三年高考(2017_2019)高考数学真题分项汇编专题02函数的概念与基本初等函数I理(含解析)

1、专题 02函数的概念与基本初等函数 i1 【2019 年高考全国卷理数】已知 a =log 0.2， b =210.2，c =0.20.3，则aca b c c a bbda c b b c a【答案】b【解析】a =log 0.2 2 0 =1,0 c =0.20.30.20=1,即0 c 1,则a c b故选 b【名师点睛】本题考查指数和对数大小的比较，考查了数学运算的素养采取中间量法，根据指数函数 和对数函数的单调性即可比较大小2【2019 年高考天津理数】已知a =log 25，b =log0.20.5， c =0.50.2，则 a , b , c的大小关系为aca c b b c a

2、bda b c c a b【答案】a【解析】因为a =log 2 log0.50.25 =2，0.51c =0.50.20.50，即12c 1，所以a c b，则aln(ab)0ca3b30【答案】cb3ab【解析】取a =2, b =1，满足 a b ，但ln( a -b ) =0，则 a 错，排除 a；由 9 =3231=3 ，知 b 错，排除 b；1kk21()2 1取a =1,b =-2，满足a b，但|1| b，所以 a3b3，即 a3b30，c 正确.故选 c【名师点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的性质、幂函数的性质及绝对值的意义，渗透了 逻辑推理和运算能力素养，利用特殊

3、值排除即可判断4 【2019 年高考北京理数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度4 e满足 m m = lg ，其中星等为 m 的星的亮度为 e （k=1，2）已知太阳的星等是26.7，天狼星的星 2 e2等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为a1010.1b10.1clg10.1d1010.1【答案】a【解析】两颗星的星等与亮度满足m =-1.45, m =-26.7令，2 1m -m =2 15 elg 12 e2，则lge 2 21 = m -m = ( -1.45 +26.7) =10.1, e 5 51e从而 1 =1010.1 .e2故选 a.【

4、名师点睛】本题以天文学问题为背景，考查考生的数学应用意识 信息处理能力 阅读理解能力以及对 数的运算.5【2019 年高考全国卷理数】函数 f(x)=sinx +x cosx +x 2在-p,p的图像大致为a b12( )c d【答案】d【解析】由f( x)sin( x) ( x) sinx x cos( x) ( x)2 cosx x2f(x)，得f(x)是奇函数，其图象关于原点对称又 4 2 f( )2 2221, f()1 20，可知应为 d 选项中的图象故选 d【名师点睛】本题考查函数的性质与图象的识别，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养采取性 质法和赋值法，利用数形结合思想解题6

5、【2019 年高考全国卷理数】函数 y2x32 x 2x在6,6的图像大致为a bc d【答案】b【解析】设 y f(x)2x32 x 2x，则 f( x)2( x)3 2x3 2 x 2 x 2 x 2xf(x)，所以f(x)是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项 caaa又 f (4) =2 4 3 24 +2 -40,排除选项 d；2 63f (6) = 7 26 +2 -6，排除选项 a，故选 b【名师点睛】本题通过判断函数的奇偶性，排除错误选项，通过计算特殊函数值，作出选择本题注重 基础知识、基本计算能力的考查7【2019 年高考浙江】在同一直角坐标系中，函数 y = 是1 1

6、， y =log ( x + )a x 2(a0，且 a1)的图象可能【答案】d【解析】当0 a 1 时，函数 y =a x 的图象过定点 (0,1) 且单调递增，则函数y =1a x的图象过定点 (0,1) 且单调递减，函数y =log x +12的图象过定点1( ,0）且单调递增，各选项均不符合. 2综上，选 d.【名师点睛】易出现的错误：一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟练，导致判断失误；二是 不能通过讨论 a 的不同取值范围，认识函数的单调性.8【2019 年高考全国卷理数】2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大

