题若函数 f (x)，若 a = f (3), b = f (4), c = f (5)则()xA. a b cB. c b aC. c a bD. b a c六、函数的极值与其导数的关系：1极值的定义：设函数f (x)在点X附近有定义，且若对X附近的所有的点都有f( X)： f (0K )(或

8、 f (x)f (x0),则称f(x)为函数的一个极大(或小)值，X0为极大(或极小)值点。 可导数f(x)在极值点X0处的导数为 0 (即f(x)=0 ),但函数f (X)在某点X0处的导数为 0,并不一定函数3f (X)在该处取得极值(如f (X) =X在X0 =0处的导数为0 ,但f (X)没有极值)。 求极值的步骤：第一步：求导数f (X)；第二步：求方程f(x) =0的所有实根；第三步：列表考察在每个根 X0附近，从左到右，导数f (X)的符号如何变化，若f (X)的符号由正变负，则f(X0)是极大值；若f(X)的符号由负变正，则f(x0)是极小值； 若f (X)的符号不变，则f (

9、X0)不是极值，X0不是极值点。2、函数的最值： 最值的定义：若函数在定义域D内存x0 ,使得对任意的XD ,都有f(x)辽f(x)，(或f(x)_ f(x)则称f(Xo)为函数的最大(小)值，记作ymax = f(xJ (或ymin = f(X。) 如果函数y = f(x)在闭区间a,b上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在闭区间a,b上必有最大值和最小值。 求可导函数f (x)在闭区间a,b上的最值方法：第一步；求f (x)在区间a,b内的极值；第二步：比较f (x)的极值与f (a)、f (b)的大小：第三步：下结论：最大的为最大值，最小的为最小值。注意：1、极值与最值关系：函数的最

10、值是比较整个定义域区间的函数值得出的，函数的最大值和最小值点可以在极值点、不可导点、区间的端点处取得。极值工最值。函数f(x)在区间a,b上的最大值为极大值和f(a)、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和f(a)、f(b)中最小的一个。2. 函数在定义域上只有一个极值,则它对应一个最值(极大值对应最大值；极小值对应最小值)13、 注意：极大值不一定比极小值大。如f(x)=x 的极大值为-2 ,极小值为2。x注意：当x=x 0时，函数有极值 =fX0)= 0。但是，#他)=0不能得到当x=xo时，函数有极值; 判断极值,还需结合函数的单调性说明。题型一、求极值与最值题型二、导数的极值与最值的应

11、用 题型四、导数图象与原函数图象关系 导函数原函数f (x )的符号f(x)单调性f (x )与 x轴的交点且交点两侧异号f (x)极值f (x )的增减性f (x)的每一点的切线斜率的变化趋势(f(X)的图象的增减幅度)f (x)的增f(x)的每一点的切线斜率增大(f (X)的图象的变化幅度快)f (x)减f (X)的每一点的切线斜率减小(f (X)的图象的变化幅度慢)例1.已知f(x)=e X-ax-1.(1) 求f(x)的单调增区间;(2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围;(3)是否存在a,使f(x)在(-g, 0:上单调递减，在0 , + g)上单调递增？若存在，求出a的

12、值；若不存在，说明理由解：f(x)=eX-N(1)若 a 0,e x-a 0, x阮a,x lna.的单调递增区间为(Ina,+E)(2) v fx)在R内单调递增，广(x) 0 在 R上恒成立|ex-a 0，即 a ex在 R 上恒成立， /30 , /，a0,(3) 由题意知，x=0为f(x)的极小值点.=0,即e0-a=0, a=1.例2.已知函数f(x)=x 3+ax2+bx+c,曲线y=f(x )在点x=1处的切线为l:3x-y+仁0 ,若x=-时，y=f(x )有极值.(1)求 3a,b,c的值;(2)求y=f(x )在-3 , 1:上的最大值和最小值解 (1)由 f(x)=x 3

