高中数学知识点基本概念教案新人教版VIP

1、高一数学必修 1 知识网络集合一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的 集合（或集），构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作 。一般地，如果集合a 中的任意一个元素都是集合b 的元素，那么集合a 叫做集合 b 的子集，记作 ab或 ba ，读作“ a包含于 b”，或“ b 包含于 a”。如果集合 a 是集合 b 的子集，并且 b 中至少有一个元素不属于 a，那么集合 a 叫做集合 b 的真子集，记作 a b或 b a，读作“a 真包含于 b”，或“b真包含 a”。一般地，如果集合 a 的每一个元

2、素都是集合 b 的元素，反过来，集合 b 的每一个元素也都是集合 a 的元素，那么我们就说 集合 a 等于集合 b，记作 a=b。一般地，对于两个给定的集合 a，b，由属于 a 又属于 b的所有元素构成的集合，叫做 a，b 的交集，记作 a b ，读作“ a交 b”。一般地，对于两个给定的集合a，b，由两个集合的所有元素构成的集合，叫做 a 与 b 的并集，记作 ab ，读作“ a 并 b”。如果给定集合 a 是全集 u的一个子集，由 u中不属于 a 的所有元素构成的集合，叫做 a 在 u中补集，记作 cua ，读作“ a 在 u中的补集”。（1）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（2）集

3、合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（3）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（4）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若xax，则a，即 是 的子集。bbab、若集合 中有 个元素，则集合 的子集有2n个，真子集有 n个。1ana(2 -1)、任何一个集合是它本身的子集，即aa注 2关系、对于集合a, b, c,如果a，且bc,那么a c.3b、空集是任何集合的（真）子集。4集合真子集：若且（即至少存在x0但），则 是 的真子集。a b a bb x0aa b集合相等：a且abb a b集合与集合定义：abx/

4、 x且xb交集a性质：，a a a aa b b a a b a, a b b a b a b a定义：abx / x或xb并集a性质：，运算a a a aa a b b a a b a a b b a b a b bcard( a b) card( a)card (b) - card( ab)定义：cu ax / xu且xaa补集 性质：a，au，cu(cu a)，(cu a)，(cu a)(cu a)acu ( a b)(cu b)cu ( ab)(cu a)(cu b)1对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。如：集合 ax | y lg x ，by |

5、y lg x ， c( x, y) | y lg x ，a、 b、c 中元素各表示什么？2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。如 ： 集 合2b aa x| x 2 x 3 0， bx| a x 1， 则 实 数 a 的 值 构 成 的 集 合 为， 若1答：1，0，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m33注意下列性质：（ 1）集合 a1， a2， ，an 的所有子集的个数是 2n（ 2）若 a ba b a，a b b；4你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）如：已知关于x 的

6、不等式ax5的解集为m ，若 3m 且 5m ，求实数a 的取值范围。x20a53m ，a 3032a5a，19 255m ， a 550352a函数函数是一种关系， 在一个变化过程中，有两个变量 x 和 y，如果给定了一个 x 值，相应地就确定唯一的一个 y 值，那么我们称 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量， y 是因变量。定义 设 a，b 是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对 a 中的任意一个元素 x，在 b 中有且仅有一个（唯一确定）元素 y 与 x 对应，则称 f 是集合 a 到集合 b 的映射 。这时，称 y 是 x 在映射 f 的作用下的象，记作 f(x) 。于是 y

7、=f(x) ， x 称作 y 的原象。映射 f 也可记为： f ：ab， x f(x). 其中 a 叫做映射 f 的定义域（函数定义域的推广），由所有象 f(x) 构成的集合叫做映射 f 的值域，通常叫作 f(a) 。注意：1. “y=f(x) ”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“ y=g(x) ”；2. 函数符号“y=f(x) ”中的 f(x) 表示 x 对应的函数值， 一个数，而不是 f 乘 x。3. 集合 a 和 b 是有先后顺序的， a 到 b的映射与 b 到 a 的映射是截然不同的，其中 f 表示具体的对应法则，可以用多种形式表示。4. “有且仅有一个（唯一确定）”意思是：一是必

8、有一个，二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。构成函数的三要素是：定义域、对应关系和值域。构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）。两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。区间的概念区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间无穷区间区间的数轴表示如果映射 f 是集合 a 到集合 b 的映射，并且对于集合 b 中的任意一个元素，在集合 a 中有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在 一一对应关系，并把这个映射叫做从集合

9、a 到集合 b 的一一映射 。在函数的定义域内，对于自变量 x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫作 分段函数 。函数的单调性定义：对于函数 f(x) 的定义域 i 内某个区间上的任意两个自变量的值 x ,x2,1（ 1）若当 x1x2 时，都有 f(x 1)f(x 2) ，则说 f(x) 在这个区间上是增函数；（ 2）若当 x1f(x 2) ，则说 f(x) 在这个区间上是减函数。若函数 y=f(x) 在某个区间是增函数或减函数， 则就说函数 y=f(x) 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f(x) 的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。判断函数

