高中数学第三章第九课时二倍角的正弦、余弦、正切(三)教案苏教版必修3

1、第九课时二倍角的正弦、余弦、正切( 三)教学目标：灵活应用和、差、倍角公式，掌握和差化积与积化和差的方法；培养学生联系变化的观点，提高学生的思维能力 .教学重点：和角化归的二倍角公式的变形式的理解与应用 .教学难点：二倍角公式的变形式的灵活应用.教学过程：. 课题导入现在我们进一步探讨和角、差角、倍角公式的应用.先看本章开始所提问题，在章头图中，令aob ，则 ab asin ，oa acos ，所以矩形 abcd的面积s asin 2acos a22sin cos a2sin2 a2当 sin2 1，即 2 90， 45时， a2sin2 a2 s不难看出，这时、两点与点的距离都是2，矩形的

2、面积最大， 于是问题得到解决 .ado2 a. 讲授新课例 1求证 sin21 cos 22分析：此等式中的 可作为2 的 2 倍 .cos2 1 2sin2证明：在倍角公式 中以 代替 2，以 2代替 ，即得cos 1 2sin 2sin 2 1 cos 222请同学们试证以下两式 :(1)cos21 cos (2)tan21 cos 222 1 cos 证明： (1)在倍角公式 cos2 2cos2 代替 ， 1 中以 代替 2 、以 2即得 cos 2cos 2 1，cos 2 1 cos222sin2(2) 由 tan22sin21 cos cos21 cos 2cos222222得

3、tan21 cos 2 1 cos 1这是我们刚才所推证的三式，不难看出这三式有两个共同特点：(1) 用单角的三角函数表示它们的一半即半角的三角函数；(2) 由左式的“二次式”转化为右式的“一次式” ( 即用此式可达到“降次”的目的).这一组式子也可称为半角公式，但不要求大家记忆，只要理解并掌握这种推证方法.另外，在这三式中，如果知道cos 的值和 2角的终边所在象限，就可以将右边开方，从而求得 sin 2 、cos2与 tan2 .下面，再来看一例子 .1例 2求证： sin cos 2 sin( ) sin( ) 分析：只要将 s、s( )公式相加，即可推证 .( )证明 ：由 sin(

4、) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin 得：sin( ) sin( ) 2sin cos 1即： sin cos 2 sin( ) sin( ) 请同学们试证下面三式：1(1)cossin 2 sin( ) sin( ) 1(2)coscos 2 cos( ) cos( ) 1(3)sinsin 2 cos( ) cos( ) 证明： (1) 由 sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin 得： sin( ) sin( ) 2cos sin 1即： cos sin 2 sin( ) sin( ) (2)

5、由 cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin 得： cos( ) cos( ) 2cos cos 1即： cos cos 2 cos( ) cos( ) (3) 由 cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin 得 cos( ) cos( ) 2sin sin 1即： sin sin 2 cos( ) cos( ) 2不难看出，这一组式子也有一共同特点，即，左式均是乘积形式，右式均为和差形式，利用这一式可将乘积形式转化为和差形式，也可称为积化和差公式 .和差形式是否可以化为乘积的形式呢?看这一例子

6、.例 3求证 sin sin 2sin2cos分析： 可有代222 替，22证明：左式sin sin sin sin 2222 sin sin cos 2cos cossin22222 cos2sin2cos 2sin22右边请同学们再证下面三式 .(1)sin sin 2cos sin2；2(2)cos cos 2cos cos2；2(3)cos cos sin 2sin.22 证明： (1) 令 2，222则左边 sin sin sin sin 2222 sin cos cos cos 222sin2 sin22 sincos22sin 2cos22右边(2) 左边 cos cos cos