13、+ax2+bx+c,得 f (x) =3x 2_*2aX+b.当x=1时，切线I的斜率为3,可得2a+b二0当 x=-时，y=f(x)有极值，则 f - =0,可得 4a+3b-i-4=0/l+a+b+c=4.c=5.3炉丿由解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为 X二l.-fll)二4”(2)由(1)可得 f(x)=x 3+2x2-4x+5,.f. (x) =3x 2+4x- 令 f (x) =0,得 x=-2,x=-(3当x变化时，y,y的取值及变化如下表x-3(-3,-2)-2,323?113,1/y+0-0+单调递增单调递减95单调递增y8134/2 7/f y=f x)在-3 ,

14、1:上的最大值为13 ,最小值为95.27例3.当x0,证明不等式xln(1X):：x.1xxv证明：f(x)=ln(x 1), g(x)=ln(x 1)-x，则 f (x)2 ,1 +x(1 十 x)当 x 0时。f (x)在 0,=内是增函数，.f (x) . f(0)，即 In(1 x) 0，1 + xx又 g (x)，当 x 0时，g (x) ： 0，g(x)在 0,：内是减函数， g(x) ： g(0)，即 In(1 x) - x ： 0 ,因1 +xx 此，当x - 0时，不等式ln(1 x) ： x成立.1 +xx 点评：由题意构造出两个函数f(x)=ln(x 1)， g(x)=

15、ln(xT)-x.1 +x利用导数求函数的单调区间或求最值，从而导出是解决本题的关键 .七定积分求值1.定积分的概念设函数f (x)在区间a,b上连续:分割：n等分区间bnf (x)dx = lim f二 an ib2.用定义求定积分的一般方法是n b _af ( i):取极限：i壬 n，贝U f (x)dx = lim f 、aTC ya, b 1； 近似代替:取点,b - ab -a3.曲边图形面积：f x _0,S 二 f xdx ； f x ：0,S 二-a在x轴上方的面积取正，下方的面积取负t2变速运动路程S v(t)dt ；变力做功W二t1nbf x dxabF(r)dra4.定积

16、分的性质bb.kf(x)dx二k. f (x)dx (其中k是不为0的常数)aabbb(x)二 f2(x)dxf|(x)dx 二 f2(x)dxaaabcbJf(x)dx= J f( x dx J ( )x d其中 a 0,=0,0)第二种：变更主元(即关于某字母的一次函数) (已知谁的范围就把谁作为主元)；例1:设函数y=f(x)在区间D上的导数为f (x)， f (x)在区间D上的导数为g(x)，若在区间D 上, g(x)：0恒4332成立，则称函数y二f (x)在区间D上为 凸函数”，已知实数m是常数，f (x)-卫* -(1) 若y = f(x)在区间0,3 1上为凸函数”，求m的取值

17、范围；(2) 若对满足 m乞2的任何一个实数 m，函数f (x)在区间(a,b )上都为 凸函数”，求b-a的最大值.32x mx 小3x3212 6 24332解:由函数f(X)- - m -丝得f(X)：126232g(x)二x _mx _3(1)：y = f(x)在区间0,3 1上为 凸函数”，贝V . g(x) = x2-mx-3 ： 0在区间0,3上恒成立解法二：分离变量法：解法一：从二次函数的区间最值入手 ：等价于gmax(x) ：0g(0)丄 3。“ 2g(3) 09-3m-3 0/ 当 x = 0 时，二 g(x) =x2 _mx _3= _3 0 恒成立,当 0 :： x -

18、 3时，g(x) = x2 - mx - 3 ： 0恒成立x2 _33等价于mx的最大值(0 ： x二3)恒成立，xx3而 h(x)二 x ( 0 x 0在m兰2恒成立(视为关于m的一次函数最值问题)F(-2) 0-丨-2x -x23 0o:1 ： x ： 1F(2) 02x x2 3 0b =21例 2:设函数 f (x) x3当x=a时，f (x)极小值= a b; 当x=3a时，f (x)极大值=b. (n)由| f (x)|a,得：对任意的x a 1,a2, a乞x2 4ax 3a2乞a恒成立-gmax(x)乞 a22则等价于g(x)这个二次函数g(x)二x -4ax 3a的对称轴x

