微分中值定理的若干推广和应用开题报告

1、附件 10：论文（设计）管理表昌吉学院本科毕业论文（设计）开题报告论文（设计）题目微分中值定理的若干推广及其应用系（院）数学与应用数学专业班级07 级数本（ 2）班学科理科学生姓名李娜指导教师姓名黄永峰学号0725809061职称助教一、选题的根据 （1、内容包括：选题的来源及意义，国内外研究状况，本选题的研究目标、内容创新点及主要 参考文献等。 2、撰写要求： 宋体、小四号 。）1. 选题的来源及意义微分中值定理是数学分析课程中的重要内容，同时也是微积分学的基本定理，是 研究函数性质的有力工具。函数与其导函数是两个不同的的函数，而导数只是反 映函数在一点的局部特征，如果要了解函数在其定义域上

2、的整体性态，就需要在 导数及函数间建立起联系，微分中值定理正好起到了这种作用。它不仅沟通了函 数与其导数的关系，而且也是微积分学理论应用的桥梁与基石。但其理论性较强，内 容抽象，在许多的教材中定理的形式单一，导致学生的兴趣不大，同时理解和应用起 来比较困难，甚至容易得出错误结论。本文针对这一情况，着重论述微分中值的内涵 以及相互联系， 希望能运用多种方法给出证明， 同时对定理的形式和结论做一些推广， 并给出一些比较好的应用 .2. 国内外研究状况人们对微分中值定理的研究，从微积分建立之始就开始了。 1637 年，法国著名数 学家费马（ Fermat，1601 1665）在求最大值和最小值的方法

3、中给出了费马定理， 在许多教科书中， 人们通常将它作为微分中值定理的第一个定理。 罗尔于 1691 年在题 为任意次方程的一个解法的证明的论文指出了：在多项式方程的两个相邻的实根 之间，方程至少有一个根。一百多年后，即 1846年，尤斯托 .伯拉维提斯将这个定理 推广到可微函数，并把此命题命名为罗尔定理。 1797 年，法国数学家拉格朗日在解 析函数论一书中给出拉格朗日定理，并给出最初的证明。对微分中值定理进行系统 研究的是法国的数学家柯西，他是数学分析严格化运动的推动者，其三部巨著分析 教程、无穷小计算教程概论及微分计算教程以严格化为其主要目标，对微积 分理论进行了重构。他首先赋予中值定理以

4、重要作用，使其成为微分学的核心定理。 在无穷小计算教程概论中，柯西首先严格的证明了拉格朗日定理，随后又在微 分计算教程中将其推广为广义中值定理柯西定理。国内关于微分中值定理的理论及应用的研究工作较多，而且得到了一些较好的结 果。在参考文献 2 中, 作者运用推广与收缩的观点了揭示了微分中值定理之间的关系， 阐述了微分中值定理在微分学的地位与作用，同时介绍了微分中值定理在解题中一些 相关应用；在参考文献 4 中，文章把区间及端点的函数值推广为无限， 改进了相应的 结果；在参考文献 5 中，作者采用了启发性教学及应用综合分析法来构造辅助函数， 能达到理想的教学效果； 在参考文献 6 中，作者针对在

5、闭区间端点处不连续的函数以 及无穷区间上的可导函数的相关问题作了进一步研究，所得结论推广和完善了文献中 相应的定理； 在参考文献 9 中，文章通过几个例子具体说明微分中值定理在证明不等 式中的应用，以及不同中值定理在解决的不等式的区别；在参考文献 10 中，作者通 过实例系统地介绍一些较好的证明方法，如辅助函数法中导出辅助函数的观察法、积 分法、微分方程法以及待定系数法，以此为基础推出若干新的微分中值定理。3. 研究目标 在已学知识和参考文献的的基础上，本文从四个方面进行考虑：第一：将证明方 法进行改进；第二：将定理的条件减弱，对结论进行推广；第三：从应用的方面进行 推广；第四：对微分中值定理