7、 22 cos22 sin cos cos cos2cos2sin22223 sinsin22 2cos 2c os右边2(3) 左边 cos cos cos cos 2222 cos cos 2cos sinsin cos22222 sinsin22 2sin sin右边 .22这组式子的特点是左式为和差形式，右式为积的形式，所以这组式子也可称为和差化积公式，只要求掌握这种推导方法，不要求记忆. 课堂练习1. 已知 、 为锐角，且 3sin 2 2sin2 1，3sin2 2sin2 0. 求证： 22证法一：由已知得 3sin 2 cos2 3sin2 2sin2 sin （ 2 ）cos

8、2 2得 tan sin2 tan （2 2 ）cos （2 2） 、 为锐角， 0 ， 0 2 ， 2 0，2 2 222 2 ， 222证法二：由已知可得：3sin 2 cos2 ， 3sin2 2sin2 cos( 2 ) cos cos2 sin sin2 232 cos 3sin sin 2 sin2 3sin cos sin 3sin cos 03又由 2 (0 ， 2) 2 24证法三：由已知可得3sin 2cos23sin 22 sin 2 sin( 2 ) sin cos2 cos sin2 sin 3sin 23cos sin2 3sin (sin 22 2 cos ) 3

9、sin又由，得 3sin cos sin2 22422 ，得 9sin 9sin cos 11 sin 3 ，即 sin( 2 ) 13又 0 2 2， 2 2评述：一般地，若所求角在 (0 ， ) 上，则一般取此角的余弦较为简便；若所求角在 ( 2， ) 上，则一般取此角的正弦较为简便；当然，若已知条件与正切函数关系比较密切，也可2考虑取此角的正切.2. 在 abc中， sin a 是 cos( b c) 与 cos( b c) 的等差中项，试求(1)tanb tan c的值 .(2) 证明 tan b (1 tan c) cot(45 c)(1) 解： abc中， sin asin( b

10、c) 2sin( b c) cos( b c) cos( bc) 2sin bcos c 2cos bsin c 2cosbcos c co sbcos c0 tan b tan c 1(2) 证明：又由上： tan 1 tan c (1 tan c) 1 tan c (1 tan c) tan(45 c) (1 tan c) cot(45 c) 1 tan c . 课时小结通过这节课的学习，要掌握推导积化和差、和差化积公式的方法，虽不要求记忆，但要知道它们的互化关系 . 另外，要注意半角公式的推导与正确使用 . 当然，这些都是在熟练掌握二倍角公式的基础上完成的 . 课后作业课本 p111 习

11、题7 、 8、 10.5二倍角的正弦、余弦、正切1 已 知1， 2 3 ， 那 么sin等 于sin cos232（）a.6b.6c.23d.2333332sin10 sin30 sin50 sin70 的值是（）a.1b.1c.1d.31684163已知f (sinx)cos2x，则f ( x)等于（）a.2 x21b.1 2x2c.2 xd. 2x4设sin sin85，则cos 等于2（）a.47c.12d.15b.13255（ sin cos )(sin cos ) .121212126化简 cos(4 ) cos（ 4 ) .217 sin12 2 .3tan67.508 1 tan

12、 267.5 0.7539已知 cos2 25 ， (0 ，2 )， sin 13 ， ( ，2 ) ，求 cos( ).611 10已知 sin sin 2，cos cos 3，求 cos2的值 .353311已知 sin( 4) 13， cos(4 ) 5，且4 4，4 4，求 cos( ).7二倍角的正弦、余弦、正切答案313321 d 2 a 3 b 4 b 5 26 2 cos2 7 4 847539已知 cos2 25 ， (0 ，2) ， sin 13， ( ，2) ，求 cos( ).解：由 (0 ， ) 得 sin 1 cos23， cos 422553 ( ，2 ) ， cos 1 sin 2 12 13代入 cos( ) cos cos sin sin 4123533 5 ( 13 ) 5 ( 13 ) 6511 10已知 sin sin 2， cos cos 3 ，求 cos2的值 .两式平方相加，得11131 1 2（ cos cos sin sin ) 942659592 1 cos( )17213cos( ) 72， cos222 144cos 132 12353311已知