10、单调性的方法步骤：利用定义证明函数f(x) 在给定的区间 d上的单调性的一般步骤：任取 x1，x2 d，且 x11，且 n n * 当 n 是奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数的 n 次方根是一个负数此时， a 的 n 次方根用符号 n a 表示式子 n a 叫做根式（ radical），这里 n 叫做根指数（ radicalexponent ）， a 叫做被开方数（ radicand ）当 n 是偶数时，正数的 n 次方根有两个，这两个数互为相反数此时，正数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 表示，负的 n 次方根用符号 n a 表示正的 n 次方根与负的 n 次方根可以合并成

11、n a （ a 0）由此可得：负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是0，记作 n 00 表yaxa 0,a 1对数数函数 y logx a 0, a 1指数函数a1定义xrx0,域值y0,yr域图象过定点 (0,1)过定点 (1,0)性减函数增函数减函数增函数质 x(,0)时，y(1, ) x(,0)时，y(0,1)x时，y(0,)x时，y(,0)(0,1)(0,1)x(0,时，y(0,1)x(0,时，y(1, )x(1,时，(,0)x(1,时，y(0, )y)a bababa b底数越小越接近坐标轴底数越大越接近坐标底数越大越接近坐标轴轴底数越小越接近坐标轴表 2幂函数 y x (r)p01

12、110qp为奇数奇函数q为奇数p为奇数q为偶数p为偶数偶函数q为奇数第一象限增函数过定点（01，）减函数性质指数的运算指数函数指数函数基本初等函数对数的运算对数函数对数函数根式：n a, n 为根指数，a 为被开方数na mam分数指数幂na r a sa rs ( a0, r , sq )性质( a r ) sa rs ( a0, r , sq )( ab ) ra r b s ( a0, b0, rq )定义：一般地把函数yax( a0 且 a1)叫做指数函数。性质：见表1对数：xlo g a n,a 为底数，n为真数loga( mn)logamlogan ;logamlogamlogan

13、 ;n.性质nlogamnlogam ; ( a0,a1 , m0,n0)换底公式：logblogcb0 且 a , c1 , b0)a( a , clogac定义：一般地把函数yloga x ( a0 且 a1) 叫做对数函数性质：见表1定义：一般地，函数yx叫做幂函数，x 是自变量，是常数。幂函数性质：见表2以 10 底的 数叫做 常用 数 。 底公式： log b nlog a nlog a b自然 数：以 e 底的 数叫做 自然 数 。 、商、 的 数运算法 ：（ 1）log a(mn)=log am+loganlog a(n1 n2 n3nk)=log an1 +log an2+lo

14、g an3+log ank即正因数 的 数等于同一底数的各因数 数的和。（ 2）log a( m )=log am-log ann即两个正数商的 数等于同一底数的被除数的 数减去除数的 数。（ 3）log a m = log am即正数 的 数等于 指数乘以同一底数 的底数的 数。 函数定 ：一般地，函数y=xa 叫做 函数， x 是自 量， a 是常数。 函数的性 ：x 图象一些性质：1、所有的幂函数在 (0 ，+) 都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：1x=1）;2、 在(0 ，1) 上，幂函数中指数越大， 函数图象越靠近x 轴（简记为指大图低） ；在(1 ，+) 上，幂函数中指数越

15、大，函数图象越远离x 轴。3、 幂函数的图象一定会出现在第一象限内， 一定不会出现在第四象限， 值域是否出现在第二、 第三象限内，要看函数的奇偶性，幂函数的图象最多只能同事出现在两个象限内，如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点。4、 幂函数的定义域的求法可分五种情况，即：（1）为 0；（2）为正整数；（3）为负整数；（ 4）为正分数；（ 5）为负分数。5、 作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等，只要作出幂函数在第一象限的图象， 然后根据它的奇偶性就可作出幂函数在定义域内完整的图象。6、幂函数 yx (r) 的图象主要分为以下几类：(1) 当 =0 时，图象是过 (1

16、 ，1) 点平行于 x 轴但抠去 (0 ，1) 点的一条“断”直线；(2) 当 为正偶数时，幂函数为偶函数，图象过第一、第二象限及原点。(3) 当 为正奇数时，幂函数为奇函数，图象过第一、第三象限及原点。(4) 当 为负偶数时，幂函数为偶函数，图象过第一、第二象限，但不过原点。(5) 当 为负奇数时，幂函数为奇函数，图象过第一、第二象限，但不过原点。7、当0 时，幂函数 yx 图象一些性质：(1) 图象都通过点 (1 ，1) ，(0 ，0) ；(2) 在第一象限内，函数值随 x 的增大而增大；(3) 在第一象限内， 1 时，图象是向下凸的； 0 1 时，图象是向上凸的。8、当0 时，幂函数 y