7、成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测12a33fff-器的通讯联系为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日l 点的2轨道运行 l 点是平衡点，位于地月连线的延长线上设地球质量为 m ，月球质量为 m ，地月距离为2 m m mr，l 点到月球的距离为 r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程： + 2 =( r +r ) 1( r +r ) 2 r 2 r 3.设a=rr，由于 的值很小，因此在近似计算中3a3+3a4 +a5 (1+a)23a3，则 r 的近似值为ac3m2 rm13m2 rm1bd3m2 r2 m1m2 r2 m

8、1【答案】d【解析】由a=rr，得r =ar，因为m m m 1 + 2 =( r +r ) 1( r +r ) 2 r 2 r 3，所以r2m m m 1 + 2 =(1+a) 1(1+a)2 a2 r 2 r 2，即m 1 a5 +3a4 +3a3 2 =a2(1+a)- =m (1+a)2 (1+a)2 13a3，解得am= 23m1，所以m r =ar = 2 r.3m1故选 d.【名师点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是 复杂式子的变形易出错9【2019 年高考全国卷理数】设f (x)是定义域为 r 的偶函数，且在(0,+)单调递减，则

9、1 3 2a （log3 ） （ 2 2 ） （ 2 3 ）43f- -f3-f3-，323-f 2 f 232 f log43得bf1（log ）4f2 3 （ 2 3 ） （ 2 2 ）c f （232） f （2231 ） （log ）4d f （22 3） f （2321 ） （log ）4【答案】c【解析】f (x)是定义域为 r 的偶函数， f (log314) = f (log 4)32log 4 log 3 =1,1 =2 0 2 3 3 32-322, log 4 2 332-32，又f (x)在(0，+)上单调递减， 2 3 f (log 4) f 2 0 x 1，故 ab

10、 = x | -2 x 2 x | x 1 = x | -2 x 0，舍去 d；f (x)=(ex+e-x )x2-(ex-e-x)2x x 4=(x -2 )ex+(x+2)ex3-x, x 2 时， f(x)0， f ( x )单调递增，舍去 c.因此选 b.【名师点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函 数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的周期性.12【2018 年高考全国卷理数】函数y =-x4 +x 2+2的图像大致为+x

11、+2 ，则 f (x) =-4x +2 x =-2x(2 x2() 【答案】d【解析】函数图象过定点 (0, 2)，排除 a，b；令y = f ( x ) =-x4 2 3 2-1)，由 f (x) 0 得 2 x(2 x2-1) 0 ，得 x -2 2 或 0 x 2 2，此时函数单调递增，由 f(x) 0，得 x 2 2或 -2 2x 0，此时函数单调递减，排除 c.故选 d.【名师点睛】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数图象过的定点及由导数判断函数的单 调性是解决本题的关键.13【2018 年高考浙江】函数 y=2xsin2x 的图象可能是a bc d【答案】d【 解 析 】

12、令f(x)=2xs i n 2x， 因 为 x r , f(-x)=-xs i n(2-x)=-x2 s xi n=2-f(x)， 所 以f (x)=2xsi n 2x为奇函数，排除选项 a,b;因为x , 时， f x b c c b abdb a c c a b【答案】d【解析】由题意结合对数函数的性质可知：1c =log =log 3 log e，32c a b据此可得：.a =log e 1 2， b =ln2 = (0,1) log e2，本题选择 d 选项.【名师点睛】由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果.对于对数的大小的比较，我们通常都是运用对数函数的单调性，但很多时

13、候，因对数的底数或真数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较，这就必须掌握一些特殊方法在进行对数的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据对数函数的单调性进行判断对于不同底而同真数的对数的大小的比较， 利用图象法求解，既快捷，又准确17【2018 年高考全国卷理数】设a =log0.20.3 ， b =log 0.32，则aca +b ab 0 a +b 0 abbdab a +b 0 ab 0 a +b0.30.30.3【答案】b【解析】a =log 0.3, b =log 0.3 0.2 21 1， =log 0.2, =log 2 a b，1 1 1 1 a +b