19、= 2a9min(X)兰 一aa 1 a 2a (放缩法)即定义域在对称轴的右边 ，g(x)这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题g(x)二 x2 -4ax 3a2在a 1,a 2上是增函数. g(x)max=g(a 2) 2a 1.g(x)min =g(a 1)4a 4.于是，对任意a 1,a2,不等式恒成立，等价于 2ax2 3a2x b(0 ： a : 1,b R)3(I)求函数f(x)的单调区间和极值；(n)若对任意的xa+1,a+2,不等式f(x)兰a恒成立，求a的取值范围(二次函数区间最值的例子)2 2解：(I) f (x) - -x 4ax -3a - -x-3a x-a(

20、9参考材料令f (x) ： 0,得f (x)的单调递减区间为 (一：,a)和(3a, + ：)p 0 a 1,a - 21g(a 2) = -4a 4 乞 a,g(a 1) = -2a 1 】：-a5_a _1.参考材料4又 0 ： a ： 1, a . 1.5点评：重视二次函数区间最值求法:对称轴(重视单调区间)与定义域的关系第三种：构造函数求最值题型特征：f(x) g(x)恒成立h(x) = f (x) g(x) . 0恒成立；从而转化为第一、二种题型例3 ；已知函数f(x)=xax2图象上一点P(1,b)处的切线斜率为-3，3 t 6 2 g(x) =xx -(t 1)x 3 (t 0)

21、(i)求a, b的值;(n)当-1,4时，求f (x)的值域；(川)当1,4时，不等式f(x)乞g(x)恒成立，求实数t的取值范围。/2(1)=3a = 3解：(i) f (x) = 3x - 2ax , 解得b = 1 + ab = -2(n)由(i)知，f (x)在-1,0上单调递增，在0,2上单调递减，在2,4上单调递减又 f(_1)=_4, f (0) =0, f (2)二4, f (4) =16 f (x)的值域是-4,16t 2(川)令 h(x)二 f (x)-g(x) x (t 1)x-3x 1,42思路1 :要使f(x)乞g(x)恒成立，只需h(x)乞0,即t(x2-2x) _

22、 2x-6分离变量思路2:二次函数区间最值二、已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法1 :转化为f(x)_0或f(x“0在给定区间上恒成立,回归基础题型解法2:利用子区间(即子集思想)；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减 区间的子集；做题时一定要看清楚 在(m,n )上是减函数”与函数的单调减区间是(a,b)”，要弄清楚两句话的区 别：前者是后者的子集_13 a +1 2例 4:已知 a R,函数 f (x) xx (4a - 1)x .12 2(i)如果函数g(x) = f (x)是偶函数，求f (x)的极大值和极小值；(n)如果函数f(x)是(-=:)上的单调函

23、数，求a的取值范围.1 2解：f (x)二一x (a 1)x(4a1).41 3 1 2(I)V f(x)是偶函数， a - -1.此时 f(x) x_3x , f(x) x-3 ,124令 f (x) =0，解得：x =2.、3.列表如下：x( a , -2 J3 )2屈(23,273)2灵(2*3，+ a)f(X)+00+f(x)递增极大值递减极小值递增可知：f (x)的极大值为f(-2.、3)=4*3 ,f (x)的极小值为f (2、3) - -4. 3 .(u)：函数f (x)是(一皿，：)上的单调函数，二f (x) =-x2 (a 1)x (4a 1 0 ,在给定区间R上恒成立判别式

24、法 42 1 2则厶=(a 1)-4(4a 1) = a2 -2a _ 0, 解得：0 _ a _ 2 .4综上，a的取值范围是a0兰a兰2.1312例 5、已知函数 f (x) x (2-a)x (1-a)x(a_0).32(I)求f (x)的单调区间；(II)若f (x)在0，1上单调递增，求a的取值范围。子集思想(I) f(X)= x2 (2a)x 1a = (x 1)(x 1a).1、当 a =0时，f(x)=(x，1) _ 0恒成立，当且仅当时取=”号，f (x)在单调递增。2、 当 a 0时，由 f (x) = 0,得论-1,x2 = a -1,且捲：x2,综上，a的取值范围是0，

