高中数学《正弦定理、余弦定理的应用》文字素材1苏教版必修5

1、正、余弦定理应用举例高考连线本部分内容主要考查同学们对基础知识的掌握程度和灵活应用能力考查主要以应用正弦定理、余弦定理解决实际问题、求值、证明三角恒等式等为主，兼顾三角恒等变换能力、运算能力及转化的数学思想高考金题精析例 1（2006 上海高考） 如图 1，当甲船位于a 处时获悉， 在其正东方向相距20 海里的 b处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距 10 海里 c 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往b 处救援（角度精确到 1）？解：如图 1所示，在abc中，ab20，ac10，bac由余弦定理知120bc2ab2ac2202102

2、220101700， bc 10 7 2 ab ac cos1202由正弦定理得abbc，sinacb sin bac sinacbabsinbac20sin12021bc10 77 acb 41乙船应沿北偏东30 41 71的方向沿直线前往b 处救援评析：在解决与三角形有关的实际应用问题时， 应深刻理解一些有关名词、 术语的含义，如方位角、仰角、俯角等，并能准确的与题目中相关知识结合，进行准确的定位例 2（ 2005 年全国卷） abc 中，内角 a， b，c 的对边分别为 a， b， c ，已知 b2ac ，cos b3 4（ 1）求11tan a的值；tan c（ 2）设 babc3 ，

3、求 ac 的值2解：（ 1）由 cos b3 ，得 sin b由 b 24sin2 bac 及正弦定理得故11cos acos ctan a tancsin asin c74sin a sin c sin c cos acosc sin asin a sin c用心爱心专心1sin( ac)sin b147 ；2b2sin b7sinsin b（ 2）由 babc3 ，得 ca cos b3 22把 cos b3 代入上式，得ac2 ，即 b22 4由余弦定理 b 2a2c22ac cos b ，得 a 2c25 ， (a c)2a2c22ac549 ， ac3评析：本题是正、余弦定理与平面向

4、量等知识的交汇题，是高考命题的热点题型例 3（ 2006 江西高考题）如图2，已知 abc 是边长为 1的正三角形，m， n 分别是边 ab， ac 上的点，线段mn 经过 abc 的中心 g 设 mga 2 33（ 1）试将 agm ， agn 的面积（分别记为 s1 与 s2 ）表示为的函数；1 1（ 2）求 y2s22 的最大值和最小值s1解：（ 1）因为g 为边长为1 的正三角形abc 的中心，所以 ag233 ，mag3236由正弦定理gmga，得 gm3，sin6sinsin666则1sins1gm ga sin212sin6又 gnga，得gn3，sin6sinsin666则1s

5、in；s2gn ga sin( )212sin6（ 2） y11144sin 2sin 27221s12s22sin 266sin 2用心爱心专心2因为 2，所以当或 2时， y 的最大值为 240；当时， y 取得最33332小值 216评析：可以将平面几何的计算问题化归到三角形中，利用正弦定理、 余弦定理以及面积公式等基本知识转化为方程或函数问题来处理问题求解建模帮忙数学建模思想： 就是从实际问题出发， 经过抽象概括， 把实际问题转化为具体问题中的数学模型， 然后通过推理演算， 得出数学模型的解，最后还原成实际问题的解那么在解题中建模思想是如何表现的呢？下面结合例题给大家具体的讲解一下，以

6、帮助同学们更好的体会例 1 现从雷达发现一艘船装有走私物品， 海关缉私队立即由 a 港口乘快艇出发追击此船，若快艇在 a 处时，观测到该船在北偏西 15的 b 处， a， b 间的距离为 100 海里，且走私船以每小时 40 海里的速度沿东北方向行驶， 快艇的速度可达每小时 60 海里，问快艇沿什么方向追击，才能尽快追上走私船？用去多少时间？分析：读完题之后， 我们知道解决此问题的关键是如何把它转化成数学问题，即建立数学模型为此， 我们可以分四步来进行：一是分析问题， 首先确立两船的相对位置及走私船的航向，确定最短追击路线（形成三角形时追击的时间最短）；二是对实际问题抽象概括，得到三角形模型，

7、并找到相应的边角关系；三是对得到的三角形模型求解；四是把得到的模型的解还原成实际问题的解，即解决问题根据以上分析，我们首先作出示意图，利用图形把它转化为数学问题解：如图 1 所示，设 t 小时后快艇追上走私船，则bc40t ， ac60t 由余弦定理，得(60t )21002(40t )22 100 40t cos120，化简、整理，得t 22t50 ，解得 t 16 由实际问题我们知道t16 不符合题意，故舍去因此，我们可以得出t163.45 （小时）用心爱心专心3再由正弦定理，得sin abc sin b40t sin1203 ，ac60t3查表可知a 35.3所以快艇应沿北偏东20.3

8、，才能尽快追上走私船，用去约3.45 小时提示： 正弦定理与余弦定理的应用过程其实就是建模的过程因此，我们不但要学会定理本身，还要有较强的建模能力， 即有一双学数学人特有的眼睛，能从各种复杂的实际情况中看出或“抽”出它们之间的数量关系，进而建立相应的数学模型，用学过的数学知识求解，最后得出解决实际问题的方法下面我们试着用这种思路来解决另一个实际问题吧例 2在相距 3400m的 a，b 两监测所中， 听到同一爆炸声的时间差为6s，且 b 处的声强是a处声强的4 倍，声强与距离的平方成反比，求爆炸点到两监测所中点的距离分析： 题中涉及了两个监测所和爆炸点，我们可把它们分别看成一个点，从中抽象出三角形模型，这样所求就转化成了求三角形的一条中线的长解：如图2，记爆炸点为p ，建立如图所示的三角形，q 为 ab 的中点根据声强与距离的平方成反比，可得ap 2 bp ，又根据时间差及声音的传播速度，可得apbp6340 （ m）联立、解得ap4080 （ m）， bp2040 （m）在 abp 中，由余弦定理，得222222apabpbcospab40803400204013 2 apab24080340015在 aqp 中，由余弦定理，得pq222 apaq cos paqapaq4080217002240801700132741 （）15即爆炸点到两监测所中点的距离约为2741m点评：从