14、 + =log 0.4 ，0 + 1 ,即 0 0, b 0，ab 0，ab a +b 0.故选 b【名师点睛】本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题.18【2017 年高考北京理数】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限m 约为 3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数 n 约为 1080.则下列各数中与 （参考数据：lg30.48）mn最接近的是a1033b1053c1073d1093【答案】d【解析】设m 3361 3361=x = ，两边取对数， lg x =lg =lg3 361 -lg10 80 =361lg3 -80 =93.28 n 1080 1080，所以 x =10

15、93.28 ，即mn最接近10 93 .故选 d【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令 x =33611080，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含log m +log n =log mn a a a，log m -log n =log a aamn，log m n =n log m a a.19【2017 年高考全国卷理数】设 x、y、z 为正数，且 2x=3y=5z，则a2x3y5zc3y5z2x【答案】db5z2x3yd3y2x1)，则x =log k2，y =log k3，z =log k5

16、2 x 2lg k lg 3 lg 9= = 1 ，则 2 x 3 y 3 y lg 2 3lg k lg8，2 x 2lg k lg5 lg 25 = = 15z lg 2 5lg k lg32，则2 x 0 ，则 x +x 0 1 2 1 2，反之亦成立.3x x 22【2017 年高考北京理数】已知函数1f ( x) =3 x -( )3x，则f ( x )a是奇函数，且在 r 上是增函数c是奇函数，且在 r 上是减函数 【答案】ab是偶函数，且在 r 上是增函数d是偶函数，且在 r 上是减函数【解析】 f (-x)=3-x-1 -x1 = -33 x=-f (x)，所以该函数是奇函数，

17、并且y =3x是增函数，1 y = 是减函数，根据增函数减函数=增函数，可知该函数是增函数. 3 故选 a.【名师点睛】本题属于基础题型，根据f (-x)与f(x)的关系就可以判断出函数的奇偶性，判断函数单调性的方法：（ 1）利用平时学习过的基本初等函数的单调性；（ 2）利用函数图象判断函数的单调性；（3）利用函数的四则运算判断函数的单调性，如：增函数+增函数=增函数，增函数减函数=增函 数；（4）利用导数判断函数的单调性.23【2017 年高考天津理数】已知奇函数f ( x )在 r 上是增函数，g ( x ) =xf ( x) 若 a =g ( -log 5.1)2，b =g (20.8)

18、，c =g (3)，则 a，b，c 的大小关系为aca b c b a cbdc b a b c 0时，f ( x) 0，从而g ( x ) =xf (x )是 r 上的偶函数，且在0, +)上是增函数，a =g ( -log 5.1) =g (log 5.1)2 2， 20.8 2 ，又4 5.1 8，则2 log 5.1 32，所以0 20.8log 5.1 3 ， g (2 20.8) g (log 5.1) g (3)2，所以b a c.故选 c【名师点睛】比较大小是高考的常见题型，指数式、对数式的大小比较要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性、奇偶性

19、等进行大小比较，要特别关注灵活利用m 1 b2( )22函数的奇偶性和单调性，数形结合进行大小比较或解不等式24【2017 年高考山东理数】已知当 x 0,1 时，函数y =( mx -1)2的图象与 y =x +m 的图象有且只有一个交点，则正实数 的取值范围是 a (0,1 2 3, +)b(0,1 3, +)c (0, 2 2 3, +) 【答案】bd (0, 2 3, +)【解析】当10 1时， 0 1mb 0 ，且 ab =1 ，则下列不等式成立的是aa + log (a+b) b 2abb2alog (a+b)a+ 21bc a +1 b log a +b b 2 adlog2(a

20、+b)a +1 bb 0，且ab =1，所以 a 1,0 b 1,所以b2alog 2 ab =1 2 2，2a +1ba +1 1a +b a + log ( a +b ) b b，所以选 b.12-,3【名师点睛】比较幂或对数值的大小，若幂的底数相同或对数的底数相同，通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同，可考虑利用中间量进行比较 .本题虽小，但考查的知识点较多， 需灵活利用指数函数、对数函数的性质及基本不等式作出判断.26【2019 年高考全国卷理数】设函数f ( x)的定义域为 r，满足f (x +1) =2 f (x)，且当 x (0,1 时，f (x) =x(x -