25、1。单调增区间：(-=T),(a -1：)单调增区间：(T,aT)(II)当；f (x)在0,1上单调递增， 则0,1是上述增区间的子集1、 a=0时，f (x)在(-=r)单调递增 符合题意2、匕1 匚 一1,二，-a 1 乞0a 汨三、根的个数问题提型一函数f(x)与g(x)(或与x轴)的交点= 即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即 穿线图”即解导数不等式)和趋势图”即三次函数的大致趋势 是先增后减 再增”还是 先减后增再减”；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组)；主要看极大值和极小值与0的关系；第三步：解不等式(组)即可；例6、已知函数f(x)=1x_(k 1

26、) x2, g(x)=_kx，且f(x)在区间(2, ：)上为增函数323(1) 求实数k的取值范围；(2)若函数f (x)与g(x)的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围解：(1)由题意f (x) =x2 _(k - 1)x / f (x)在区间(2,=)上为增函数， f (x) =x2 -(k 1)x0在区间(2：)上恒成立(分离变量法)即k 1 . x恒成立，又x 2 , k 仁2 ,故k乞1.k的取值范围为k 0x,k)k(k,1)1(1,畑)h(x)+0一0+h(x)/极大值i 3 | 2 ” kk1623极小值k 一12/k 一1由于0,欲使f(x)与g(x)的图象有三个不同的

27、交点，即方程h(x)=0有三个不同的实根2综上，所求k的取值范围为k ： 1 - 3根的个数知道，部分根可求或已知。312例7、已知函数f(x)二ax x -2x c2(1) 若x - T是f (x)的极值点且f (x)的图像过原点，求f (x)的极值；1 2(2) 若g(x) bx2-x,在(1)的条件下，是否存在实数b ,使得函数g(x)的图像与函数f(x)的图像恒有2含x =-1的三个不同交点？若存在，求出实数b的取值范围；否则说明理由。解：(1f(x)的图像过原点，则 f(0)=0=c=：0f (x) =3ax2 x-2 ,又 tx - -1 是 f (x)的极值点，则 f (T) =

28、 3a T - 2 二 0= a - -12 22f极小值 (x)= f f 尸=.f (x) =3x2 x -2 二(3x-2)(x 1) =0 f极大值(x) = f(T)f极小值(x)二f (,2 37(2)设函数g(x)的图像与函数f (x)的图像恒存在含 x = -1的三个不同交点，1等价于 f(x)=g(x)有含 x = -1 的三个根，即: f(T) = g(T)= d (b-1)312121x-x -2x bx -x- (b-1)整理得：2 2 23 1 2 1即：x (b-1)x X(b-1)=0恒有含x - -1的三个不等实根2 2、1i(计算难点来了 ：)h(x)=x3(

29、b-1)x2-x (b-1)=0 有含 x=-1 的根，2 2则h(x)必可分解为(x 1)(二次式)=0,故用添项配凑法因式分解，X3 X2 X2 _1(b1)x2 x 1(b1) = 0 x2(x 1)一 *(b 1)x2 x *(b 一1) =0 x2(x 1) 一* (b 1)x2 2x (b 1) =0A十字相乘法分解：x2(x1)x-(b-1)l x =0-11q(x 1) x2(b 1)x (b -1) =01 223 1 2 1.x (b -1)x -x (b-1)=0恒有含x=-1的三个不等实根2 21 1等价于x2(b 1)x q(b-1) =0有两个不等于-1的不等实根。

30、1 2 1(b 1)-4 -(b -1)0424/二 b (严-1)5-1,32(3，址)(-1)-(b 1)护-1)7L 22题型二：切线的条数问题二=以切点X。为未知数的方程的根的个数例7、已知函数f (x) =ax3 bx2 cx在点X0处取得极小值 4,使其导数f(x)0的x的取值范围为(1,3),求:(1) f (x)的解析式；(2)若过点P(T,m)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.2(1) 由题意得：f(x)=3ax 2bx c =3a(x1)(x3),(a ： 0)在(_ = 1)上 f (x) 3A = (m + 3) -4(m + 6) 0;则 f (1)