6、的教学过程中的讲授方法进行相关的探讨。4. 本文创新点 本文将详细介绍三大中值定理之间的密切联系，详细阐述如何构造辅助函数，并给出和常规证法不一样的证明方法；同时对结论进行了相应的推广，给出一些形式更 好和条件更弱的结果；此外，还将微分中值定理应用于解决一些实际问题，给出一些 比较的应用。5. 主要参考文献1 华东师范大学数学系 . 数学分析 (第二版 )上册M 北京：高等教育出版 社.1980.2 刘章辉.微分中值定理及其应用 J. 山西大同大学学报 (自然科学报 ). 2007 ， 23(2) ：79-81.3 张玉莲，杨要杰 . 拉格朗日中值定理的推广 J. 河南教育学院学报 (自然科学

7、 版 ). 2008 ，29(2) ：11-12.4 高波. 微分中值定理的推广 J. 常州工学院学报 . 2007,20(6):58-62.5 张珍珍，吴筠 . 中值定理数学探讨 J. 九江学院学报 . 2007 ，(3) ：109-110.6 齐春玲，李晓培.关于罗尔中值定理条件的研究 J. 河南科技大学学报： 自然 科学版. 2007 ，28(5)：96-97.7 辛健 . 拉格朗日中值定理在证明中的应用 N. 大众科技 . 2007 ， (97) ： 181-183.8 宋秀英 . 关于微分中值定理的一点注记 J. 宜春学院学报 ( 自然性科学 ). 2007，29(6):46-47.

8、9 赵文祥.微分中值定理与不等式的证明 J. 天津电大学报 . 2007 ：25-27.10 张太忠，黄星，朱建国 . 微分中值定理应用的新研究 J. 南京工业职业技术 学院学报. 2007 ，7(4) ：23-26.二、采用的研究方法及手段 （ 1、内容包括：选题的研究方法、手段及实验方案的可行性分析和已具备的实 验条件等。 2、撰写要求： 宋体、小四号 。）本文采取的是文献研究法的：具体采用了数学归纳法、分析法、反证法、演绎法 等方法.三、论文的框架结构 （宋体、小四号） 微分中值定理的若干推广及其应用0. 引言1. 微分中值定理常见的结论及证明1.1 微分中值定理的历史演变1.2 Rol

9、le 中值定理及其证明1.3 Lagrange 中值及其证明1.4 Cauchy 中值定理及其证明1.5 Rolle 中值定理、 Lagrange 中值、 Cauchy中值定理的区别及联系2. 微分中值定理的推广2.1 Rolle 中值定理的推广2.2 Lagrange 中值定理的推广2.3 Cauchy 中值定理的推广2.4 高阶形式的微分中值定理3. 应用3.1利用微分中值定理判别根的存在性3.2利用微分中值定理证明不等式3.3利用微分中值定理求极限3.4中值定理在高中数学中应用4. 微分中值定理的教学一些探讨4.1关于微分中值定理条件的研究4.2微分中值定理在现实生产生活的研究5. 结论

10、6. 参考文献7. 致谢四、写作的阶段计划 （宋体、小四号 ）第一阶段： 2010年11月 29日 2011年03月10日，完成初稿 第二阶段： 2011年03月 11日 2011年03月31日，完成二稿 第三阶段： 2011年04月 01日 2011年04月21日，完成三稿 第四阶段： 2011年04月 22日 2011年05月09日，完成四稿 第五阶段： 2011年05月 10日 2011年05月15日，完成定稿指导教师签名：年月日系（院） 毕业 论文 （设计） 指导 委 员会 意见主任签名：年 月 日附件 10：论文（设计）管理表二昌吉学院本科毕业论文（设计）指导记录论文（设计） 题目学生姓名指导教师姓名学号指导教师职称指导 次数/ 时间指 导 内 容