21、1)若对任意x ( -,m ，都有f ( x) -89，则 m 的取值范围是a 9 -, 4 b 7 -, 3 c-,52d-,83【答案】b【解析】f (x +1) =2 f (x ) ， f ( x) =2 f ( x -1) x (0,1 时，f (x ) =x (x -1) -14,0； x (1,2 时， x -1(0,1 ， 1 f ( x ) =2 f ( x -1) =2( x -1)( x -2) - ,0 2 ； x (2,3 时， x -1(1,2 ， f ( x) =2 f ( x -1) =4( x -2)( x -3) -1,0 如图：，当 x (2,3 时，由4(

22、 x -2)( x -3) =-8 7 8 解得 x = ， x = ，9 3 3若对任意x (-,m，都有f ( x) -8 7 ，则 m .9 3 7 则 m 的取值范围是 故选 b.1111【名师点睛】本题考查了函数与方程，二次函数.解题的关键是能够得到 x (2,3 时函数的解析式，并8求出函数值为 - 时对应的自变量的值.927【2019 年高考浙江】已知x, x 0a , b r ，函数 f ( x) =1 1x 3 - ( a +1)x 3 22+ax , x 0若函数y = f ( x) -ax -b恰有 3 个零点，则a a1，b0b a0c a1，b1，b0【答案】c【解析

23、】当 x0 时，yf（x）axbxaxb（1a）xb0，得 x 则 yf（x）axb 最多有一个零点；1，2当 x0 时，yf（x）axb y=x-( a +1)x，x33（a+1）x2+axaxbx33（a+1）x2b，当 a+10，即 a1 时，y0，yf（x）axb 在0，+）上单调递增，则 yf（x）axb 最多有一个零点，不合题意；当 a+10，即 a1 时，令 y0 得 x(a+1，+），此时函数单调递增，令 y0 得 x0，a+1），此时函数单调递减，则函数最多有 2 个零点.根据题意，函数 yf（x）axb 恰有 3 个零点函数 yf（x）axb 在（，0）上有一个零点， 在0

24、，+）上有 2 个零点，如图：( )111() ()() 0 且1-b01 1( a +1)3 - a +1 ( a +1)2 3 2-b 1，b0，b0，+）d1，+）若 g（x）存在 2【解析】画出函数f (x)的图象， y =e x 在 y 轴右侧的图象去掉，再画出直线 y =-x，之后上下移动，可以发现当直线过点（0,1）时，直线与函数图象有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图象有两个交点，即方程f (x)=-x-a有两个解，也就是函数g(x)有两个零点，此时满足故选 c-a 1 ，即 a -1.( )( )( ) 【名师点睛】该题考查的是有关已知函数零点个数求有关

25、参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图象以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.即：首先根据 g（x）存在 2 个零点，得到方程f (x)+x+a=0有两个解，将其转化为f (x)=-x-a有两个解，即直线 y =-x -a与曲线y = f (x)有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数f (x)的图象，再画出直线 y =-x，并将其上下移动，从图中可以发现，当-a 1时，满足 y =-x-a与曲线y = f (x)有两个交点，从而求得结果.29【201

26、7 年高考全国卷理数】设函数 f (x)=cos(x+ )3，则下列结论错误的是af ( x )的一个周期为-2by = f ( x )的图象关于直线 x =8 3对称cf ( x + )的一个零点为 x =6df ( x)在(2, )单调递减【答案】d【解析】函数 f ( x )的最小正周期为 t =21=2 ，则函数 f ( x )的周期为t =2k (kz)，取k =-1，可得函数f (x)的一个周期为 -2 ，选项 a 正确；函数 f ( x )图象的对称轴为 x + =k k z ，即 x =k - k z ，取 k =3 ，可得 y=f(x)的图象 3 3关于直线 x =83对称，选项 b 正确； f x + =cos x + + =-cos x +3 3 ，函数 f ( x ) 的零点满足 x + =k +3 2(kz)，即x =k +6(kz)，取 k =0 ，可得 f ( x + )的一个零点为 x =6，选项 c 正确；当 x , 2 5 4