31、 = 1 -(m 3) m 6 0;,m+3 1. 2例9、已知函数f(x)=-x2, (aR,a=0) (1)求f (x)的单调区间；21(2)令 g(x) = x4 + f (x)4(xR)有且仅有3个极值点，求a的取值范围解：(1) f (x) = ax2 x 二 x(ax 1)1 1当a 0时，令f (x)0解得x 或x 0，令f (x) ： 0解得x ： 0 ,aa所以f (x)的递增区间为(-二，-)(0,；4),递减区间为(-,0).aa11当a : 0时，同理可得f (x)的递增区间为(0,-),递减区间为(-：,0)(,=).aaa ：2 或 a 2而当a ： -2或a 2时

32、可证函数y =g(x)有且仅有3个极值点其它例题：(一)最值问题与主元变更法的例子已知定义在R上的函数f(x)二ax3-2ax2 b( a -0)在区间-2,1上的最大值是5，最小值是11.(I)求函数f (x)的解析式；(n)若i -1,1时，f (x) tx二0恒成立，求实数x的取值范围.解 ：(I) ，f(x)二 ax -2axbr f(x)=3ax -4ax = ax(3x-4)令 f(x)=O,得 x, =0,x2 二纟-丨-2,1 3因为a 0 ,所以可得下表x1-2,0 )0(0,1】f(x)+0-f(x)/极大因此 f (0)必为最大值， f (0 = 5因此 b=5 ,: f

33、(2)=-16a 5,f(1)a 5, f(1) f(-2).即 f(-2) - -16a- -11 , a =1 , f (x)二 x3 -2x25.2 2(n)v f (x) =3x -4x f (x) tx 空0 等价于 3x - 4x tx 乞 0,令g(txt 3x2 -4x，则问题就是g(t“0在r -1,1上恒成立时，求实数x的取值范围，为此只需(-1) 卫(1)03x2x2一 5x _0-xO 解得0辽x1，所以所求实数x的取值范围是0, 1.(二)根分布与线性规划例子例:2已知函数f (x)x3 ax2 bx c3(I )若函数f (x)在x =1时有极值且在函数图象上的点(

34、0, 1)处的切线与直线 3x * y二0平行，求f (x)的解析式；(n )当f (x)在x(0, 1)取得极大值且在 x(1, 2)取得极小值时，设点M(b-2, a 1)所在平面区域为 S,经 过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两部分，求直线L的方程.解：(I)由f (x)二2x2 2ax - b ,函数f (x)在x =1时有极值， 2a b 2 =0 f (0) =1 c =1又 f (x)在(0,1)处的切线与直线3x 0平行， f (0) =b - -3故 a 二122 3 1 2 f(x)= x+ x 3x+1：7 分3 2(n )解法一：由f (x2x2 2ax b及f

35、(x)在x (0, 1)取得极大值且在 x，(1, 2)取得极小值，f(0) 0 f (1)cOf0即丿2a +b +2 cO4a b 80令 M (x, y),x 42y = a 1x 2 . 0I*2y + x+20 故点M所在平面区域S为如图 ABC,4y + x +6 a 03易得 A(-2, 0), B(2, -1), C(2,-2), D(0,-1), E(0, -|), S abc = 2同时DE ABC的中位线，S.dec1S一 3 S四边形ABED所求一条直线L的方程为：x =0另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面积比为交于F、G,则 k 0,S四边形DEGF二1得点F的横坐标为：Xf2k 1得点G的横坐标为：4k 1S四边形DEGF = S O GES OFD二 312 2 4k 12 2k 11:3的两部分，设直线L方程为y =kx，它与AC,BC分别(舍去)故这时直线方程为：2.12分1解得：k或2(n)解法二：由f (x)-2x2 2ax b及f (x)在x(0,1)取得极大值且在X(1,2)取得极小值,