17、(1) 图象都通过点 (1 ，1) ；(2) 在第一象限内，函数值随 x 的增大而减小，图象是向下凸的。反函数：当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量。我们称这两个函数互为反函数。高中数学必修 2 知识点数轴上的基本公式如果数轴上的任意一点 a 沿着轴的正向或负向移动到另一点 b，则说点在轴上作了一次位移， 点不动则说点作了零位移。 位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做 位移向量 ，简称向量。数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量 。平面直角坐标系中的基本公式1、两点间距离公式： 设 a(x1 , y1 )，（b x2

18、 , y2）是平面直角坐标系中的两个点，则 | ab | ( x2 x1 )2( y2y1 )2 。2、中点公式 ：设 a( x1, y1 )，（b x2, y2），m(x,y)是线段的中点， xx1x2 , yy1 y2ab22直线与方程（1）直线的倾斜角定义： x 轴正向与直线向上方向 之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与 x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0 度。因此，倾斜角的取值范围是0 180（2）直线的斜率定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用 k 表示。即 ktan。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当0 ,90 时， k0 ；当9

19、0 ,180 时， k0；当90 时， k 不存在。过两点的直线的斜率公式： ky2y1 ( x1 x2 )x2x1注意下面四点：(1) 当 x1 x2 时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为；90(2) k 与 p1、p2 的顺序无关；(3) 以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4) 求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。（3）直线方程的几种形式点斜式： yy1k (xx1 ) 直线斜率 k，且过点x1, y1注意：当直线的斜率为0时， k=0，直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因l 上每一点的横坐标

20、都等于 x1，所以它的方程是 x=x1。斜截式： y kx b ，直线斜率为 k，直线在 y 轴上的截距为 b两点式：截矩式：yy1xx1y2y1x2x1（x1x2 , y1y2）直线两点x, y，x2 , y21 1xy1ab其中直线 l 与 x 轴交于点 ( a,0) , 与 y 轴交于点 (0,b ) , 即 l 与 x 轴、 y 轴的截距分别为a,b 。一般式： axbyc0 （a，b不全为 0）注意：1 各式的适用范围2特殊的方程如：平行于 x 轴的直线：平行于 y 轴的直线：y b （b 为常数）； x a （a 为常数）；（ 5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线

21、系平行于已知直线0000（a , b0 是不全为0 的常数）的直线系：a xb yc0a0 x b0 yc 0 （c为常数）（二）过定点的直线系（）斜率为 k 的直线系： yy0k xx0，直线过定点 x0 , y0 ；（）过两条直线 l1 : a1 xb1 yc10 ，l2: a2 x b2 y c20 的交点的直线系方程为a1x b1 y c1a2 xb2 yc20 （ 为参数），其中直线 l 2 不在直线系中。（6）两直线平行与垂直当 l1 : y k1 xb1 ， l2 : y k2 xb2 时，两直线平行的充要条件： l1 / l 2k1k2 ,b1b2 ；两直线垂直的充要条件： l

22、1l2k1k21注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。点到直线距离公式： 一点 p x0 , y0 到直线 l1 : ax by c0 的距离 dby0 cax0a2b 2两平行直线距离公式在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。（7）两条直线的交点l1 : a1 xb1 yc10l 2 : a2xb2 yc20 相交交点坐标即方程组a1xb1 y c1 0 的一组解。a2 xb2 yc20方程组无解l1 / l 2 ；方程组有无数解l1 与 l2 重合圆的方程1、圆的定义： 平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。2、圆的方

23、程（1）标准方程 xa 2y b 2r 2 ，圆心 a,b ，半径为 r ；特别的，如果圆心在坐标原点， 这时 a=0，b=0，圆的标准方程就是 x2y2r 2 。（2）一般方程 x2y 2dx eyf 0当 d2e24 f0时，方程表示圆，此时圆心为d ,e ，半径为 r1de4f22222当 d 2 e 2 4f 0 时，表示一个点；当 d 2 e 2 4f 0 时，方程不表示任何图形。（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出 a，b，r ；若利用一般方程，需要求出 d，e，f；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必

24、经过原点，以此来确定圆心的位置。3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：（1）设直线 l : ax by c222 ，圆心 c a, b 到 l的距离为0 ，圆 c : x ay brdaabbc ，则有2b2adrl与c相离 ；drl与 c相切 ；drl与 c相交（2）设直线 l : axbyc0 ，圆 c : xa 2yb 2r 2 ，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为，则有0 l与 c相离 ；0 l 与c相切 ；0 l 与 c相交注：如果圆心的位置在原点，可使用公式xx0yy0r 2 去解直线与圆相切的问题，其中 x0 , y0 表示切点坐标， r 表示半径。(3) 过圆上一点的切